基于随机共振及图谱理论的齿轮故障特征提取

刘新厂，孙 琦

(1.成都工业学院 汽车与交通学院，成都611730； 2.西南交通大学 机械学院，成都611730)

齿轮箱齿轮传动系统将牵引电机的扭矩传递给轮对驱动列车运行，是机车的重要组成部分[1-2]。齿轮箱齿轮传动系统工作条件十分恶劣，不仅受到传递载荷、齿轮啮合的周期性内部激励以及轮轨界面激励影响，而且还要适应轮对、构架之间复杂的相对运动，极易发生齿根裂纹故障。表1 为某机务段某型机车牵引从动齿轮齿根裂纹统计表[3]，从表中可以看出齿根裂纹故障具有逐年递增的趋势。表2为某机务段某型机车牵引从动齿轮齿根裂纹故障在齿轮故障中所占百分比[3]，从表中可以看出齿根裂纹故障是齿轮所有故障中最易出现的。因此，车辆牵引传动系统的齿根裂纹故障检测与诊断研究是保证列车安全运行的关键。

表1 某机务段某型机车牵引从动齿轮齿根裂纹统计[3]

表2 某机务段某型机车牵引从动齿轮齿根裂纹故障在齿轮故障中所占百分比[3]

当齿轮传动系统出现故障时，采集到的信号中所包含的故障信息十分微弱，通过各种信号增强方法将信号中包含的故障信息进行增强是齿轮传动系统故障诊断的有效方法。国内外学者在信号增强方面也做了一些研究。1987年，McFadden[4]提出了一种齿轮啮合振动时域平均信号处理方法，并将其应用于齿轮早期故障检测中。2004年，姚竹亭和潘宏侠[5]采用时域同步平均法对齿轮箱故障信息进行增强，取得了比较不错的效果。2013年，Lei 等[6]提出了一种自适应随机共振方法对行星齿轮箱故障进行诊断。自适应随机共振方法利用蚁群算法的优化能力，自适应地选择与输入信号相匹配的最优随机共振系统。试验结果表明采用自适应随机共振方法可以有效地降低噪声，突出微弱特性，从而准确诊断故障。2015年，Chen 等[7]提出了一种基于集合经验模态分解和自适应随机共振相结合的行星齿轮弱故障特征信息提取方法。2017年，李继猛等[8]为了从含有微弱齿轮故障信息的振动信号中提取冲击成分，采用了基于自适应随机共振的信号增强方法。2018年，姜宏等[9]为了凸显齿轮早期微弱故障特征提出了一种双矢时域变换方法，并且通过试验数据对该方法的有效性进行了验证。

实际采集到的齿轮传动系统振动具有非平稳的特性。为了实现非平稳信号处理，一些学者开始采用小波变换以及改进的小波变换方法对非平稳信号进行分析[10－12]，并且取得了一定成果，但是小波变换及其改进算法在分析非平稳信号时，太过依赖母小波的选取。在1998年的时候，Huang 提出了一种自适应的信号处理方法叫做EMD (Empirical Mode Decomposition)[13]。这种方法在旋转机械故障诊断中得到了很好的结果[14]。但是，EMD算法缺少理论基础并且分解结果中存在模态混叠以及断点效应。为了解决EMD分解过程中的模态混叠问题，学者们对EMD 算法进行改进，提出了EEMD (Ensemble Empirical Mode Decomposition) 算法[15]、CEEMD(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition)

算 法[16]、CEEMDAN(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition and Noise)算法[17]。为了更好地对非平稳信号进行分析，一些新的自适应信号分析方法被提出来，比如：LMD(Local Mean Decomposition)[18]、EWT(Empirical wavelet transform)[19]以 及VMD(Variational mode decomposition)算法[20]。

在过去的几年中，图谱理论在流形学习以及图信号处理领域取得了巨大进展[21－22]。近些年，一些学者开始将图谱理论算法应用到旋转机械故障诊断领域。在2016年，Ou 利用GFT 方法提取旋转轴承振动信号中的冲击成分，实现了轴承故障检测[23]。但是，高斯白噪声信号经过图傅里叶变换之后有很多成分集中在图谱域的高阶区域，所以当信号中含有较强的噪声时，经图傅里叶变换提取到的冲击成分受到噪声的影响，从而影响分析结果。

