圆形吸收体贝壳形复合抛物聚光器模型构建及其性能

陈 飞，施健鹏

（1. 昆明理工大学化学工程学院，昆明 650500； 2. 昆明理工大学太阳能工程研究所，昆明 650500）

0 引 言

到达地球表面的太阳辐射密度通常小于1 kW/m。为了扩大太阳能系统的应用领域，可将较低密度的太阳辐射能进行有效聚集，因此多种太阳能聚光器被提出，其中基于非成像光学边缘光线原理所构建的复合抛物聚光器（Compound Parabolic Concentrator，CPC）具有静态运行、无需匹配追日装置、面形易于构建等优点，受到科研人员的长期关注。

20世纪Rabl研究了圆形吸收体的CPC面形结构，分析了其聚光比、接收半角与高度之间的关系。Waghmare等利用光线追踪技术设计了一种圆形吸收体CPC，研究结果表明所设计的CPC可有效降低聚能过程中的光学损耗。Xu等基于太阳辐射理论，构建了一种平板吸收体的CPC聚光器，仿真研究结果表明水平截断的非对称平板吸收体CPC的几何聚光比随接收半角的增大而减小。Fang等将多个平面反射镜耦合连接代替抛物反射面，构建了一种复合平面聚光器，有效提升了平板吸收体表面上太阳辐射能的均匀性，同时还提高了年辐射采集量。

常规的CPC聚光器不易稳定放置，并且存在光线逃逸、热量流失、聚光比低等问题。为此许多学者在构建新型CPC结构方面开展了研究。Xia等基于微分几何原理构建了一种CPC系统不仅能够水平放置，而且解决了由于真空管间隙引起的光线损耗问题，有效提高了太阳辐射能的采集量。Ustaoglu等构建了一种由抛物线和渐开线反射面耦合形成的圆形吸收体两级CPC聚光器，并完全嵌入全玻璃真空管内部以降低热损失，同时还有益于一体化系统的安装与固定。Gao等提出了一种南北向水平放置的高增益圆形吸收体CPC，能同时提高接收角和聚光比，在光口宽度、吸收体尺寸和材料特性相同的情况下，高增益CPC的平均光学效率和初始接收角比S-CPC分别提高了4.32%和17.56%。Muhumuz等构建了一种水平放置光口朝上类似贝壳形状的CPC面形，有效降低了吸收体到周围环境的对流传热损失。Rabl针对平板吸收体提出了一种基于对流抑制腔耦合作用且聚光比可调的贝壳形CPC聚光器，可随季节变化灵活调整贝壳形CPC聚光器面形结构以达到最佳聚能效果。

但现有的CPC在有效工作时长内面形利用率较低，仍然有很大的改进空间。本文基于非成像光学边缘光线原理，构建了一种圆形吸收体的贝壳形CPC聚光器，并对其开展了理论分析、试验验证及光学性能分析，以期为CPC聚光器优化设计提供参考。

1 贝壳形复合抛物聚光器模型构建

1.1 贝壳形复合抛物聚光器结构特征

常规圆形吸收体标准复合抛物聚光器（Standard-Compound Parabolic Concentrator，S-CPC）的结构如图1a所示，在北半球沿东西向放置的圆形吸收体S-CPC聚光时，一年中的大部分时间里（从秋分到下一年春分的全部时间，从春分到秋分的绝大部分时间）太阳光线从S-CPC的南面倾斜向下往北面照射。这就导致S-CPC南面部分更多的时间内不能有效聚光，同时还会拦截能够直接到达吸收体的部分光线（如图1a中的虚线光线）。

另一方面，南边聚光面的背面吸收太阳辐射能之后温度上升，热应力将增大，加速材料老化，导致面形结构更容易损坏。

图1 S-CPC和SS- CPC的面形结构示意图Fig.1 The surface structure of Standard-Compound Parabolic Concentrator (S-CPC) and Shell Shaped-Compound Parabolic Concentrator (SS-CPC)

