图拉普拉斯正则化稀疏变换学习图像去噪算法

钱 冲，常冬霞

1.北京交通大学 计算机与信息技术学院，北京 100044

2.北京交通大学 信息科学研究所，北京 100044

图像去噪是计算机视觉中的经典问题之一，众多学者针对该问题已经展开了广泛研究。在现实生活中，图像在采集和传输过程中不可避免地会产生噪声，在进行各种图像处理前去除图像噪声是必不可少的步骤。稀疏作为自然图像的最重要特征之一[1]，被成功应用于图像去噪[2]问题。

传统的基于稀疏表示的图像处理，往往采用一个过完备字典将图像块编码为该字典的稀疏线性组合，并采用稀疏编码和字典学习交替进行[3-4]。基于K奇异值分解（K-singular value decomposition，K-SVD）的去噪方法[5]是一个经典的基于稀疏表示的图像去噪算法，具有较好的去噪效果。然而在K-SVD中，字典学习是一个大规模的非凸问题，具有较高的计算复杂度。此外，稀疏编码过程往往采用非线性估计，往往具有不稳定、不精确等问题[6]。因此，为了改善其性能，文献[7]提出了基于稀疏变换学习的图像去噪算法。稀疏变换学习[8-9]使用一个变换矩阵将图像信号近似稀疏化，大大减少了字典学习的计算量并获得了较为精确的稀疏编码。

除稀疏表示外，其他方法也能很好地进行图像去噪。非局部自相似性是自然图像的显著特征之一，它认为图像的纹理和结构在一定区域内是重复出现的。非局部均值算法[10]首次利用图像的非局部自相似性来去除图像噪声，在去噪的同时尽可能保留图像的细节。然而，该算法存在参数非自适应且去噪后边缘易模糊的缺点，针对这些问题提出了一系列基于非局部自相似性的图像恢复算法[11-13]。其中，块匹配3D滤波（block-matching and 3D filtering，BM3D）去噪算法[14]由于其出色的去噪性能，成为目前最先进的方法之一。此外，为了在去噪的同时更好地保持图像的几何结构，很多学者提出了基于图的去噪算法[15]。基于核相似度和图拉普拉斯矩阵，KSID（kernel similarity-based image denoising）算法[16]设计了一个新的损失函数，在图像去噪和去模糊上都取得了较好的结果。而文献[17]将图拉普拉斯矩阵的特征向量作为一组基函数来重建图像。为了从理论上对基于图的去噪算法进行解释分析，OGLR（optimal graph laplacian regularization）算法[18]将图拉普拉斯正则化解释为连续域的各向异性扩散格式，并推导出最优的度量空间，进而计算出最优的边缘权值，从而得到离散域去噪的最优图拉普拉斯正则化器。基于此，文献[19]提出了将最优图拉普拉斯正则化器与稀疏学习相结合的去噪算法，但其计算复杂度高且并未考虑图像的非局部信息。

近年来，很多学者提出了将图像的稀疏性和非局部自相似性结合的图像去噪算法[20-21]。文献[22]提出相似的图像块在稀疏分解中具有相似的稀疏编码，但是该算法过于强调稀疏系数沿行方向对齐，使得相似图像块向量组成的矩阵行空间和列空间稀疏度不一致。为了恢复行与列空间之间稀疏度的对称性，文献[23]通过引入一个右乘矩阵，将lp,q范数约束下的联合稀疏问题转化为具有核范数约束的低秩问题，简化了优化过程，但是时间和空间复杂度较高。由于稀疏变换学习计算量小且能获得较为准确的稀疏编码，因此文献[24]提出了一种基于稀疏变换学习和非局部低秩的图像去噪算法STROLLR（sparsifying transform learning and low-rank），该算法求解步骤简单且去噪性能良好。然而，该算法将图像划分成相互重叠的图像块并为其添加低秩和稀疏约束，大大破坏了图像的结构特征。

针对STROLLR模型没有考虑图像空间几何信息的问题，通过引入图拉普拉斯正则化，提出了一个图拉普拉斯正则化稀疏变换学习图像去噪算法GLRSTL（graph Laplacian regularized sparse transform learning）。采用图拉普拉斯矩阵对图像的底层结构进行编码，在去噪的同时保护图像的结构细节不被破坏。此外，由于STROLLR模型在进行低秩估计时，需要通过块匹配操作来获得相似的图像块组，并为其添加低秩约束，而在有噪声情况下，只使用欧式距离来度量图像块之间的相似度是不准确的。为了获得更准确的相似图像块，在块匹配操作中引入优化的稀疏编码来度量图像块间的相似性。实验结果表明，所提算法在改善视觉效果的同时，获得了较高的峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）和结构相似指数（structural similarity index，SSIM）。