基于以上原因本文提出了一种基于随机共振以及图谱理论相结合的齿轮箱传动系统齿根裂纹故障提取方法。首先，对采集到的信号采用复Morlet 小波梳状滤波器进行解调处理；然后运用图理论方法对仿真信号进行处理，提取信号中所含有的冲击信号成分；最后利用随机共振方法对提取的信号进行处理，达到消除信号中噪声干扰、增强冲击信号的目的。运用本文提出方法对仿真数据进行处理，证明了本文提出方法的有效性。

1 随机共振算法以及图傅里叶变换GFT(Graph Fourier Transform)

1.1 随机共振理论

随机共振就是把由弱周期信号以及噪声组成的混合信号导入到非线性系统的信号处理单元中，通过非线性系统、弱周期信号以及噪声的协同作用，使得噪声能量向弱周期信号能量转换，从而使得系统响应得到一定增长[24]。随机共振结构示意图如图1所示。

图1所示随机共振模型主要含有3个因素，分别是微弱输入信号s(t)、噪声Γ(t)以及非线性系统[24]。

图1 随机共振示意图[24]

双稳态系统是研究随机共振现象的基础，具有双势阱性质的朗之万方程是描述非线性双稳态系统的典型模型。受微弱周期信号以及噪声作用的一维Langevin 双稳态系统模型可以通过式(1)进行描述，即：

式中：x为粒子的运动轨迹；s(t)为系统的输入信号；Γ(t)为均值为0强度为D的高斯白噪声；V(x)为非线性对称势函数，可以通过式(2)进行描述，即：

式中：参数a、b分别为非线性对称势函数的结构参数，它们的取值都为大于0 的实数。非线性对称势函数具有两个极小值点以及一个极大值点。

1.2 图傅里叶变换理论

机械振动信号、谐波信号等时间序列信号具有路图的结构，所以这些信号可以运用路图信号G={V，E，W}的表达方式进行表示。V={v1，v2，v3，…，vN}是顶点的集合，N是振动信号个数，E={e1，e2，e3，…，eN}是边的集合，每条边e都有V中的顶点对与之对应，即边集E中每条边是通过连结V中某两个顶点得到的，所以边集E={v1v2，v2v3，v3v4，…，vN-1vN}，W是一个邻接矩阵，用来存放顶点间的关系。wij是W中第i行第j列的元素，可以通过公式(3)进行求解[23]：

图傅里叶变换理论变换过程如下：

(1)将采集到的机械振动信号运用路图信号G的表达方式进行表达，求解出参数V、E、W。

(2)求解拉普拉斯矩阵L。L的计算公式如式(4)所示。式中D是度对角矩阵，di为顶点的度数，通过式(5)求解得到。

(3)对拉普拉斯矩阵L进行标准正交分解，得到拉普拉斯特征值λl以及特征向量xl，计算公式见式(6)。

(4)图信号是一个向量f∈Rn，f(n)表示f中第n个元素，定义为：V={v1，v2，v3，…，vN}→Rn(f(1)，f(2)，f(3)，…，f(N))。与傅里叶变换的定义类似，图信号f(n)的GFT 是将其按照图拉普拉斯矩阵特征函数(特征向量)展开。不同的是傅里叶变换的基函数是固定不变的，而图傅里叶变换的特征向量因权值定义方式的不同而不同。示图信号f(n)的图傅里叶变换，定义式如下：其中：l为特征值和特征向量的阶次，简称为阶次。

通过图傅里叶变换方法可以将振动信号中所包含的冲击成分集中在图谱域的高阶次区域。但是，高斯白噪声信号经过图傅里叶变换之后有很多成分集中在图谱域的高阶区域，所以当信号中含有较强的噪声时，由图傅里叶变换提取到的冲击成分受到噪声的影响。图2(a)是一个均方根为0.3 的高斯白噪声的时域图，图2(b)是高斯白噪声经图傅里叶变换后所得的图谱。从图2(b)可以看出高斯白噪声也具有高频聚集性。基于以上原因本文提出了一种基于随机共振以及图谱理论相结合的轮对轴承故障诊断方法。

