“华龙”的启示和对数学教改的思考

兰莹莹

摘  要：华罗庚先生注重因材施教，倡导在高校数学教学中采用“一条龙”教学法。文章首先回顾华罗庚先生教学的时代背景，然后介绍他“深入浅出、引导思考”和“生书熟讲、熟书生温”的授课方式，以及所著《高等数学引论》中“重要概念、重要定理预设伏笔”“内容阐释由浅入深、由具体到抽象” 的写作方式所体现的教学基本特色。在肯定华罗庚先生教学思想的基础上，文章分析了当前高校数学教学的基本情况，旨在分享信息技术与教育教学深度融合背景下人才培养与数学教学改革的思考和体会。

关键词：华罗庚;教学法;教学改革;人才培养

中图分类号：G640    文献标识码：A    文章编号：1673-7164（2022）08-0121-04

一、“华龙”出现的时代背景

中华人民共和国成立后，国家大力加强高等教育，并于1952年进行了大规模院系调整，也是一次教育改革。院系调整后，招生规模逐年扩大，新建了一批院校，如复旦大学、吉林大学、北京航空航天学院等。此后，中国科学院计划发挥自身优势，创办一所培养前沿、新兴、交叉学科人才的“大学”，把教育和科研紧密结合起来。1958年6月，郭沫若先生担任中国科学院的院长，组织召开了该“大学”的第一次筹备委员会会议，在这个会议上正式确定校名为“中国科学技术大学”，由郭沫若先生担任筹备委员会的主任，竺可桢先生、严济慈先生、钱学森先生等科学家、教育家担任筹备委员会的委员。会上还对新成立的中国科学技术大学的建校方案和1958年第一届学生的招生简章进行了审议并最终确定，决定开设包括应用数学系和计算机技术系在内的12个系。同年7月，学校筹备委员会组织召开了第一次系主任工作会议，任命数学研究所所长华罗庚先生为应用数学和计算技术系主任，并决定成立数学、物理、化学和政治四个工作小组，其中数学工作组由华罗庚担任组长。同年9月，中国科学技术大学正式成立，按照“全院办校，所系结合”的办校方针，中国科学院的众多科学家到中国科学技术大学进行授课，并开展合作研究，将最新的科技成果和前沿研究课题教授给学生，承担起如教学大纲的制定、授课讲义的编写等工作。这一创新举措，改变了当时高等教育教学和科研分割的状况[1]。

建校初期至“文革”前的中国科学技术大学数学系教师中，最突出的就是华罗庚先生、关肇直先生和吴文俊先生，他们的教学自成体系、各具特色。他们轮流给学生讲授基础课，如58、61、64级是“华龙”，59、62、65级是“关龙”，60、63级是“吴龙”。“三龙”的学术观点和授课风格各不相同，提倡学术自由，数学分析、高等代数、解析几何等数学基础课程没有设置严格的分界线，华罗庚先生、关肇直先生和吴文俊先生根据自己对数学的理解来讲解相关内容，后来分别被称为“华龙”“关龙”和“吴龙”[2]，直到现在亦被关注且传为佳话。

二、“华龙”教学的基本特色

华罗庚先生数学教学的成效、影响和示范作用是显著的、被普遍认可的。华罗庚先生教学的基本观点是“因材施教”。不同层次的学生应选择差异化的教学内容，如当前许多高校教学中所提倡的“分层次教学”;培养目标不同的学生应该提出不同的教学要求，如培养数学研究型人员注重理论的深入理解和融会贯通，培养应用型人员注重知识在具体案例中的应用;教学过程当中还应根据学生的实际情况采用不同的教学方法，如课堂讲授、开设讨论班、专题讲座等[3]。“华龙”强调不同学科间的内在关联，将数学各门基础课统成一门课进行教学，这种做法被大家称为“一条龙”教学法。华罗庚先生认为，将高等学校数学课程分成分析、代数、几何等分科进行授课是相对机械地将数学给割裂开了。

