Lévy过程驱动的金融混沌系统的渐近稳定性

林 怡，黄在堂

(1.广西建设职业技术学院 人文教育学院，广西 南宁 530007； 2.南宁师范大学 数学与统计学院， 广西 南宁 530100)

0 引言

非线性动力学性质在金融系统中的应用是近年来的一个研究热点.如:B. LeBaron推测混沌和非线性对未来金融体系的影响；Zhang W., Wang J.等人研究金融动态的非线性复杂演化及Gunduz Caginalp, Mark DeSantis等人基于随机数据分析金融市场的关键非线性动态([1-4]).对于金融混沌系统,本文首先通过定义一个函数,利用指数稳定性和Lévy-It公式,得到了系统解的P阶有界性,以此得到系统的渐近性质; 其次利用非高斯理论、Kunita第二不等式以及Jensen不等式等相关知识,得到系统解的一致Hölder连续性;然后利用转移概率和概率测度等相关知识,证明了系统解的转移概率具有柯西性,最后给出了Lévy过程驱动的金融混沌系统渐近稳定的条件,从而进一步描述了随机金融混沌系统的动力学性质.

1 预备知识

金融混沌系统是一个典型的复杂非线性演化系统，它由许多相互作用的因素构成,并且存在许多不确定性, 其波动和相应的波动常常表现为强非线性,因此用Lévy过程来研究金融混沌系统符合实际情况.Lévy过程的相关概念详见[5].非线性确定金融模型最早由黄登仕和李后强提出([6]),具体模型如下：

(1.1)

其中x表示利率,y表示投资需求,z表示价格指数,a表示投资额,b为每项投资成本,c为商业市场的需求弹性,三个常数a,b,c≥0.

在本文中,假设模型中所有的参数都是被随机扰动的,从而在模型(1.1)中通过置换参数a,b及c来引入随机效果,即

a⟹a-(αy/x)dB(t),b⟹b-(βx/y)dB(t),c⟹c-γdB(t).

这是一种标准的随机建模方法. 因此, 本文考虑以下模型:

其中B1(t),B2(t),B3(t)是相互独立的布朗运动,α,β,γ是描述扰动的波动强度.引入Lévy过程后可得到带Lévy跳跃的随机金融混沌模型

(1.2)

初始值

2 Lévy跳跃驱动的系统的渐近稳定性

在本节中，我们研究Lévy跳跃驱动下系统(1.2)的渐近稳定性.

这里F:n×+×S→n,G:n×+×S→n,H:n×+×S×Y→n是测度函数.令V∈C2,1(n×+×S;+)，定义LV如下：

LV(x(t),y(t),z(t),t)=Vt(x(t),y(t),z(t),t)+

Vx(x(t),y(t),z(t),t)F(x(t),y(t),z(t),t)+

V(x(t),y(t),z(t),t)-Vx(x(t),y(t),z(t),t)}λ(dv),

其中

dV(x(t),y(t),z(t),t)=LV(x(t),y(t),z(t),t)dt+

Vx(x(t),y(t),z(t),t)G(x(t),y(t),z(t),t)dB(t)+

(2.1)

接下来给出模型(1.2)跳跃扩散系数的基本假设.

假设1对任意ξ∈S,i=1,…,n,令φi(ξ,v)>-1,那么

假设2假设存在常量C2,C3>0使

以及

引理2.1令假设1和假设2成立,则对任意p>0, 存在一个K(p)>0使(2.1)的解有性质

证明对任意x(0)

定义一个函数V1(x)=x(t)p+y(t)p+z(t)p, 对etV1(x)使用带跳跃的广义It公式(2.1),有

d(etV1(x))=et(V1(x)+LV1(x))dt-pet[σ1xp(t)dB1(t)+σ2yp(t)dB2(t)+

(2.2)

其中，

由假设2知,V1(x)+LV1(x)≤Ck(p), 对(2.2)从ηk到t取积分取期望得

这里K(p)=maxkCk(p), 因此, 由V1(x)的定义, 可得

证明完毕.