非对称结构的圆形吸收体贝壳形复合抛物聚光器（Shell Shaped-Compound Parabolic Concentrator，SS-CPC）面形结构如图1b所示，其只有一扇北向形状类似“贝壳”的聚光面，这种结构设计相较于S-CPC增大了聚光器有效采光口宽度，同时还有效消除了图1a中S-CPC聚光器南边面形拦截光线导致不能聚光的现象，且不受接收角取值的限制。相比S-CPC，SS-CPC在秋分到下一年春分的全部时间可更高效地收集太阳辐射能，而此时间段人们日常生活所需的用热需求往往更多，这也使得SS-CPC收集太阳能的特性与人们的用热需求相契合。

1.2 贝壳形复合抛物聚光器的数学模型

如图2a所示，入射光线相切于圆形吸收体点入射，到达反射面上的点后沿原路被反射到吸收体并再次相切于点，同时与轴相交于点。由非成像光学边缘光线原理和反射定律可知，对于面形上的任意一动点有：

由几何意义可知得取值范围为

其中为SS-CPC的最大接收角，（°）。

图2a中k可以表示为

式中和为动点的坐标，为圆形吸收体的半径，因此有：

联立式（1）～（5）可得：

图2 SS-CPC模型推导示意图Fig.2 Schematic diagram of the SS-CPC model derivation

图2b中，任意动点以边缘光线照射到CPC面形上，点的反射光线需到达基圆的边缘点，即反射光线与吸收体相切于点。相互平行的入射光线和从采光口照射到反射面BC上，光线经过点反射后相切圆形吸收体于点，同样入射光线反射后相切于点。弧长为光线与光线的光程差（≥0.5π++）：

根据几何关系线段长度IH、MH为

在图2b中，点的横坐标等于线段MH在轴的投影减去线段OM在轴的投影，因此有：

同理可得点的纵坐标为

因此整个SS-CPC面形曲线的数学模型可表示为

其中：

1.3 贝壳形复合抛物聚光器的结构设计

太阳光线在圆形吸收体SS-CPC聚光器采光口的投影入射角如图3所示，由于太阳视运动的存在，是太阳高度角和方位角的函数，其计算公式如下：

图3 太阳光在SS- CPC采光口的投影入射角Fig.3 The projection incidence angle of sunlight on the SS- CPC aperture

为了实现SS-CPC全年运行时每天有效工作时间不小于6 h，以赤纬角为极值时的两至日（夏至日和冬至日）为设计日子数，正午3 h后的太阳时角为设计基准。北纬25°昆明地区太阳光线在贝壳形CPC采光口处夏至日和冬至日的值如图2b所示，图中为-6.7°、ζ为56.3°，同时也是贝壳形CPC的最大接收角。

从图2b中可以看出，SS-CPC的面形结构终点的位置由参数、、、共同决定，而对于在确定地理位置使用的SS-CPC，、、是确定的，值直接影响了SS-CPC采光口的有效尺度，也直接决定了贝壳形CPC聚光器对太阳辐射能的收集性能。

2 贝壳形复合抛物聚光器的面形验证试验

采用3D打印设备制造SS-CPC实体模型，3D打印所采用的材料为直径1.75 mm的PLA（polylactic acid）。圆形吸收体的半径为23.5 mm（58 mm×1 800 mm是一种被广泛应用的全玻璃太阳能真空管，其壁厚通常为1.6 mm，外管内径为58 mm，内管外径为47 mm，相应的吸收体半径为23.5 mm），、、的值分别为56.3°、-6.7°、34°。

采用可视化激光模拟太阳光线构建激光试验验证装置。试验主要评估不同入射角下激光进入SS-CPC实体模型的光路与模拟结果的一致性。

图4 激光试验平台Fig.4 Laser experimental platform

如图4所示，水平仪和铅垂线用于激光试验平台的水平面和垂直面的校准；激光发射器固定在角度调节器的旋转臂上，通过改变旋转臂的角度，使激光能够以一定角度照射到聚光器的反射面上；通过改变垂直升降平台和方向可调定位滑块的位置和高度，可以灵活地调整入射光的空间位置；在模型的反射面和吸收体上贴有反射膜和刻度标尺，可以显示出激光到达反射面或者吸收体上的精确位置。