1 图拉普拉斯矩阵的构建

图拉普拉斯矩阵将图像表示为一个定义在离散加权图上的函数，顶点为图像的像素值，每个像素通过加权边与其他像素连接，边权重反映了像素点间的相关性。因此，边权重的定义是构造图拉普拉斯矩阵的关键步骤。传统的图拉普拉斯矩阵根据像素值确定边权重，然而在噪声图像中，噪声的存在会使其鲁棒性较差。文献[18]提出了一种基于最优度量空间的权值定义方法。该方法利用非局部自相似像素块的梯度、像素值以及像素的二维坐标为像素定义了一个新的特征描述，根据此特征获得鲁棒性更强的边权重。鉴于该特征描述的优越性，在提出的GLRSTL算法中采用该特征描述来计算边权重。接下来对图拉普拉斯矩阵的构造过程进行详细介绍。

其中，ε和r的设置参考文献[18]。因此，邻接矩阵N(i,j)=wij，度矩阵图拉普拉斯矩阵为：

图像中的每个图像块都有对应的图拉普拉斯矩阵。这种图拉普拉斯矩阵构造方法考虑了像素值的相似和空间上的相近，前者保证了图像的局部光滑，后者保证了图像的空间结构。

2 提出的GLRSTL算法

令y=x+e表示噪声图像，其中e表示均值为0，方差为σn的加性高斯白噪声。图像去噪的目的就是从噪声图y中尽可能准确地恢复干净图像x。针对STROLLR模型在去噪时没有考虑图像的局部几何结构的问题，提出了一种图拉普拉斯正则化稀疏变换学习图像去噪算法GLRSTL。通过引入图拉普拉斯建立像素点和像素点间的关系，保护图像的局部结构。此外，为了更有效地利用图像的非局部信息，在距离度量中结合了优化后的稀疏编码，获得较好的块匹配结果。

2.1 GLRSTL模型

对于噪声图像y，其图像块向量表示为Y∈Rb×n，即Y=[y1,y2,…,yn]。与传统的稀疏表示算法不同，在稀疏变换学习中，Y在稀疏变换矩阵W∈Rb×b的作用下可以近似稀疏，即WY=A+E，其中A∈Rb×n表示稀疏编码矩阵，E∈Rb×n表示建模误差。假设噪声信号Y待恢复的信号为X∈Rb×n，即X=[x1,x2,…,xn]，那么可以通过最小化||WX-A||2F来获得去噪信号X。稀疏变换学习利用局部图像块的稀疏先验来进行图像去噪，而除了局部结构外，自然图像还包含自相似性形式的非局部结构。对于每个图像块向量yi，通过块匹配操作可以找到K个与其相似图像块向量并构成一个组Vi∈Rb×K，Vi具有低秩特性，这就是基于图像非局部结构的低秩先验。STROLLR算法充分利用自然图像的局部稀疏性和非局部自相似性，结合稀疏变换学习和非局部低秩先验，获得了良好的去噪性能。但其忽略了自然图像的空间结构特性，因此，为了保护图像的内在结构信息，提出了GLRSTL算法，通过引入图拉普拉斯正则项来对邻域关系进行约束，从而保护图像的局部结构关系。算法模型如下：

其中，γs、γl、γf、θ和λ表示正则化参数，rank(·)表示矩阵的秩，Pi∈Rb×K表示组Vi的低秩估计，xi∈Rb表示待恢复的干净图像块，xTi表示xi的转置矩阵，Li∈Rb×b表示图像块yi的归一化图拉普拉斯矩阵。

在构建组Vi时，进行块匹配操时通常采用欧氏距离度量图像块之间的相似性，然而由于随机噪声的存在，该度量方法容易产生偏差，进而影响去噪效果。因此，提出了一种新的度量方法。相似的图像块通常具有相似的稀疏编码，而优化后的稀疏编码由于去除了部分噪声的影响可以更加准确地反映图像块间的相似性。去噪前的图像虽然含有噪声，但是含有大量图像细节。因此，采用优化后的稀疏编码和像素值的欧氏距离相结合的方法来度量图像块间的相似性：

2.2 GLRSTL模型的求解

采用简单的块坐标下降法[25]对算法进行求解，每次沿一个方向优化获取最小值，因此目标函数式（7）的优化可以转化为求解以下四个子问题：

具体求解上述四个子问题的方法如下：（1）W^—子问题求解

式（9）是优化稀疏变换矩阵W的目标函数式，它是一个有正交约束的lF范数优化问题。在求解的过程中，固定A和X。式（9）可以变换为：

令Z=GTWS，可知Z是一个正交矩阵，因此|Zij|≤1，∀i,j且可以推断出：

式（16）中等号成立的条件为：

因此，式（17）为稀疏变换矩阵W最终的优化结果。

（2）—子问题求解

式（10）是稀疏编码矩阵A的目标函数式，这是一个标准的稀疏编码问题，可以采用硬阈值方法求解。根据文献[26]，可得式（10）的解为：

（3）—子问题求解

式（11）为低秩估计矩阵Pi的目标函数式。根据文献[13]，可以得到最优解为：

（4）—子问题求解

式（12）为图像块向量恢复的目标函数式，xi所对应的稀疏编码为ai。在对稀疏编码矩阵A、稀疏变换矩阵W和组低秩估计矩阵Pi进行更新后，可以对每个图像块向量进行重构。将式（12）对xi求导，并令其为0可得：

