数控加工中多约束进给率规划算法研究＊

金 鑫 刘其广 吕 杰 徐飞飞 孙晓楠

（①中国航发北京航空材料研究院，北京 100095；②北京市先进运载系统结构透明件工程技术研究中心，北京 100095）

高性能复杂曲面零部件在航空航天、船舶和模具等行业中具有广泛的应用。随着国内高端装备制造领域的迅猛发展，该类复杂曲面零件不仅对加工精度的要求越来越高，同时对生产效率的需求也日益提升。而数控加工作为现代工业中的标志性技术，直接决定着我国装备制造业的发展水平，也由此受到了国内众多高校和企业的普遍关注。

目前，为了提高数控加工效率，多数数控机床采用了较大的主轴转速和加工进给率。然而，当刀具加工轨迹曲线存在较大曲率时，受伺服进给系统滞后特性和进给轴转动惯量的影响，高进给率数控指令往往会造成机床分轴运动产生较大的跟踪误差，进而降低机械零件的轮廓加工精度。为此，Yeh S S和Hsu P L基于弓高误差与加工路径曲率之间的几何关系，提出了一种自适应进给率规划算法[1]。之后，为了进一步提高数控加工切削的平稳性，Tikhon M[2]在前人工作的基础上，将恒材料去除率作为一项约束条件，实现了高速数控加工的进给率定制。然而，加工路径曲率的剧烈变化极有可能在刀具进给过程中产生较大的加速度和加加速度，不仅会降低零件表面的加工质量，还有可能造成刀具的损坏。为了解决此类问题，Yong T和Narayanswami R[3]针对NURBS参数路径，提出了一种离线进给率规划算法，成功地将弓高误差和刀具进给加速度限制在了给定范围之内。除此之外，Bardine A[4]设计并提出了一种NURBS插补算法，并考虑了弓高误差、刀具进给向心加速度以及切向加速度约束。同时，Jahanpour J[5]利用S型五次贝恩斯曲线表达的进给率曲线，提出了一种加加速度约束下NURBS参数曲线插补算法。Lai J Y[6]等在前瞻控制算法的基础上，通过对加工路径的离散化处理，提出一种加加速度约束下的进给率定制策略，实现了多约束条件的数控加工进给率的实时插补。另外，Sun Y[7]等从数控加工特性和运动特性角度考虑，利用一条修正的样条参数曲线给出了弧长参数与路径参数之间的非线性关系，并以此为基础，在考虑弓高误差约束和进给加速度约束的条件下，提出了一种自适应进给率定制策略。Dong J[8]等针对轮廓加工精度要求，通过伺服进给系统的一阶近似模型，建立了轮廓误差与进给率之间的近似数学表达，并采用前瞻进给率规划算法，成功地将轮廓误差以及刀具进给加加速度限制在了预设范围之内，但该方法主要针对微小直线段组成的加工路径。为此，Xu R Z[9]等采用前瞻视窗策略，针对参数加工路径，提出了一种数控进给率实时插补算法。同时，Cheng M Y[10]等基于模糊逻辑控制算法，也提出了一种进给率规划器，来保证零件的加工精度要求。Xu J[11]等则进一步探究了进给率波动对零件加工表面形貌的影响规律。Wang T Y[12]等将余弦定理与二阶泰勒展开表达式结合，实现了对进给率波动的有效抑制。此外，Wang L P[13]等基于其团队所提的瞬时未变形切屑厚度模型，也给出了一种满足恒定切削力条件的进给率定制方法。

然而，上述方法的考虑角度主要侧重于数控加工中的工艺特性，缺少对机床分轴速度和分轴加速度的考虑。考虑到机床各个进给伺服系统的驱动能力有限，过高的进给率极有可能造成机床分轴速度或分轴加速度超过各自的伺服极限，产生剧烈的颤振现象，这样不仅会造成机械零件表面加工质量的下降，更有可能引起机床本体的损坏。为此，Zhou J[14]利用线性规划模型，将几何精度、切削特性以及机床分轴加速度等指标作为约束条件，实现了数控加工进给率的时间最优规划。Dong J[15]等基于贪心法思想，采用双向扫描算法通过一些列的单变量非线性优化问题，实现了多约束条件下的进给率优化。除此之外，Lee A C[16]、 Wei W[17]等也提出了在驱动约束下的数控加工进给率的时间最优化方法。近期，粒子群优化算法[18]、多目标演化方法[19]与形态滤波方法[20]也被广泛用于进给率定制研究。值得一提的是，上述方法主要采用了约束优化方式，且多为离散优化，存在求解过程复杂等问题。

