关注问题本质 提升评讲质量

陈静

[摘  要] 学生考试时常出现“一错再错”的现象，学生对错题的认识还停留在“知其然不知其所以然”的状态，从而解题时即使知晓解题思路也不能顺利求解. 为此，在试卷评讲时要引导学生回归教材、回归通法，从问题的本质出发，通过“多解”“多变”实现解题思路的拓展和延伸，进而不断提升转化能力和思维能力，促进解题效率的提升.

[关键词] 回归教材;回归通法;解题效率

试卷评讲课是高三数学教学的重要课型之一，是学生查缺补漏的主战场，然从试卷反馈来看，试卷评讲的效率较低，很多题目学生常“一错再错”，究其原因主要是受传统教学模式的影响，试卷评讲依然延续着“师讲生听”的模式，学生的主体性没有得到发挥，学生的学习依然是被动的，学生只重视练而不重视总结和反思，进而影响了学习能力的提升. 那么试卷评讲该如何进行呢？尤其是对一些难度较大的应用题，应采用什么评讲模式才会更加高效呢？笔者以一道高考模拟题为例，说一说对试卷评讲的一些浅见，供参考.

[⇩] 研究背景

下面的例1是高三模拟考试中的一道综合应用题，笔者借助于本题求解中暴露的问题，如基础知识不扎实、解题思路单一、运算能力不足等问题，浅谈试卷评讲的方向、试卷评讲的策略及意义.

例1 如图1所示，某商业中心O有两条街道，一条位于正东方向，一条在北偏东30°方向，某公园P位于商业中心O北偏东θ角（0<θ<，tanθ=3），且公园P与商业中心O的距离为 km. 现过公园P修一条直路，使其可以连通商业中心O的两条街道，其交点分别为A，B.

（1）若AB正好沿正北方向，试求O到A，B两处的距离和;

（2）若要使商业中心O到A，B两处的距离最短，请确定A，B的最佳位置.

本题是一道高考模拟备考题，虽然之前求解过类似的题目，然学生的解题效果并不理想. 问题（1）中因为AB刚好是正北方向，学生根据已知建立了平面直角坐标系，并根据已知得到OA=OP·sinθ=，OB=2OA，于是得到O到A，B两处的距离和为13.5 km. 该位置是一特殊位置，其角度也是一特殊值，因此求解较容易，绝大多数学生都可以准确求解. 对于问题（2），几乎所有学生都可以通过建立平面直角坐标系，借助于直线AB的方程来刻画O到A，B两处的距离和，解题思路清晰，然在求解过程中却暴露了很多问题，如未讨论直线AB的斜率，利用函数却不考虑其定义域，求导运算也是漏洞百出. 为此，对于这道应用题学生虽然形成了正确的解题思路，然大多数学生却未能正确求解. 那么对于这样的问题，教师该如何评讲呢？显然，若“就题论题”直接给出答案，则很难加深学生的理解，那么学生日后解题时出现错解的概率依然很大. 为此，评讲此类问题时教师必须改变传统的“灌输式”和“一刀切”评讲模式，要依据学生的学情，借助于学生熟悉的问题带领学生回归问题的本质，进而提升评讲品质，提高评讲效率.

[⇩] 试卷评讲策略

1. 关注回归，化陌生为熟悉

（1）回歸教材. 高考题目大多数源于教材，在教材中往往可以发现高考题目的影子. 因此，在试卷评讲时可以回归教材，从学生熟悉的内容出发，有效化解学生对题目的陌生感，增强解题信心;同时，通过回归可以引起学生对教材的重视，使学生更加关注对教材例习题的开发和拓展，这样既有利于拓展学生的思维能力也有助于学生跳出“题海”.

（2）回归通法. 在解题教学中，部分学生常关注难题、新题，盲目地追求花里胡哨的解题技巧，进而使得基础题屡屡失分，得不偿失. 在数学学习中要多关注解题的通性通法，善于从问题的本质出发去思考和解决问题，这样不仅可以帮助学生跳出“题海”，而且可以实现“会一题、会一类”的目的. 为此，在教学中教师可以带领学生从简单的、熟悉的问题出发，关注问题的基本规律，从普通意义去建构，使学生面临新题、难题时也能找准解题方向，顺利求解.

例2 如图2所示，在平面直角坐标系中，过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，求OA+OB的最小值.

解法1：由题意可知，直线l的斜率存在，设为k（k≠0），则l的方程为y-1=k（x-2）. 令x=0，得y=1-2k;令y=0，得x=2-. 由1-2k>0，

2->0得k<0，则OA+OB=1-2k+2-=3+（-2k）+（-）≥3+2，当且仅当-2k=-，即k=-时取等号.