假设3对每个0≤i≤n,ξ∈S,假设

引理2.2令假设1～3成立,则对任意θ>0存在一个H(θ)>0使系统(1.2)的解具有以下性质:

对U(x)使用带跳跃的广义的It公式(2.1), 有

dU(x)={-U2(x)[z+(y-a)x+(1-by-x2)+(-x-cz)]+

U2(x)(x(t)φ1(ξ,v)+y(t)φ2(ξ,v)+z(t)φ3(ξ,v))]λ(dv)}dt-

U2(x)[σ(ξ)x(t)dB1(t)+σ(ξ)y(t)dB2(t)+σ(ξ)z(t)dB3(t)]+

其中，

M=x(t)(1+φ1(ξ,v))+y(t)(1+φ2(ξ,v))+z(t)(1+φ3(ξ,v)).

LW(x)=θUθ-2(X){-U3(z+(y-a)x+(1-by-x2)+(-x-cz))+

(2.3)

注意到

由假设3知, 当θ>0足够小时, 有

(2.4)

由(2.3)和(2.4)得

我们取一个足够小的常数ε使得

所以我们得出

(2.5)

对(2.5)两边求积分取期望得到

注意此时有

我们可得出

因此

证明完毕.

(2.6)

其中

为了证明(1.2)分布渐近稳定,首先证明以下几个引理.

由前面的讨论可得

引理2.3令X(t),Y(t),Z(t)是t≥0上的n维随机过程, 假设存在正常数η,μ,ϖ使

E|X(t)-X(s)|η≤ϖ|t-s|1+μ,0≤s,t<∞，

E|Y(t)-Y(s)|η≤ϖ|t-s|1+μ,0≤s,t<∞,

E|Z(t)-Z(s)|η≤ϖ|t-s|1+μ,0≤s,t<∞.

证明利用积分得

由Kunita第二不等式以及Jensen不等式,存在C(p,t)>0使,

我们可以作出估计

其中

由以上所得有

引理2.5 假设(x(t),y(t),z(t))是定义在[0,∞)上的非负函数,使得(x(t),y(t),z(t))在[0,∞)一致连续,那么

假设4对每个ξ∈S和1≤i≤n,有

(2.7)

对于ζ,η∈S,定义停止时间

τζη=inf{t≥0:ξζ(t)=ξη(t)}，

则对任意ε1>0,有

(2.8)

|Ef(xx0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-Ef(xx0,ζ(t),ξζ(t))|=

|E[E(f(xx0,ζ(t+s),ξζ(t+s)))|Fs]-Ef(xx0,ζ(t),ξζ(t))|≤

P(s,x0,ζ,dt0×{l}),

|Ef(yy0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-Ef(yy0,ζ(t),ξζ(t))|=

|E[E(f(yy0,ζ(t+s),ξζ(t+s)))|Fs]-Ef(yy0,ζ(t),ξζ(t))|≤

P(s,y0,ζ,dt0×{l}),

|Ef(zz0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-Ef(zz0,ζ(t),ξζ(t))|=

|E[E(f(zz0,ζ(t+s),ξζ(t+s)))|Fs]-Ef(zz0,ζ(t),ξζ(t))|≤

P(s,z0,ζ,dt0×{l}).

将(2.7)和(2.8)代入以上三式有

|Ef(xx0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-f(xx0,ζ(t),ξζ(t))|<ε,∀t≥T,s>0,

|Ef(yy0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-f(yy0,ζ(t),ξζ(t))|<ε,∀t≥T,s>0,

|Ef(zz0,ζ(t+s),ξζ(t+s))-f(zz0,ζ(t),ξζ(t))|<ε,∀t≥T,s>0.

由f的任意性,前述三式一定成立.从而前述三式等价于

dL(P(t+s,x0,ζ,·×·),P(t,x0,ζ,·×·))≤ε,∀S≥0,s>0,

dL(P(t+s,y0,ζ,·×·),P(t,y0,ζ,·×·))≤ε,∀S≥0,s>0,

dL(P(t+s,z0,ζ,·×·),P(t,z0,ζ,·×·))≤ε,∀S≥0,s>0.

定理2.2在定理2.1的条件下, 系统(1.2)解的分布是渐近稳定的.

(2.9)

dL(P(t,0,1,·×·),P(t,x0,ζ,·×·))],

dL(P(t,0,1,·×·),P(t,y0,ζ,·×·))],

dL(P(t,0,1,·×·),P(t,z0,ζ,·×·))].

由(2.8)和(2.9)，可得出

(2.10)

证明完毕.