综上，所提GLRSTL算法如下所示。

2.3 GLRSTL算法复杂度分析

3 实验

为了验证所提算法的有效性，通过实验对所提GLRSTL与K-SVD[5]、BM3D[14]、KSID[16]、OGLR[18]和STROLLR[24]进行对比。实验中采用图1所示的五幅大小为256×256的灰度图像作为测试图像，并采用PSNR和SSIM作为去噪质量的评价指标。实验中，图像块大小b=8，搜索窗大小S=40，每个组图像块个数K=60。参考文献[24]，γf=1/σn，γs=2.5σn。由于所提算法采用式（8）度量图像块间的相似性以获得更好的低秩估计，因此，对于与低秩估计有关的参数γl，和θ，通过遍历寻优的方法进行选取，最终确定γl=3.5σn，θ=2σn。正则化参数λ，则采用偏差准则[27]来确定。

图1 测试图像Fig.1 Test images

3.1 去噪性能及视觉效果对比

首先对图1所示的5幅测试图像的去噪结果进行比较。对测试图像分别添加均值为0，方差为5、10、15、20、25、30的高斯白噪声。表1和表2分别给出了不同噪声水平下所有算法去噪后的PSNR值和SSIM值，表中粗体字体表示最优值。由表1至表2的结果可知，GLRSTL算法性能优于K-SVD、BM3D、KSID、STROLLR和OGLR算法，对测试图像获得了较高的PSNR和SSIM值。

表1 不同去噪方法对5幅测试图像去噪的PSNR值Table 1 PSNR value of 5 test images with different denoising methods dB

表2 不同去噪方法对5幅测试图像去噪的SSIM值Table 2 SSIM value of 5 test images with different denoising methods

为了从视觉效果上对五种算法进行比较，图2和图3给出了对Lax和Satellite图像去噪结果的细节对比。从图中所示结果可见，相比其他算法，所提GLRSTL算法可以更好地保持图像细节的特征，同时保证原始结构不被破坏，得到清晰的边缘和细节，使去噪后的图像获得良好的视觉效果。具体来说，由图2和图3可见，对Lax图像，GLRSTL算法恢复的图像能够较好地保护纹理细节，特别是对右侧黑色方块结构的恢复明显优于其他算法。而对于Satellite图像，GLRSTL算法则较好地保留了马路上的纹理，同时对房顶房檐等部分的恢复效果也较好。

图2 不同方法对图像Lax的去噪结果(σn=15)Fig.2 Denoising results of different methods on image Lax(σn=15)

图3 不同方法对图像Satellite的去噪结果(σn=20)Fig.3 Denoising results of different methods on image Satellite(σn=20)

为了进一步验证所提GLRSTL相比STROLLR性能的改善，采用图4（a）和（d）所示的图像对两个算法进行对比。从图4可以看出，STROLLR恢复出来的图像在平滑区域含有大量伪影，在边缘区域会变形，在纹理区域也会出现模糊现象。而GLRSTL由于考虑了图像的空间几何信息，对平滑区域的噪声去除得更干净，且能更好地保护边缘结构，获得更加清晰的纹理细节。

图4 不同方法对测试图像A、B的去噪结果Fig.4 Denoising results of different methods on test images A，B

前面采用五张测试图像对算法的去噪性能进行了定量和视觉效果对比，为了进一步验证所提算法的性能，将上述五种算法对BSD68、BSD100和BSD300三个数据集进行去噪，表3给出了各算法在三个数据集上的平均PSNR值，其中最佳结果用粗体标记。可以看出，在多张图片组成的数据集中，GLRSTL算法获得了较好的性能。

表3 不同去噪方法对数据集去噪的PSNR值Table 3 PSNR value of datasets with different denoising methods dB

3.2 去噪效率对比分析

为了对比算法的运行效率，表4给出了不同去噪算法在5张测试图像上运行时间的平均值，与STROLLR算法相比，GLRSTL由于需要构建图拉普拉斯矩阵，因此时间复杂度略有提高。由表4可见运行时间增加并不显著，而由去噪性能对比可见，GLRSTL算法的图像局部结构保持和去噪性能均优于STROLLR算法。

表4 运行时间对比Table 4 Comparison of running time

4 结束语

为了在图像去噪的同时保护图像的结构信息不被破坏，维护相邻像素点间的相似性关系，通过引入图拉普拉斯正则，提出了一种图拉普拉斯正则化稀疏变换学习的图像去噪算法。此外，在度量图像块间相似度时，不仅考虑了像素值的欧式距离，同时也考虑了优化后的稀疏编码，进而可以找到更加准确的组。在实验中，针对给定图像数据在不同噪声水平下验证了所提算法具有较好的去噪性能，获得了较高的PSNR和SSIM值，并通过去噪后的图像细节图可见恢复后的图像更好地保持了图像的纹理细节及边缘结构特征，提高了图像恢复的质量。

然而，在噪声较大时图像细节破坏严重，往往无法获得较优的先验信息来构造图拉普拉斯矩阵，此时，所提算法的性能还需要进一步改善。因此，如何在强噪声下获得较好的图像去噪效果是未来研究的重点。