下凡的精灵：投影向量

姜宝松

摘要：2019年人教版《普通高中教科书·数学·必修·第二册》引入了投影向量概念，通过投影向量与旧教材中向量的投影概念辨别，理解投影向量的本质和作用，用投影向量解释数量积并进行运算，提升数学直观想象素养.

关键词：投影向量;数量积;高维空间;低维子空间

1 问题的产生

《普通高中数学课程标准（2017版）》实施后，2019年人教版《普通高中教科书·数学·必修·第二册》（后简称“新教材”）中出现了概念“投影向量”，取消了旧教材中“向量的投影”这一概念.有教师在讲授这一知识时误认为还是旧的概念，还有教师发现投影向量，只是在证明数量积的分配律时使用过，后面就如昙花一现般消失不见，不理解教材中为什么引入投影向量.

2 概念辨别

旧教材中向量的投影是一个数量，利用这个数量来解释向量的数量积.有教师因为旧教材的教学经验，先入为主地认为投影向量也是个数量，从而造成概念混淆.

新教材中投影向量的定义为“向量a，b是两个非零向量，AB=a，CD=b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量”（如图1所示），这里投影是一种数学线性变换，投影向量正是在这个变换下产生的，投影向量是一个向量，而不是数量.

3 投影向量的数学本质及其作用

向量的投影（这里是指正交投影）是高维空间到低维子空间的一种线性变换，得到的是低维子空间内的向量.例如，设空间Q是高维空间R的一个低维子空间，高维空间R内的一个向量a向子空间Q作投影变换（正交投影），得到子空间Q内的向量b（b即是投影向量），b是子空间Q中到向量a距离最短的向量[1].三维空间内的平面和直线均为其低维子空间，二维平面内的直线是其低维子空间.高中阶段，在点到直线的距离、点到平面的距离、向量的正交分解中，投影向量均发挥了重要的作用.

3.1 勾股定理

向量OA与向量b共起点，借助图形（距离最短，如图2所示），易知向量OA在向量b上的投影向量OA1与AA1构成直角三角形，投影向量把勾股定理带到我们面前.

3.2 点到直线的距离（向量推导）

设平面直角坐标系内点Q（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0，求点Q到直线l的距离d.

推导：如图3，在直线l上任取点P（x1，y1），则有Ax1+By1+C=0.

取直线l的一个法向量n=（1，BA），易知d就是向量PQ在法向量n上投影向量的模

（投影向量的模后面有推导过程）.

则d=PQ·nn=x1-x0+BA（y1-y0）1+B2A2

=A（x1-x0）+By1-y0）A2+B2

=Ax0+By0+CA2+B2.

3.3 点到平面的距离公式

推导：如图4，点Q为平面α外一点，任取平面内一点P，设平面α的一个法向量n，则点Q到平面α的距离d等于向量PQ在法向量n上的投影向量的模，

即d=PQ·nn.

同理，也可用投影向量得出两异面直线间距离公式.

以上距离公式的推导过程，可以总结为：点到平面的距离，即是向量（点和平面内的任意一点形成）在平面法向量上的投影向量的模;点到直线的距离亦是如此.这一过程体现了投影向量在降维中的作用，投影向量就像是高维空间降到低维子空间的精灵，联结起高维空间与低维子空间，舞动穿插于诸多数学知识中.

4 投影向量的教学建议

新教材中，在数量积的定义之后，给出了投影和投影向量的概念，并用较大篇幅探讨明了投影向量的计算方法.教材至此对投影向量停止介绍，之后仅在数量积的分配律时使用过投影向量，在后续教材中不见踪迹.这也是部分教师对投影向量地位认识不足，对教材中投影向量感到突兀的原因.结合上述投影向量的本质和作用，给出如下教学建议.

4.1 投影向量计算方法的改进

教材中投影向量的计算方法为OM=acos θe（其中OM为向量a在向量b方向上的投影向量，e为与b同向的单位向量，θ为a与b的夹角）.这种方法主要是借助几何直观，利用投影向量的定义得出.

还可利用向量的代数特性，进一步推导出投影向量计算方法的另一种形式：

OM=acos θe=acos θbbe=a·b|b|e=a·b|b|bb=a·bb2b.

即投影向量的计算方法有两中形式：

（1）OM=acosθe;

（2）OM=a·bb2b.

形式（1）体现出投影向量运算的几何特征，形式（2）体现出投影向量的代数运算特征.由形式（2）还可以推导投影向量的模，推导如下：

OM=a·bb2b=a·bb2b=a·bb.

|a·b||b|

即向量a在向量b方向上的投影向量的模.

例1已知a=6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量.

例2如图5，已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为     .

例1、例2均为教材中的原题，借助几何直观，利用形式（1）可迅速求解.

例3

已知b=5，a=4，a·b=15，求向量a在向量b上的投影向量.

解：向量a在向量b上的投影向量为a·bb2b=35b.

例4

已知a=-2，1，b=（4，3），求向量a在向量b上的投影向量.

解：向量a在向量b上的投影向量为a·bb2b=-15b=-45，-35.

例3、例4以及2019年人教版数学必修第二册第89页第15题，用形式（2）容易解决.

4.2 利用投影向量解释数量积

数量积刻画的是两个向量的模和夹角余弦的乘积.其实，用投影向量也可以解释数量积.已知OM为向量a在向量b上的投影向量，e为与b同向的单位向量，θ是向量a与向量b的夹角，由投影向量的计算方法，可得OM=a·bb2b，

所以

OM·b=a·bb2b·b=a·bb2b2=a·b.

下面为几何解释，如图6所示：

设OA=a，OB=b，OM为向量a在向量b上的投影向量.

即a·b等于a在b上的投影向量与向量b的数量积.用投影向量来解释数量积，体现了平面向量到一维向量的降维转化，也能更好地诠释物理上“功”的定义.

例5如图7，在圆C中，是否只需要知道半径长或弦AB的长，就能求出AB·AC？

解：考虑两个向量在彼此上的投影向量，根据圆的性质，

易得AC在AB上的投影向量为12AB，所以AB·AC=12AB2，只需已知弦AB的长即可求出AB·AC，与半径无关.

例6

如图8，四个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B4C4上有10个不同的点P1，P2，……，P10，记mi=AB2·APi（i=1，2，3，……，

10），求m1+m2+……+m10的值.

例5、例6均可利用投影向量巧妙解答.

用投影向量解释数量积，在常用数量积计算方法上进行了补充，有助于学生直观想象素养的提升，也能帮助学生进一步理解向量运算.

5 结束语

向量是沟通代数与几何的桥梁，投影向量则把高维空间和低维子空间进行了联结，像是高维空间“下凡”到低维空间的数学精灵.笔者认为，教师在讲授新课时若能增加课时补充这一内容，或是新教材中补充用投影向量来解释数量积运算的内容，可以更深入揭示向量数量积的运算本质，让投影向量的作用体现得更加灵动.

参考文献：

[1]严兴光.理解数学：向量投影与投影向量[J].中学教研（数学），2021（6）：12-14.