围绕上述问题，本文从加工运动平稳性的角度出发，在保证机械零件弓高误差要求的前提下，对机床分轴加速度也进行了限制，并基于比例调整策略，提出了一种自适应进给率规划算法，改善了机床的运动学特性，并进一步保证了零件的加工精度和表面加工质量。

1 并行多约束条件

为保证机械零件的加工精度，在进给率规划算法中，限制一些重要的约束条件是非常有必要的。本文考虑的约束条件主要包括几何精度约束、加工工艺约束和机床驱动约束等。

1.1 几何精度约束

图1所示为弓高误差几何示意图。在实际加工中，该误差通常作为一项重要约束内容，被嵌入到进给率规划中。假设弓高误差允许的最大极限值为εmax， 则沿着参数加工路径P(u)，在给定的任意参数位置ui，根据式（1）便可得到满足该约束条件的最大进给率。

图1 弓高误差约束

其中：T为插补周期， ρ(ui)为当前插补点的曲率半径。忽略二阶小项，上式可进一步简化为

1.2 加工工艺约束

根据机床加工工艺特性及要求，通常需要指定数控加工允许的最大进给率fmax。换言之，沿参数加工路径P(u)，相应的刀具运动进给率应满足以下条件。

同时，为了保证切削运动的平稳性，避免刀具因剧烈加减速对零件加工精度造成的影响，通常也需要对刀具运动的切向加速度进行限制，即

1.3 机床驱动约束

数控加工分轴加速度超差或加加速度超差对机床结构将产生较大的损坏，同时也会使各进给轴产生较大的跟踪误差，进而降低零件的加工精度。而传统的进给率规划方法，通常只考虑刀具进给运动的工艺特性，而忽略了机床分轴的运动学约束。为此，数控加工中充分考虑机床的运动学特性，减小机床分轴的加速度波动也是非常有必要的。给定一条参数加工路径P(u)，相应的刀具运动进给率可表示为

式中：参数u多为弧长参数或近似弧长参数，由此，上式可简化为

式中：ϵ表示路径总长度。此时，进给率f(u)对时间t的一阶导数，便可得到切向加速度的表达式

在此基础上，机床分轴速度和加速度可通过下式计算得到：

式中： * =x,y表示机床的分轴运动。为了防止机床分轴速度和加速度超过伺服系统的驱动极限，上述约束应满足

2 自适应进给率定制

在进给率定制之前，首先需要根据机床加工工艺要求，给定数控加工所允许的最大进给率fmax，然后，对刀具路径参数区间进行离散化处理，均匀选取N个校验点。考虑到在加工路径的拐角处，进给率将存在极值，此时对应的切向加速度ac=0。根据该特征，可根据式（10），计算在每个校验点处，满足几何精度约束、加工工艺约束和机床驱动约束的最大进给率f(ui)。

通过上述过程，便可确定沿着加工路径P(u)，满足所有约束条件的进给率极小值点，如图2所示。

图2 多约束下的进给率极值点

此时进给率在拐角极值点处是严格成立的，但在变进给率区间，由于切向加速度并非为零，上述约束条件依然可能存在超差现象。因此，需要对该区间的进给率进行调整。

式中：di为 进给率曲线控制点，N是控制点的数目，k为进给率曲线的阶次，Ni,k(u)表示的是B样条曲线的基函数。

为了确定进给率是否合理，我们需要对校验点处的各项约束进行评估。若上述约束仍存在超差，则将该区间内的切向加速度ac乘以比例系数λ(0＜λ＜1)以减缓上升趋势，进而使得上述约束值逐渐降低，并再次利用B-spline对这些离散进给率值进行拟合，依次循环，直到满足条件为止，如图3所示。

