Bloch常数的下界估计

王朝祥

(华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021)

1 预备知识

单位圆盘D={z||z|<1}内的解析函数类记作H(D)，对给定的F∈H(D)，设BF表示F(D)包含的所有单叶圆盘的半径的上确界.Bloch常数B定义为B=inf{BF|F∈H(D)，且F′(0)=1}.

2 主要结果

设F(z)∈B(D)，且F′(0)=1，F′(z)=f(z)=1+a1z+a2z2+….由文献[8]可知a1=0，|a2|≤1，|a3|≤21/5.还需要用到如下的一些结论，即

命题2[8]设F∈B(D)，且F′(z)=f(z)=1+a2z2+a3z3+…，并假设ai∈R(i=2，3，…)，则有

命题3[8]设F∈B(D)，且F′(z)=f(z)=1+a2z2+a3z3+…，并设ai∈R(i=2，3，…)，则当a3≥0时，有

2 引理及其证明

引理1设F(z)∈B(D)，且F′(0)=1，F′(z)=f(z)=1+a1z+a2z2+…，则有

a1=0，|a2|≤1，|a3|≤21/5-|a2|2/2.

证明：Bonk[7]证明a1=0，|a2|≤1及|a3|≤5.Chen等[8]进一步证明了|a3|≤4.2.以下证明|a3|≤21/5-|a2|2/2.

引理2设0≤x≤1，0≤θ≤1/5，令σ(θ，x)=(1-x)2(2arg(eiθ-x)-θ)，则

(1)

式(1)中：k=407/625-(149ln 5)/5 625=0.608 5….

证明：只需证明0<θ≤1/5的情形.由于

所以有

上式中：k=407/625-(149ln 5)/5 625=0.608 5….

(2)

因此有

由命题2可知，当a3≤0，0≤t<1时，有

(3)

于是有

(4)

(5)

引理4设F∈B(D)，且F′(z)=f(z)=1+a2z2+a3z3+…，并假设ai∈R(i=2，3，…)，则有

(6)

文[8]的引理2中估计式(6)得到的是A0=0.01 09，显然，文中的估计更优.

(7)

经积分可得

于是可得

(8)

以下证明当-1

当|w|=r时，有

而由H(w)的定义可知其在|w|≤r上解析，因此，当|w|≤r时，|H(w)|

由此可得到

从而有

这说明当z=ρeiτ∈Γ且0≤ρ≤ρt时，总有Re(Φ(z))≥(1-t2)α成立.

因为对于∀z∈γt，总有0≤|z|≤ρt，且有Re(Φ(z))≥(1-t2)α，因此对于w∈ct总有Re(H(w))=Re(RΦ(z))≥R(1-t2)α.

上式中：k1=0.648 4…是找到的一个绝对常数.下面将对式(8)的积分进行估计.

(9)

至此，引理4证毕.

引理5设F∈B(D)，F′(z)=f(z)=1+a2z2+a3z3+…，并假设a3≥0，a2=|a2|eiθ0，|θ0|≤π/3.若0≤r<1，θ∈[-π，π]，则有

上式中：|θ0|≤π/3；a3≥0；A2=|a2|cos(2θ+θ0)，A3=a3cos 3θ，…，An=|an|cos(nθ+argan)，…均为实数.

由Fθ(z)的定义可知

3 定理1的证明

(10)

即可.在式(10)中，有