微分方程在图像去噪处理中的应用研究

孙志强

（河南艺术职业学院 河南 郑州 451460）

0 引言

数字图像随着经济社会的不断发展，逐渐成为重要的信息传递媒介，为人们传递各项生活所需的信息[1]。数字图像处理技术的不断发展，拓展了人们的视野，为计算机视觉领域的创新提供了基础，为我国多个领域的发展提供了帮助。数字图像的成像效果受噪声信号的干扰较为严重，导致图像边缘的细节信息会出现部分缺失，影响了人们对图像的视觉效果[2]。噪声的分类较为广泛，根据噪声的性质不同，分类的依据也不同[3]。在一般图像中，噪声干扰通常分为内部与外部干扰[4]。自然界中由于自然现象产生的噪声统称为外部噪声干扰，例如设备受自然因素的影响产生的放电现象等。导致图像受内部噪声干扰的因素较多，也是影响图像信息完整性的最重要因素，内部噪声包括设备由于机械运动引发的噪声、设备由于部件出现故障引发的噪声；设备自身的电路不稳定引发的噪声等。图像的噪声干扰信号的可统计性较强，通常可以用函数来表示。图像中出现的噪声信号为图像的分割、特征提取等工作造成了一定的困难[5]。微分方程的图像对于噪声信号的适应能力较强，在一定程度上能够产生分段恒定的图像，在平滑的区域内能够产生阶梯效应，满足数字图像发展的需求[6]。传统的小波去噪处理方法在一定程度上能够降低噪声信号的干扰，但是处理过程受到影响会使图像出现部分模糊甚至缺失的情况。基于此，本文提出了基于微分方程的图像去噪处理设计。

1 基于微分方程的图像去噪处理设计

1.1 构建全变分图像去噪模型

全变分图像的去噪主要是依据原始图像的特性，将含噪图像的总变分设定在一定范围内，构造含噪图像与原始图像的能量函数。将去噪问题逐渐转化为函数问题，用多项函数的最小化形式表示图像的噪声干扰问题。在图像的边缘区域采用低阶化保护边缘图像的信息，使图像信息清晰度提高。结合全变分方程的去噪原理，构建出基于全变分图像的去噪模型，模型的表达式为：

其中，G6表示高斯核函数；σ表示日算子；x、y分别表示含噪图像的横坐标和纵坐标。本文构建模型的目的是降低噪声信号与图像边缘的信息相混淆的情况。控制模型中的权重比例，在图像的边缘，设置自适应特征函数θ，使的θ值更加接近于1。在消除图像噪声信号的同时控制θ的值，最大限度地降低噪声的影响，避免产生阶梯效应。θ是控制权重的重要函数，通过设置图像的阈值能够使图像的边缘信息更加完善。通常情况下，根据数字图像自身的特性，设置图像的梯度阈值为1.5，根据梯度阈值的变化判定图像边缘的信息变化。

本文构建的全变分图像去噪模型结合了高阶全变分模型的优点，图像能够在不同的区域内自动适应，抑制图像阶梯效应的扩散，全变分图像去噪模型在一定程度上反映出数字图像的细节纹理与边缘信息。

1.2 选取全变分图像能量平衡点

基于上述的全变分图像去噪模型构建的结束后，获取到图像相关的细节纹理与边缘信息，基于此，选取全变分图像去噪的能量平衡点。图像去噪处理中，图像信息与迭代次数的变化趋势相同，图像的能量变化曲线与噪声能量的迭代也存在一定的关联，记录不同迭代次数下，全变分图像的能量点变化情况。观察全变分图像的能量点变化曲线，全变分图像中能量变化的规律表达式如下：

其中，ΔEi(N)表示全变分图像的能量变化系数，通常情况下小于等于0；Ei(N)表示图像在不同迭代次数下的能量变化。由于全变分图像模型中存在梯度为零的中心点，本文在全变分图像中设置一个较小的正数点，将正数点进行正则项的幂形式转变。通过本文上述构建的全变分图像模型，反映图像去噪的特征，将灰色关联理论与微分方程结合，根据全变分图像中能量的变化规律，可以获取到图像噪声能量的变化规律表达式：

其中，ΔEn(N)表示全变分图像的噪声能量变化系数，通常情况下小于等于0；En表示图像在不同迭代次数下的能量变化。取全变分图像能量的绝对值，随着图像去噪处理的迭代次数增加，全变分图像的能量与噪声能量相对减小；当去噪处理的迭代次数达到一定的点时，两种能量的变化系数逐渐相同，保证全变分图像中的有用信息完整，促进图像去噪处理中能量的稳定。设置依赖风险函数，以峰值信噪比作为全变分图像能量平衡点的选取评价标准，转变全变分图像的PSNR值，当迭代次数的噪声能量最小化时，全变分图像的停止准则参考点则为能量平衡点。

1.3 微分方程的数值计算

基于转变全变分图像的PSNR值后，对微分方程的数值进行计算。本文提出的微分方程的数值计算依据图像去噪算法的准则，以图像的全变分演变特点为基础。设置图像的噪声与纹理信息分布在高频区位置，分解图像的Lipschits指数，使指数随着噪声幅值的增大而增大，保证图像信号幅值的稳定变化。图像信号在各层位置的系数具有一定的相关性，根据图像信号系数的变化可知，噪声系数与信号系数存在较大的差异。经过微分方程去噪处理的图像系数中，存在较多不确定信息，依据系数尺度的不同，对图像进行了区域特性研究。