根据图1b，随着光线入射角度的变化，SS-CPC有效采光口的空间方向和宽度也会随之改变。为了获得精确的光线追迹，需要精确定位入射光线照射在SS-CPC反射面的位置。可以通过对SS-CPC的反射面方程式（12）进行弧长积分，从而得到对应入射位置的反射面长度，通过图4b中贴在反射面上的刻度线对入射光线的位置进行定位。

3 结果与分析

3.1 试验误差分析

试验中激光发射器分别以90°、75°、60°、45°入射到CPC的采光口（对应光线入射角度分别是0°、15°、30°、45°），通过调节垂直升降台的高度和滑块的位置，使激光从不同的光口位置入射并记录激光到达吸收体的位置。

入射激光到达吸收体表面位置的试验值与计算值如图5所示，试验结果显示激光到达吸收体上的位置计算值与试验值的最大误差为1.8 mm，平均误差为0.9 mm。验证了所构建的SS-CPC面形在汇聚光线过程中，理论计算光线路径与光线真实传输路径在一定误差范围内是吻合的。

图5 激光试验误差分析Fig.5 Error analysis of laser test

吸收体上光斑位置的计算值与试验值的误差主要由以下因素产生，由于SS-CPC面形采用3D打印设备熔融堆积制造时也存在一定误差；其次柔性高亮反射膜的厚度约为0.1 mm，对激光反射和光斑位置读数有一定影响，也增加了数据读取误差；再次激光发射器的可见激光束具有一定发散角，光程的增加导致激光持续发散，到达吸收体表面的光斑直径亦随之增加，增大了读数误差。

不确定度是评价试验测量精度的重要指标，合成不确定度可由如下公式计算：

由式（15）计算可得，试验中的最大合成不确定度为0.65，这是因为试验过程中误差来源一般具有累计效应，彼此之间难以抵消，但结果仍然在合理区间范围内，所构建的SS-CPC模型可靠。

3.2 光学性能分析

3.2.1 光学效率

为了使得选取的值具有代表性，基于北纬25°昆明地区构建4种值（0°、7°、34°、44°）的SS-CPC。在反射面材料反射率为0.88时4种SS-CPC与接收半角为56.3°（保证SS-CPC与S-CPC对太阳辐射的最大接收角度相同）的S-CPC的光学效率计算结果如图6所示。在全入射角内，SS-CPC的光学效率随着光线入射角度的增大呈现出先缓慢减小再逐渐上升的趋势，在超过最大接收角后光学效率大幅度降低，但仍然维持在0.1以上直到完全没有太阳光线照射到聚光器上。而S-CPC的光学效率呈现出减小后又逐渐增大的趋势，在达到最大接收半角之后则直接降为0。值为0°、7°、34°、44°的SS-CPC与接收半角56.3°的S-CPC平均光学效率分别为0.639 8、0.635 2、0.620 1、0.609 3、0.567 6。在最大接收角度相同的情况下，SS-CPC的平均光学效率均高于S-CPC。

图6 SS-CPC和S-CPC的光学效率变化曲线Fig.6 Optical efficiency variation curve of SS-CPC and S-CPC

光线到达圆形吸收体表面的路径可分为两类：直接照射到圆形吸收体表面和经过反射面反射后到达圆形吸收体。在入射角度为-6.7°时，经过采光口入射的光线全部是以直射的方式到达吸收体表面，SS-CPC对太阳辐射能的收集无反射损失。