图3 基于比例调整策略的进给率变形

经过若干次循环调整，即可得到满足弓高误差约束、加工工艺约束以及机床驱动约束的进给率曲线。

3 试验验证

本节将开展多约束下的电机运行试验，验证本文所提的进给率规划方法对限制几何精度约束、加工工艺约束以及机床驱动约束的有效性。加工路径为图4所示的“海星”路径与“兔子”路径，并分别采用了B样条参数曲线表达。试验平台为运动控制卡控制的龙门式运动机床，可实现X轴、Y轴和Z轴的平动，采用的是SGMJV04ADA6E安川伺服电机和配套驱动器，丝杠导程均为5 mm。

图4 基于B样条曲线表达的参数加工路径

在进行验证之前，参数曲线的最大进给率设定为60 mm/s，插补周期设定为4 ms。同时，弓高误差最大允许值 εmax、 刀具运动最大切向加速度amcax，机床分轴速度最大极限值Vmax以及机床分轴加速度最大极限值Amax等约束条件分别列于表1。

表1 进给率规划约束条件

3.1 验证实例1

对于给定的“海星”参数加工路径，可以明显地发现其存在若干个高曲率区域，若进给率依然保持常速，则在这些敏感区极有可能出现机床分轴运动加速度的超差现象。利用本文所提进给率规划算法，得到的最终加工进给率曲线如图5所示，从图中可以看出，进给率在这些高曲率路径处都得到了降低调整，以满足相关的约束限制条件。

图5 “海星”路径的进给率曲线（实例1）

图6显示了加工产生的弓高误差，从图中可以看出沿整个参数路径，误差数值均被限制在了[0.005 mm, 0.005 mm]。除此之外，图7显示的是利用本文进给率规划方法产生的切向加速度，显而易见，该工艺特性也满足给定的约束条件。

图6 弓高误差（实例1）

图7 进给运动中的切向加速度（实例1）

图8～9为根据规划的进给率指令，机床分轴运动产生的加速度，且两者均被限制在了[-800 mm/s2, 800 mm/s2]，改善了加工过程中的运动学特性，间接提高了轮廓跟踪精度，保证了加工质量。

图8 平台X轴运动加速度特性（实例1）

3.2 验证实例2

图4b为一条“兔子”形状的自由参数曲线。图10显示了利用本文的进给率规划方法得到的最终的进给率曲线。

图9 平台Y轴运动加速度特性（实例1）

图10 “兔子”路径的进给率曲线

在进给过程中产生的弓高误差如图11所示，从图中可以看出，所提方法成功地将弓高误差限制在了预设范围之内。图12为沿路径进给运动产生的切向加速度，相应的最大值为353.003 mm/s2,满足给定的工艺特性约束条件，且在很大程度上，减弱了进给过程中因加速度剧烈变换所引起的机床振动，提高了零件的加工精度。从图13和图14的试验结果可以看出机床分轴运动加速度均被限制在了[-800 mm/s2, 800 mm/s2]，避免了分轴加速度超过机床进给伺服系统的驱动能力而引起的走刀不平稳现象，改善了曲线加工运动特性，有效地提高了走刀精度。

图11 弓高误差（实例2）

图12 进给运动中的切向加速度（实例2）

图13 平台X轴运动加速度特性（实例2）

图14 平台Y轴运动加速度特性（实例2）

表2提供了对应的试验数据，试验结果满足理论分析和约束条件。至此，可以证明所提出方法理论上的正确性和有效性。

表2 进给率规划试验数据

4 结语

（1）提出了一种基于比例优化策略的自适应进给率规划算法，保证了数控加工进给运动的光顺性。

（2）基于数控机床的驱动特性的考虑，该算法在保证零件几何加工精度要求的条件下，成功地将机床分轴加速度限制在预设范围之内。

（3）利用NURBS曲线路径进行了两轴的试验验证。结果表明：采用本文所提进给率规划方法，可得到光顺程度较高的进给率曲线，在提高加工运动的平稳性的同时，也有效地限制了机床分轴运动加速度以及弓高误差约束，改善了数控机床的运动特性，并保证了零件的加工精度和表面加工质量。