（一）“深入浅出、引导思考”的讲授法

国家重点高校肩负着为国家培养适应新时期战略发展需求的尖端科技人才以及具有较高研究水平的科研人员的重要使命，所培养的学生不仅应掌握较全面的科学基础知识，也应具有较好研究能力和创新性思维。华罗庚先生的“一条龙”教学法的特点就在于所教授的内容相对系统而全面，且能较好地发挥教师在教学中的导向性作用，保证学生的学习效果，适用于高等学校数学基础课教学[4]。

华罗庚先生在教学中一贯提倡“深入浅出见功夫”，这要求教师具有较好的理论研究水平和实际授课能力。华罗庚先生知识广博、思路清晰、语言文字能力较强，本科数学基础课程教学中能够做到更好地化繁为简、深入浅出地讲解。因此这种教学法对华罗庚先生而言是合适的，而对于一般教師来讲则具有一定的挑战和考验。华罗庚先生倡导高等学校数学基础课教学要重视对学生发现探索能力的培养和实践能力的训练，教学中应鼓励学生多思考、多尝试、多总结。

（二）“生书熟讲、熟书生温”的授课方式

华罗庚先生曾形象地描述道，“我也喜欢生书熟讲、熟书生温的教学方法。”“生书熟讲”在教学过程中一般可以发挥两方面的作用：一是使新的学习内容得以更好地被学生接受，更顺畅地融入学生的理论知识体系;二是复习了原来已经教学过的内容。华罗庚先生在教学中一般先用较多的时间和精力帮助学生温熟书，复习总结原来学习过的内容。“熟书生温”可帮助学生掌握数学的基本思想和基本方法、训练个人基本技能，以新思路、新视角温习原来学习过的内容更有助于领会精髓、开阔思路。

正所谓温故而知新，温习学过的内容，可以发现有新的收获，更加容易将原来学习过的内容融会贯通，教学中采用这样的方式，不仅可以帮助学生温习旧课，还有助于学生学懂弄通原来不理解的知识点，并在此基础上提炼提升、扩展教学。“‘数’与‘形’的‘分’与‘合’，‘抽象’与‘具体’的‘分’与‘合’都是在不断反复过程中逐步提高的”。生书熟讲、熟书生温，生与熟、新与旧，相辅想成、相互转化。在数学基础课教学中要充分发挥双方的互补作用，提升学生的认识水平[4]。

三、基于华罗庚《高等数学引论》分析“华龙”的教学基本特点

《高等数学引论》是华罗庚先生在20世纪60年代编写的教材，曾用于中国科学技术大学教学，2009年由王元院士修订在高等教育出版社再版修订。全书共包含四册：第一册、第二册主要讲授微积分的相关内容，并在第二册最后介绍常微分方程组;第三册主要讲授复变函数的一般理论却又不局限于此（相较于现在复变函数论主流教材，内容更广更深，如介绍偏微分方程的求解问题、适合各种边界条件的调和函数、Weierstrass的椭圆函数论、Jacobi的椭圆函数等）;第四册主要讲授代数矩阵论但内容也不限于此（如介绍常系数差分方程与常微分方程、体积等）。全书在内容设计上体现了华罗庚先生“数学是一门有紧密内在联系的学问，应将大学数学基础课放在一起来讲”的教学思想（无论是哪个领域的内容，如有必要就尽可能放在一起进行讲授），以及“要埋有伏笔” 和“生书熟讲、熟书生温”等教学技巧，同时还融入了数学理论在其他学科中的应用。

（一）重要概念、重要定理预设伏笔

阅读华罗庚先生所著《高等数学引论》全四册，可以发现书中对许多重要概念、重要定理和重要方法预设的伏笔。举例来看，数学分析中著名的理论方法“迭代法”，在著作第一册第一章的第13节就已经为后续内容先埋下了伏笔;学习高等数学知识一段时间以后才会讲到的隐函数概念及相关理论，在著作第一册第三章第3节就早早地提出，之后又在第一册第六章、第二册第十二章和第十三章更深入研究时出现，这样的设计在同类教材中出现较早。