随着入射角度的增加，更多从采光口入射的光线需要经过反射面反射才能到达吸收体表面。入射角度逐渐增加到22°时光线反射次数达到最多，由于反射面具有一定的反射率，经过反射的光线能量会衰减，故光学效率降到最低，此时值由小到大所对应的4种SS-CPC的光学效率分别为0.835 7、0.829 7、0.805 4、0.797 5。而从22°到最大接收角范围内，入射光线达到吸收体表面的方式虽然仍以反射为主，但反射次数开始逐渐减少，光线能量衰减较少，故光学效率开始缓慢上升，如图6所示。而在最大接收角之外，虽然反射面不能有效将入射光线反射到圆形吸收体表面，但一部分光线仍然能够通过直射的方式到达吸收体，因此SS-CPC仍然能够保持一定的光学效率。而S-CPC则不具有这样的特性，在光线超过最大接收半角后S-CPC就无法有效利用太阳光线，光学效率直接降为0。因而SS-CPC相较于常规的S-CPC具有更长的有效工作时间，对太阳辐射能的利用率更高。

而对于不同值的4种SS-CPC，值越大其整体光学效率越低。根据图2，一方面值越大，SS-CPC面形起始点越靠外，渐开线反射腔体越大，给光线反射的空间也增大，增加了光线的反射次数；另一方面，由于SS-CPC面形起始点靠外，能够被入射光线直接照射到的圆形吸收体表面积减少。因此值大的SS-CPC光学效率会降低。

3.2.2 光口宽度

根据图1b，SS-CPC的有效采光口宽度会随着光线入射角的变化而变化，由几何关系可得SS-CPC的有效采光口宽度的计算式如下：

式中点的坐标（x，y）为（12）式部分方程与下式的解：

所设计的SS-CPC有效采光口宽度的变化趋势与的关系式如下：

由式（16）计算所得的SS-CPC的值变化趋势如图7所示，随着入射光线的不断增加，也在不断增加，达到最大值后又逐渐降低。图7中的值随的变化趋势与式（18）一致。

图7 SS-CPC的采光口宽度随入射角的变化趋势Fig.7 Variation tendency of aperture width of SS-CPC with incident angle

从图7中还可以看出，为0°时值由大到小对应的4种SS-CPC的光口宽度分别为0.086 9、0.084 6、0.079 9、0.078 4 m；为45°时光口宽度分别为0.297 1、0.282 3、0.252 1、0.241 8 m；为90°时光口宽度则分别为0.340 5、0.324 4、0.290 2、0.277 4 m。即在太阳光线相同时，值越大采光口宽度也越大。

这是因为较大的值使得式（12）与（17）的解数值也越大，致使式（16）中值也较大，即与之间呈现正相关特性。并且随着值增大，采光口宽度的增大较为明显，对SS-CPC的采光量影响较大。

3.2.3 能流分布特性

太阳辐射经过大气层时受到气象条件、空气质量等因素的影响，因此将直射到SS-CPC光口法向平面的太阳能辐射通量标准化为1 000 W/m。值为0°、7°、34°、44°的4种SS-CPC及S-CPC在不同的光线入射角度下吸收体表面能流分布如图9所示，横坐标表示圆形吸收体从右边水平位置沿逆时针旋转的圆心角，纵坐标为圆心角所对应的吸收体表面的能流密度。

如图8所示，4种SS-CPC及S-CPC的能流密度均在为40°时达到峰值。为0°和7°时能流密度呈现出双峰图像，为0°两个峰值分别为16 593.11、15 345.42 W/m；为7°时则为14 251.54、15 556.14 W/m。为34°和44°时能流密度只有一个峰值，其值分别为19 286.79和19 512.97 W/m。且随着值的增加，圆形吸收体表面能流密度的峰值大小也在增加，这是由于值越大，SS-CPC的采光口宽度也越大，所收集的太阳辐射能也就越多。S-CPC 在为 40°时能流密度达到峰值，为18 159.32 W/m。由于S-CPC的光口宽度较小，单位面积采光口接收到的太阳辐射能小于SS-CPC，但能流密度的峰值却接近SS-CPC。

图8 SS-CPC和S-CPC吸收体表面能流分布Fig.8 Energy flux distribution of absorber surface of SS-CPC and S-CPC

