非线性记忆项的弱耦合半线性Moore-Gibson-Thompson系统全局解的非存在性

欧阳柏平

（广州华商学院数据科学学院，广东 广州 511300）

考虑非线性记忆项的弱耦合半线性Moore-Gibson-Thompson（MGT）系统柯西问题解的爆破

Moore-Gibson-Thompson（MGT）方程是一类重要的非线性声学方程，在医学和工业中有重要的应用［1−3］.物理上描述波在粘性热松弛流体中的传播，表示为如下三阶双曲方程

其中，u=u(t，x)为声速势函数，c表示声速，b=βc2表示声扩散率，τ为松弛因子，τ∈(0，β].

根据半群理论，τ=β时不具有半群指数稳定性.更多有关半线性MGT方程解的性态研究，参考文献［4−10］.

式（1）中，如果β1=β2=0，γ1=γ2，p=q，则变为

文献［11］对上式进行了研究，通过对初始数据的符号假设，运用迭代方法和切片化方法，证明了在临界和次临界2种情况下全局解的非存在性.同时，还推出了2种情况下解的生命跨度的上界估计.

文献［12−18］考虑了下面弱耦合半线性波动系统解的爆破问题

其中，q，p＞1，n≥1，ε＞0.

上述波动系统中，其临界曲线为

当αW＜(n-1)2时，存在唯一的全局解.当αW≥(n-1)2时，其解爆破.

上述弱耦合半线性波动系统柯西问题解的爆破研究，不仅是单个波动方程的简单推广，特别是当p≠q时.文献［19−24］研究了单个波动方程柯西问题解的情况.与文献［13−26］相比，考虑具有非线性记忆项的高阶弱耦合波动系统解的爆破.模型（1）中当β1=β2，γ1=γ2，p=q时，弱耦合问题（1）将一定程度退化为单个非线性记忆项的MGT方程.而p≠q时，因为右端弱耦合现象的出现，使得研究临界曲线的非对称区域变得非常复杂而且困难.另外，与经典的弱耦合波动方程相比［19−24］，问题（1）会出现关于时间的高阶导数，这样使得无界乘子产生非常大作用，同时也使得经典的反射法等技巧不适用.

因此，本文非线性记忆项下弱耦合高阶MGT方程组中解的爆破问题并非已有研究的简单推广.其研究思路是基于近年来学者提出的解决某些高阶双曲方程解的爆破问题的迭代技巧［25−31］，其目标是分析弱耦合半线性MGT系统中非线性记忆项对解的爆破以及生命跨度的影响.特别是，需要重点解决因为无界乘子的引入而无法应用Kato引理研究其解的爆破情况.

1 主要结果

首先定义问题（1）的柯西问题能量解.

定义1设(u0，u1，u2，v0，v1，v2)∈(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))×(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)).(u，v)是问题（1）在[0，T)上的能量解，若

且满足

和

应用分部积分于式（2）和（3），有

以及

当t→T时，可得(u，v)满足问题（1）的能量解的定义.

设(u0，u1，u2，v0，v1，v2)∈(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))2是非负紧致函数，其包含在半径为R的球BR中，使得ui，vi(i=0，1，2)不恒为0.若(u，v)是（1）的解，其生命跨度T(ε)满足

则存在正常数ε0=ε0(u0，u1，u2，v0，v1，v2，n，p，q，R，β1，β2)，使得当ε∈(0，ε0]时，(u，v)在有限时间爆破，进一步求得其生命跨度的上界估计是

2 定理的证明

定义2个泛函

对式（10）和（11）关于t求导，有

其中，c1=c1(n，p)＞0.

结合式（12）和（14），有

式（15）积分2次，整理，得到

对式（16）两边进一步积分，整理，有

类似的推导，有

需要进一步研究U(t)和V(t)的下界序列及第一下界估计.因此，引入如下正光滑函数［32］

Φ(x)有以下性质

当|x|→∞时.

设函数Ψ=Ψ(t，x)=exp(-t)Φ(x).由Ψ定义，有

定义2个泛函U1(t)，V1(t)

式（2）和（3）中令Ψ=φ，Ψ=φ，分别得到

以及

将分部积分和Ψ的性质应用到式（20）和（21），可推得

和

将式（19）代入到式（22），得到

其中，

式（24）中，令G(t)=U1′(t)+2U1(t)，于是有

对式（25）两边求积分，可得

式（26）进一步积分，得到

其中，C1为正常数.

同样地，有

其中，

由Ψ的渐近性［33］，易得

其中，k＞0.

运用定理条件和Hölder不等式，有

因此，可以推得

联立式（12）和（31），得到

对上式积分，可推得

其中，m1=β1U′(0)+U(0)，m2=β1U″(0)+U′(0).

积分式（33），可推出

类似的推导，可得

为了完成定理1的证明，需要构造U(t)和V(t)的迭代序列.为此，设

其中，{Dj}j≥1，{Qj}j≥1，{αj}j≥1，{aj}j≥1，{σj}j≥1，{r j}j≥1均为非负实序列，{Lj}j≥1为无限积收敛的部分积序列，其中，

由定义易知，j=1时，式（34）蕴含式（36），式（35）蕴含式（37）.假如式（36）和（37）对任意的j≥1均成立，下证对j+1也满足.

将式（37）代入到式（17），有

其中，t≥Lj+1.

同样，将式（36）代入到式（18），可得

其中，t≥Lj+1.

式（38）和（39）中，令

于是，有

由式（42）和（43）易知，式（36）和（37）对j+1成立.

设j为奇数，结合式（40）和（41），利用递推关系，可推出

结合式（40）和（41），可推出

由递推关系，对式（49）和（50）进一步化简，得到

j为奇数时，式（51）两边取对数，由递推关系，有

设j0为满足下式的正整数

类似地，对于式（52），由递推关系，可推出

结合式（36）和（37），得到

其中，j≥max{j0，j1}，t≥L.

其中，j≥max{j0，j1}，t≥L.

取t≥max{R，3L}，此时有

式（60）和（61）右边指数函数中t的指数是

式（62）和（63）中，min{γ1(n，p，q，γ1，γ2)，γ2(n，p，q，γ1，γ2)}＞0时，t的指数是正的.

同理，γ2(n，p，q)＞0时，对于上述恰当的ε0，有

综上，问题（1）的全局解不存在.进一步可得(u，v)的生命跨度估计为

定理1得证.