通过对华罗庚先生所著《高等数学引论》（全四册）中重要概念、重要理论和重要方法提前埋下伏笔案例的简单分析，能够发现高等数学教学过程中提前渗透一点后面教学中的重要内容，有利于降低后续教学的难度，有助于学生更好地理解和掌握相关内容，有助于学生更熟练地将这些理论和方法应用于实践。这种教学方法的难点和关键点在于重要概念、重要理论和重要方法的区分判断，内容相对容易或重要性相对不高的可以不必早伏笔、早提出。预设的伏笔与正式讲授需要设计得有一定教学时间间隔，且要从教学内容设计全局出发，前后内容呼应得协调自然。

（二）由浅入深，由具体到抽象的讲解方式

华罗庚先生学术造诣较高，擅长用简单的数学工具解决或诠释较深、较难的数学问题，喜欢从具体实例入手推演得出一般性的结论，如众所周知的“优选法”。在《高等数学引论》一书中都贯穿了这个风格，这对读者来说是易于接受的。例如在第二册第十五章重积分的“补充”中，作者讲述了求面积、求容积、求表面积的一些实用方法。作者将这些方法用柱面坐标来表述并得到一些理论分析结果，只用了十几页的篇幅。又如，第二册第二十章常微分方程组，作者介绍了人造卫星的轨道方程、轨道讨论——第一、二宇宙速度、第三宇宙速度、质点组——多体问题，这些材料来源于第一颗地球人造卫星发射之后，华罗庚先生所做的一个有趣的练习[5]。

四、对数学教学改革的认识和体会

高等学校教学内容、教学模式和教学方法不可能固定不变，总会与时俱进，努力适应时代的进步，适应经济、科技和社会发展的实际需要。教学改革是一个持续发展的过程，也是一个永恒的话题，对其评价要有一个周期性的过程。数学教学改革历史悠久，新中国成立以来一直在进行教学改革，纵观整个过程，改革的规模较大，时间跨度也较长，其间不乏大大小小的反复，无论怎样，都是历史留给人们的宝贵财富，是深入进行数学教学改革的历史积淀和重要借鉴。总结丰富的历史经验并认真分析梳理，以此为鉴发现规律，取长补短，才能更好地面对未来[6]。

20世纪90年代，在改革开放政策的推动下，历经艰难曲折发展道路的我国高等教育，在经过一段时间调整恢复之后开始了以“面向现代化、面向世界、面向未来”为指导思想的教育改革，但仍然存在着教学内容相对陈旧、知识体系不能适应时代应用、思想方法体现不足等诸多问题。数学各方向往往都是独立设置课程，缺乏华罗庚先生“一条龙”式教学法应有的相互联系、相互渗透;教学思想上往往更注重知识传授，过多地追求运算技巧，缺乏华罗庚先生“引导思考”的讲授方式，对素质和能力培养的关注明显不够。这些都是数学教学改革中应着力解决的问题[7]。

进入21世纪，党中央提出要创建学习型、创新型社会，高等教育开始由“精英教育”向“大众化教育”转变，培养高素质的创新型人才成为热点话题。以往的灌输式教学方法不仅不能启迪思维，且容易使学生养成依赖心理、懒于思考，影响倡导的创新型人才培养，亟须开展教学改革。无论是课堂教学模式还是新时期教材内容及形式设计，有必要向着凝练思想、揭示内涵、引导思考的方向改变，探索以教师为主导、学生为主体的研究式、翻转式、讨论式等教学方法。在这个过程当中，出现了一大批教學实践理论和经验成果，涌现出一大批优秀的青年教师投身实践，探索教学方法和教学模式创新。大学数学课程教学基本要求、数学专业教学质量国家标准等指导性意见被广泛关注和遵循。高校数学的教学改革和教材建设进入到一个新时期。