为了定量的描述SS-CPC与S-CPC圆形吸收体表面的能流分布特征，对圆形吸收体表面能流密度的均匀度进行计算：

式（19）右边第一大项表示能量分布的均度，取值范围为[0，1]，值越大则表示能量通量分布的均度越好，即各测量点的值越接近平均能量密度。第二大项表示能量分布的匀度，反映了空间内各区域的数据在数值上的接近程度，其中代表该区域中能量通量密度的值在最大总值中的占比，如式（20）所示：

4种SS-CPC与S-CPC的能流分布均匀度在不同的下的比较如图9所示。对于SS-CPC，当小于时值越大其能流分布均度越大，当为20°时，值为0°、7°、34°、44°的4种SS-CPC吸收体表面能流分布的均度值分别为0.509 5、0.516 3、0.533 0、0.546 2。这是由于值越大的SS-CPC其反射面亦越大，为入射光线提供了更大的反射空间，增加了光线反射次数的同时也使得吸收体表面的能流分整体上越接近平均能量密度值，即均度值越高。

反之当大于时，值越大的SS-CPC的均度越小，因为随着值的增大，SS-CPC面形起始点点向外偏移，圆形吸收体表面截获的太阳辐射能减少，并且越来越多的吸收体表面没有能量达到，使得吸收体表面各部分的能流分布与整体的平均值差异较大，因此相应的均度值越小。

图9 SS-CPC和S-CPC能流分布的均度、匀度、均匀度Fig.9 Uniformity index of value, uniformity index of spatial position and uniformity index of energy flux distribution of SS-CPC and S-CPC

4种SS-CPC的能流分布匀度在不同的下变化呈现出波动的规律，这反映出圆形吸收体表面相邻区域上的能量分布在空间上具有随机性，各区域上能量分布的特性总体相似，这是因为值的改变，可显著改变SS-CPC面形的大小，但各SS-CPC的轮廓形状仍然的相似的。因此作为均度与匀度乘积的均匀度，其变化规律主要受制于均度的影响。当为40°时，值为0°、7°、34°、44°的4种SS-CPC吸收体表面能流分布的均匀度值分别为0.087 4、0.179 0、0.215 7、0.219 0。而对比SS-CPC和S-CPC可发现，当为20°时，SS-CPC的能流分布均匀度值小于S-CPC，此时值为0°、7°、34°、44°的4种SS-CPC和S-CPC的均匀度分别为0.169 2、0.193 0、0.171 9、0.184 2、0.204 0。而在其他入射角度的情况下，SS-CPC的能流分布均匀度值均大于S-CPC。从整体上看，SS-CPC的能流分布均匀性是优于S-CPC的。

能流分布的均匀性影响聚光器的工作效率和使用寿命，能流分布的均匀度低，则在吸收体表面的能量峰值更高，会造成局部热应力，甚至损坏吸收体结构。而SS-CPC在全部工作时长中，绝大多数能量都是在小于的情形下收集得到的，因此适当增加的取值，有益于其长期高效稳定工作，且还有利于获得更多的采光量。

4 结 论

本文针对圆形吸收体构建了SS-CPC，并开展了理论和试验研究，得到以下结论：

1）试验验证了理论构建的贝壳形复合抛物聚光器（Shell Shaped-Compound Parabolic Concentrator，SS-CPC）面形结构的正确性。与接收半角相同的标准复合抛物聚光器（Standard-Compound Parabolic Concentrator，S-CPC）相对比，SS-CPC有更长的有效工作时间，并且在光学效率和能流分布均匀性方面具有明显优势。

2）SS-CPC的旋转角值越大其光口宽度和能流分布均匀度越大，但光学效率却越低。在实际应用中宜选择旋转角值较大的SS-CPC，但旋转角值过大会导致SS-CPC体积过大，面形过于弯曲，不易于制造安装和维护。

3）在设计SS-CPC时，需要根据当地的冬至夏至日的太阳高度角来确定最大接收角和旋转角的取值。对于昆明地区，由于夏至日投影入射角和冬至日投影入射角分别为-6.7°、56.3°，故推荐和分别取为56.3°、44°。