教师在评讲应用题前，选取了一个学生熟悉的、题设简单的求距离的问题，进而借助于简单题提升学生解题的信心. 在求解过程中引导学生关注直线斜率存在的问题，善于对特殊情况进行分类讨论. 本题根据直线l的斜率存在，故解题时可以结合图像借助于不等式组进行求解.

2. 多解拓展，优化解题策略

对于例2，教师引导学生进行多解拓展，其目的是发散思维，充分调动学生已有的经验，进而活学活用. 在教师的引导下，对于例2学生又提出了以下两个不同的解决方法：

解法2：设A（a，0）（a>0），由题意可知，直线l的斜率存在，且斜率不为0，故l：=，令x=0，得y=+1. 由+1>0得a>2，则OA+OB=a++1，同理利用基本不等式可以顺利求解.

解法3：如图3所示，作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，设∠BAO=α（0<α<）. 在Rt△PAC中，AC=;在Rt△PBD中，BD=2tanα. 则OA+OB=2++1+2tanα=3+2tanα+. 至此，问题转化后求得最小值为3+2.

解法1为设方程法，解法2为设点法，这两种方法是解析几何中常用的处理方法. 在利用通法求解问题时要注意引导学生关注问题转化的等价性，如特殊值、定义域等. 解法3利用的是解三角形的相关知识，在解决此类问题时应用此方法也较常见. 以上三种解法都是教材例习题中较常见的方法，将解法向学生熟悉的解决模式进行转化，有利于解题思路的形成，有助于解题效率的提升. 在数学学习中，很多学生对这些通性通法表示不屑一顾，过多地追求解题技巧，久而久之，学生就会忘记解题的根本，学生的解题能力难以得到提升. 为此，在评讲应用题时，让问题回归，让解法回归，引导学生关注基础、关注本质，进而为后面的延伸和拓展奠基.

3. 变式拓展，活化思维

经过对例2的评讲，学生掌握了解决此类问题的方法，那么其与例1又有什么联系呢？如何引导学生进行知识的迁移呢？基于此，教师在例2的基础上进行了变式拓展，将图2进行旋转和倾斜后得到了图4和图5. 虽然变换后与原题不同，然其本质并没有变化，依然可以借助于例2的解题经验进行求解. “新题”给出后，学生迫不及待地想去验证，学生的探究欲被激发了，解题效率获得了大幅度提升.

学生通过类比，顺利地完成了这两道变式题，这时引导学生回归例1，将解题经验进一步迁移. 通过前面由浅入深的逐层渗透，借助于“多解”和“变式”的不断激发，大多数学生可以自主地应用不同方法完成例1中问题（2）的求解.

解法1：设方程法. 学生之前在求解时几乎都应用了该方法，此方法是解决此类问题的通法，然因学生对通法的掌握不够细致，使得解题时漏洞百出. 为此，教师带领学生通过自查和互纠的方式完成错题订正，进而实现巩固基础、强化通法的目的.

解法2：设点法. 以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图6所示的平面直角坐标系，则P

设A（a，0）（a>0），若a=，由（1）得OA+OB=13.5（km）.

当a≠时，直线AB：=. 由题意知，直线OB：y=x. 联立直线AB与直线OB，解得x=.

由x=>0，得a>4，则OA+OB=a+2×=（a-4）++5≥9，当且仅当a-4=，即a=6时取等号，此时OA=6 km，OB=3 km.

解法3：解三角形. 如图7所示，过点P作PM∥OA交OB于点M，PN∥OB交OA于点N，设∠BAO=α.

在△OPN中，==，得PN=1=OM，ON=4=PM.

在△PAN中，=，得AN=. 同理，在△PBM中，BM=，且0°<α<120°，则OA+OB=4++1+≥9，当且仅当=，即tanα=时取等号.

学生利用方程法求解后，教师又引导学生尝试利用另外两种方法求解，三种方法类比后让学生发现最优的解决方法.

在本题的评讲中，教师不是急于带领学生订正，而是借助于学生较熟悉的、简单的问题先进行引导，让学生将解题的重心放置于問题本质的探究上，进而通过对通法的思考来寻找最优的解决方法. 在此过程中让学生先回归熟悉，再利用变式回归陌生，通过模式的转化使学生的思维更加活跃，解法更加灵活，课堂更加生动.

总之，要想发挥试卷评讲的优势，就必须打破“就题论题”的教学模式，要回归基础，要善于捕捉问题的本质，从而让学生可以站在解题思想的高度去思考问题、解决问题，最终促进学生提升数学能力.