现阶段，新工科、新医科、新农科、新文科持续建设背景下，高校人才培养的创新意识和创新能力被提出了更高的要求，高等学校的教学改革不断深入，教学指导思想从注重知识传授、学习前人知识的模式逐步向实现知识传授、能力培养及素质提高相结合的模式转变。高校教学不仅需要巩固并继续深化发展已有的教学改革成果，有必要持续打造一批线上、线下、线上线下相结合的精品课程，出版一批纸质内容与数字资源一体化设计、有机融合的高质量新形态教材（目前高校数学教材的一般做法是以纸质内容为核心，融入重难点精讲视频、典型题目讲解视频、概念解析、释疑解难、应用案例、在线自测题目及拓展阅读材料等。也有一些个性化的特色资源，如思政元素、模拟试验、中学内容补充等。教材内容更加丰富，适应新时期高校教学的实际需要，但如何处理好纸质内容与数字资源的设计，需要根据实际情况认真研究，不能一概而论）。在信息技术与教学教学深度融合背景下，建设一批数字化、网络化、智能化的教学资源也成为热点，当前主要体现在出版在线试题库、在线测评及组卷系统、数字课程、数字教材以及专项辅导课程等电子或网络出版物。特别是“数字教材”备受关注并得到重视，也有过不少探索和尝试，观点和建设模式不一。

数字教材不是传统教材的电子化，应根据学科特点进行设计。大学数学数字教材可考虑以在线自测为切入点，根据自测情况分析诊断，有针对性地推送学习内容（包括相关知识点，需要加强训练的同类型题目），作为课堂教学的有益补充。数学具有抽象性、逻辑推理严密等特点，教学中应该根据所授课程内容特点和实际教学环境，采用合适的教学形式，无论是传统板书式教学，或是“板书+多媒体”式教学，抑或者线上教学，都应根据实际情况、发挥优势，设身处地站在学生的角度考虑如何组织教学才能实现最优的教学效果，并以此为目标。教学改革应遵循和重视教育发展的规律，遵循和重视学生的认识规律，在传授数学知识和方法的同时，帮助学生更多地领悟到数学的精神实质和思想内涵，感受到数学的魅力，最好能做到融会贯通，并在此基础上应用于数据科学、人工智能和数字经济等前沿领域，契合国家新时期的战略需求。

五、结语

华罗庚先生的教学特色主要是因材施教。他的教学思想和教学方法，源于切身经历和体会，历经长期教学实践的不断探索、总结和完善，体现了数学教学的基本特点和特色。他的数学教育理论传承了我国长期以来高等教育的优良传统，也吸收了现代高等教育教学理论的精髓，值得學习和研究。

为了适应现阶段人才培养的需要，保障学生能根据自身情况、学习兴趣和未来志向发挥其所长，为个性化发展提供可能，高校数学课程的教学内容和改革方向，是值得研究的核心问题之一。与国家的教学要求相比，美国教材相对偏浅，俄罗斯教材相对偏深，但都培养了许多尖端科技杰出人才。华罗庚先生“一条龙”式教学法培养了许多杰出人才，现阶段分科讲授式的教学法也培养了许多适应国家需求的杰出人才。我们应该结合实际情况正确认识这种差异。数学基础理论课程教学不仅应该“重基础、厚基础”，也应该为学生提供相对宽松的学习环境，应允许并鼓励学生根据自身情况、个人兴趣和自身优势来发展和成长。

参考文献：

[1] 中国科学技术大学[EB/OL]. https：//baike.baidu.com/item/.

[2] 李忠. 历史的回顾：我国数学分析课内容体系的变迁——在第三届大学数学课程论坛上的报告[J]. 数学通报，2008（02）：1-5+10.

[3] 高月春. 华罗庚教育思想初探[J]. 当代教育论坛，2007（12）：36-38.

[4] 饶鑫光，孟道骥. 略论华罗庚的高等数学教学方法与讲解技能[J]. 数学教育学报，2001，10（04）：29-33.

[5] 华罗庚. 高等数学引论[M]. 北京：高等教育出版社，2009.

[6] 李大潜. 关于高校数学教学改革的一些宏观思考[J]. 中国大学教学，2010（01）：7-9+6.

[7] 马知恩. 工科高等数学课程教学改革五十年[J]. 中国大学教学，2008（01）：11-16.

（责任编辑：汪旦旦）