图2 均方根为0.3的噪声的时域图和GFT图谱

2 本文的方法

本文提出了一种基于随机共振以及GFT 方法相结合的齿轮箱齿根裂纹故障诊断方法。首先，运用复Morlet小波梳状滤波器对原始信号进行解调处理；然后，运用图谱理论方法对仿真信号进行处理，提取信号中含有的冲击信号成分；最后利用随机共振方法对提取的信号进行处理，达到消除信号中噪声干扰、增强冲击信号的目的。本文提出方法的流程如下：

(1)构造复Morlet 小波簇梳状滤波器。对原始信号进行傅里叶变换得到频谱图，通过频谱图对信号中的载波频率以及故障特征频率进行估计；构造复Morlet 小波簇梳状滤波器，每个带通滤波器的中心频率与载波信号及其谐波信号频率相同，通带带宽由故障频率确定；

(2) 包络信号求解。对原始信号以及复Morlet小波簇梳状滤波器进行傅里叶变换，将得到的结果相乘，然后求解傅里叶逆变换即得到复Morlet 小波簇变换系数；对求解得到的复Morlet 小波簇变换系数取模即可获得待分析信号的包络信号。

(3) 采用GFT 提取信号中的脉冲分量。利用GFT 方法对包络信号进行处理，可以得到包络信号的图谱系数。利用这些图谱系数在GFT 图谱的高阶区域重建不同的脉冲分量。计算这些脉冲分量的希尔伯特包络谱，找出故障特征频率下包络谱值最大的脉冲分量。

(4)通过随机共振增强信号中的故障信号成分。对获得的脉冲信号进行随机共振处理，增强信号中故障特征，增强后的故障特征频率可为故障诊断提供有力依据。

3 基于机车振动数据的齿根裂纹特征提取方法有效性验证

本节通过随机共振以及图谱理论相结合的方法对在机车齿轮箱出现齿根裂纹故障情况下所采集到的含有故障信号机车电机振动信号进行分析，对基于随机共振以及图谱理论的齿根裂纹故障诊断方法的有效性进行验证。

在机车齿轮出现齿根裂纹故障情况下的机车电机振动加速度信号通过对文献[25]中含齿轮传动系统的机车垂向动力学模型进行仿真得到。此动力学模型由机车子系统以及轨道子系统组成。机车子系统包含1个车体、2个构架、4个轮对、4个电机以及4个齿轮传动系统。车体与构架之间通过二系悬挂系统连接；构架如轮对之间通过一系悬挂系统连接；齿轮箱的一端与构架连接，另外一端与轮对连接。机车子系统的各个组成部分具有点头以及垂向2个自由度。轨道子系统由钢轨、轨枕、道床、路基组成，它们之间通过弹簧阻尼元件连接。钢轨被视为一个无限长的Euler梁，它与轨枕之间通过弹簧阻尼元件连接。轨道子系统的各个组成部分只具有垂直方向的1个自由度。齿轮传动系统由电机、小齿轮、大齿轮组成。电机的转子通过扭簧阻尼元件与小齿轮连接，小齿轮通过啮合力带动齿轮旋转，大齿轮安装在轮对上。齿轮传动系统的各个组成部分只有自身旋转1个自由度。车辆轨道耦合垂向动力学方程详见文献[25]。

仿真过程中，机车受到轨道垂向随机不平顺激励作用，轨道垂向随机不平顺采用美国六级轨道谱如图3 所示。仿真过程中列车运行速度为100 km/h，车轮半径为0.625 m，大齿轮与轮对共轴所以大齿轮的转速为7.077 r/s，大小齿轮齿数分别为120/23，所以小齿轮的转速为36.9 r/s(大齿轮转速乘以大小齿轮传动比)，小齿轮的旋转速度即为小齿轮的故障特征频率，采样频率为20 kHz。通过仿真得到的齿根裂纹长度为9 mm 时机车电机振动信号时域图如图4 所示。通过图4 可以看到通过仿真得到的机车电机振动信号中含有大量噪声，使得齿根裂纹故障特征频率淹没在噪声中。

