分数阶微分方程多点边值问题正解的存在性

赵 微，李 立，李 娜，王 冲，郭 锐，白旭亚

(1.大庆师范学院 数学科学学院，黑龙江 大庆 163712；2.黑龙江职业技术学院，黑龙江 哈尔滨 163300)

分数阶微分方程是数学研究领域中的一个热门课题。学者们已讨论了不同类型的分数阶微分方程边值问题解的相关问题。(1)参见江卫华、董倩：《Conformable分数阶微分方程三点共振边值问题解的存在性》，《吉林大学学报》(理学版)2021年4期等。由于分数阶微分方程能广泛地应用于流体力学、非牛顿力学等领域，所以对分数阶微分方程及其边值问题进行深入探讨，有着重要的理论及实际意义。

文中主要考虑如下分数阶微分方程多点边值问题

(1)

的正解存在性，其中ηi∈(0,1)，0<η1<η2<…<ηm-2<1，βi∈[0,+∞)。

首先构造出上述问题的格林函数，推导其相关的性质；其次，通过计算相应锥上的凸泛函不动点指数，得到了分数阶微分方程多点边值问题(1)至少存在一个正解的结论。对于分数阶微分方程边值问题正解的研究，多数运用锥拉伸与压缩定理、Leggett-Williams不动点定理、上下解、Banach压缩映射原理等方法，文中所用的方法不同于以往文献。

1 准备工作

下面先介绍一些文中所需要用到的定义和引理。

定义1 函数y:(0,+∞)→R的ν>0阶Riemann-Liouville积分定义如下

其中右边是在(0,+∞)上逐点定义的。(2)参见赵微：《一类分数阶微分方程m点边值问题的正解》，《湖南师范大学自然科学学报》2018年第3期。

定义2 函数y:(0,+∞)→R的ν>0阶Riemann-Liouville微分定义如下为

其中N=[α]+1，右边是在(0,+∞)上逐点定义的。(3)参见赵微：《一类分数阶微分方程m点边值问题的正解》。

引理1 假设u∈C(0,1)∩L[0,1]有ν>0阶导数属于C(0,1)∩L[0,1]，则

Ci∈R,i=1,2,…,N，其中N大于或等于ν的最小整数。

其次进行下述假设：

(H3)f:[0,+∞)→[0,+∞)连续。

引理2 给定g∈C[0,1]，边值问题

(1)

其中

证明 应用引理1，将上述微分方程转化为等价的积分方程

由u(0)=u′(0)=u″(0)=…=u(n-2)(0)=0,得出C2=C3=…-Cn=0。

整理计算得到

于是

引理3p(s)满足：

(i)p(s)在[0,1]上单调不减且恒正；

(ii)存在M≥m≥0使得任意s∈[0,1]，有ms+p(0)≤p(s)≤Ms+p(s)，其中

证明 (i)因为

引理4G(t,s)满足下面不等式：

证明 (i)当0

当0

(ii)当0

当0

令

(2)

引理5 若满足(H1)—(H3)，那么由(2)定义的算子A∶P1→P1是全连续的。

证明 由引理4及算子A的定义知，

于是

所以A∶P1→P1，且A(P1)⊂P1。再由Arzela-Ascoli定理知，算子A∶P1→P1全连续。

定义3 如果锥P上的泛函ρ∶P→R，对于∀x,y∈P，t∈[0,1]满足

ρ(tx+(1-t)y)≤tρ(x)+(1-t)ρ(y)，

则称ρ是锥P上的凸泛函。(4)参见赵微：《奇异四阶微分方程m点边值问题正解的存在性》，《西南师范大学学报》(自然科学版)2020年第10期。

2 定理

设

显而易见有h0≥hτ>0。

定理1 若(H1)—(H3) 满足，且有0

(1)f(u(s))≤h0-1u,∀u≤bl-1hτ-1；

(2)f(u(s))≥hτ-1u,∀ahτ-1l≤u≤ahτ-1l-1。

则上述分数微分方程边值问题(1)至少存在一个正解。

对于∀u∈{θ}，

假设A在P1∩∂Ω1上没有不动点，则有i(A,P1∩Ω1,P1)=1。(5)参见赵微：《奇异四阶微分方程m点边值问题正解的存在性》，《西南师范大学学报》(自然科学版)2020年第10期。

设Ω2={u∈C[0,1]|ρ1(u)

如果u∈P1∩∂Ω2，则ρ2(u)=a且u≤al-1hτ-1，由于

所以

假设A在P1∩∂Ω2上没有不动点，可得i(A,P1∩∂Ω2,P1)=0。

定理2 若(H1)—(H3)满足，且有0

(2)f(u(s))≥hτ-1u,∀blhτ-1l≤u≤bl-1hτ-1；

(3)f(u(s))≤ah0-1u,∀u≤al-1，

则分数阶微分方程边值问题(1)至少存在一个正解。

证明 因为

bl-1hτ-1≤al2hτ2h0-1l-1hτ-1=alhτh0-1

对于∀u≤bl-1hτ-1，有

hτ-1u≤hτ-1bl-1hτ-1=(hτ-1)2al2hτ2h0-1l-1=alh0-1

令

于是，ρi∶P1→[0,+∞)是一致连续凸泛函，且ρi(θ)=0(i=1,2)。又∀u∈P1{θ}，有

令Ω1={u∈C[0,1]|ρ2(u)

ρ1(u)≤u≤bl-1hτ-1

假设A在P1∩∂Ω1和P1∩∂Ω2上没有不动点,

如果u∈P1∩∂Ω1，则b=ρ2(u)≤uhτ，且进一步则有

所以i(A,P1∩Ω1,P1)=0；

如果u∈P1∩∂Ω2，则

i(A,P1∩Ω2,P1)=1，(7)参见赵微：《奇异四阶微分方程m点边值问题正解的存在性》，《西南师范大学学报》(自然科学版)2020年第10期。

综上可得：i(A,P1∩(Ω2Ω1),P1)=1。

于是对于上述分数阶微分方程多点边值问题(1)而言，至少有一个正解。

3 结 语

文中通过构造分数阶微分方程多点边值问题的格林函数，推导格林函数的相应性质，通过计算相应锥上的凸泛函不动点指数，得到了一类分数阶微分方程的多点边值问题(1)至少有一个正解存在的两个充分条件，所用方法不同于以往文献。