图3 轨道垂向随机不平顺激励时域图

图4 电机振动加速度的时域图

基于复Morlet小波簇梳状滤波器也可以提取信号中冲击成分，对本文分析方法与基于复Morlet 小波簇梳状滤波器分析方法进行对比，进一步验证本文方法的有效性。运用以上两种方法对齿轮箱齿轮齿根裂纹长度为1 到9 mm 时采集到的机车电机振动加速度进行处理。

图5 为齿根裂纹长度为1 mm 情况下基于本文方法提取的电机振动加速度信号中冲击成分的时域图以及频谱图。通过图5(a)可以看出信号中有一些冲击成分，但是冲击成分之间的时间间隔不相等，与齿轮故障冲击时间间隔也不相等。通过图5(b)可以看出在信号故障频率处有较为明显的故障频率成分，故障频率幅值为0.165 7，信噪比为0.017 8。

图6 为齿根裂纹长度为1 mm 情况下基于复中Morlet小波梳状滤波器提取的电机振动加速度信号中冲击成分的时域图以及频谱图。图6(b)中故障频率fp=37 Hz处幅值为0.010 98。通过图5(b)与图6(b)的对比可以发现本文的方法优于基于复Morlet小波簇梳状滤波器算法。

图5 齿根裂纹长度为1 mm情况下根据随机共振以及GFT方法提取信号图

图6 齿根裂纹长度为1 mm情况下根据复Morlet小波梳状滤波器提取冲击信号图

图7 为齿根裂纹长度为9 mm 情况下基于本文方法提取的电机振动加速度信号中冲击成分的时域图以及频谱图。图7(a)中t2与小齿轮故障时间间隔相等，图7(b)中可以清楚地看到信号故障频率fp。图7(b)中故障频率fp的数值为0.488 1，信噪比为0.054 0。图8(a)为齿根裂纹长度为9 mm 情况下基于复Morlet小波梳状滤波器提取的电机振动加速度信号冲击成分的时域图以及频谱图。图8(b)中故障频率处幅值为0.280 3。通过图7(b)与图8(b)的对比可以发现本节的方法优于基于复Morlet小波簇梳状滤波器算法。

图7 齿根裂纹长度为9 mm情况下根据随机共振以及GFT方法提取信号图

图8 齿根裂纹长度为9 mm情况下根据复Morlet小波梳状滤波器提取冲击信号图

实际分析过程中分析了齿根裂纹长度从1 mm到9 mm(每增加1 mm计算1次)逐次增加的情况，通过分析发现当齿根裂纹大于5 mm 时采用基于随机共振以及图谱理论相结合的方法对含有齿轮故障信息机车振动加速度信号进行处理后，能够有效地获得信号中的冲击成分，其在时域以及频域都能有很好的表现，当齿根裂纹小于5 mm时基于随机共振以及图谱理论相结合的方法对含有齿轮故障信息机车振动加速度信号进行处理后，信号中的冲击成分在频域中也能很好表现出来，其在时域中的表现相对较差；而在齿根裂纹小于5 mm 的情况下，基于复Morlet小波簇梳状滤波器算法提取得到信号中冲击成分在频域以及时域中都十分不明显。通过本节方法与基于Morlet小波簇梳状滤波器的信号提取方法比较可以看出本文方法的优越性。综上所述，采用基于随机共振以及图谱理论方法对含有齿轮故障信息机车振动加速度信号进行处理后，能够有效提取信号中的冲击成分，为故障诊断提供有力依据。

4 结语

本文运用基于随机共振以及图谱理论相结合的方法对采集到的振动加速度进行处理，从而获取信号中冲击成分。

(1)图傅里叶变化方法可以将信号中所包含的成分集中到信号的高阶次去，是一种有效的信号冲击成分提取方法。

(2)通过随机共振方法，能够对提取到的信号中噪声成分进行有效抑制，进一步凸显以及增强信号中的冲击成分。