设定输入的图像大小为m×m，(x1i，x2j)=(ih，jh)表示图像在模型中的离散点，u(x1，x2，t)的离散程度表示为：

其中，Δt表示时间步长，h为图像的空间步长，输入图像为uo，设定常项系数n=1，将设定的迭代次数输入到算法中，通过快速离散变换计算出二维离散度。假设离散图像采用的是分格式离散求解方法，在图像的频率上设置矩阵算子，得出相应的对偶算子值。通过图像中的噪声能量变化量，对噪声信号的绝对值进行分析可知，在图像去噪计算中，开始迭代的噪声能量值小于图像能量的整体变化量。

在处理高斯噪声影响严重的图像中，改变其均值滤波去除噪声，在一定程度上能够使图像的亮度有所提高。当图像的大小呈现线性变化时，其对偶算子值呈正比例变化。图像大小m为奇数值时，像素大多数为实数值，在图像中的负分量较小，可以在计算中忽略不计。采用不同的去噪模型取得的高斯噪声方差大小不同，在不同噪声信号中的峰值信噪比存在一定的差异。

1.4 获取图像去噪最优迭代次数

通过上述选取的全变分图像能量平衡点特征，基于噪声准则，获取图像去噪的最优迭代次数。综合考虑图像噪声方差的大小，结合图像能量变化系数与图像噪声能量变化系数之间的关系，保证全变分图像去噪的迭代次数满足以下表达式：

其中，λ表示噪声准则的标准方差，随着全变分图像内的噪声变化，需要迭代的次数不断发生改变。微分方程去噪处理的图像具有一定的阶梯效应，会导致图像边缘信息较为模糊，为了减少这一现象的出现，采用二维离散变换方法，消除图像的阶梯效应。设置边缘检测函数，使检测函数值接近0，通过边缘检测函数能够有效地抑制阶梯效应，保存图像去噪处理后的细节信息。定义图像信号的自适应分数，提取图像边缘信息扩散特征，通过信号自适应分数的阈值区分图像的噪声与边缘，通过线性滤波器的作用，对图像的梯度算子进行正则化处理，克服噪声敏感的问题。

为了保证图像梯度变化的平滑性，在图像边缘进行光滑保护，将图像划分为多个块状区域，通过自适应函数，调整图像边缘的平滑度，并进行强扩散处理。基于微分方程的约束条件，对去噪处理的能量泛函进行最小化处理，调整平衡去噪的规整化参数，抑制图像噪声的振荡。基于上述表达式，获取基于微分方程的图像去噪最优迭代次数与PSNR值之间的关系，见表1。

表1 基于微分方程的图像去噪最优迭代次数与PSNR值的关系

如表1所示，通过计算得出了噪声方差标准值不同的情况下，Max迭代次数、T2迭代次数与误差dB。其中，T2迭代次数是在 |ΔEi(N)|-|ΔEn(N)|≤λ下的迭代次数；Max迭代次数能够表示最大PSNR值下的迭代次数，根据表1的计算结果可知，Max迭代次数与T2迭代次数的图像去噪最优迭代次数基本一致。

1.5 改进递归滤波各向异性扩散

在图像的去噪处理中，各向异性扩散算法也是减少噪声信号的重要组成部分。通过观察图像的中心点与邻近点的差值大小，控制图像像素的数值更新变化，像素得不到及时的更新，影响了图像去噪的迭代次数。迭代次数的不断改变，导致图像过度地受到控制面平滑程度限制，边缘细节信息出现丢失。

为了改善这一现象，将递归滤波器的各向异性扩散进行优化，逐渐实现扩散。微分方程将图像的频域分数转化为分数算子，具有非线性的特征，能够控制各向异性扩散因子的扩散程度。微分方程中的阶曲率与阶梯度成正比变化，当阶曲率增大时，各向同性的扩散率接近相同，扩散因子随着梯度的增大而减小。本文将图像中的梯度值变化作为扩散的特征，将图像边缘的滤波结合到扩散特征中，使其线性滤波的变化较为显著。

对于退化的图像去噪处理之前，首先要保证图像在模型中的精准性，对其萎缩阈值进行优化改进，控制高频系数的离散变换，基于图像信号与函数的内积方法，改进退化图像的递归滤波扩散情况。

将递归相邻的图像的中心像素点进行定位，提高像素的整体更新速度，降低递归滤波操作中的计算量。本文改进的递归相邻图像的表达式为：

其中，t为迭代的次数；λ为常数项；▽iNt表示递归滤波的变化；It-1(x，y)表示各个相邻像素点之间的平均差值，利用各个相邻像素点之间的差值能够得出图像中的扩散系数。递归滤波的扩散因子引进图像的内部位置进行扩散，有效地抑制噪声的干扰信号传播。

递归滤波的扩散会相应地增加去噪过程中的图像细节纹理的干扰，对递归的图像产生梯度方向的拆分影响。为了避免图像边缘区域的梯度方向扩散，将图像边缘的信息进行保护，减少去噪过程中的迭代次数。

2 实验分析

2.1 实验准备

为了验证本文提出的基于微分方程的图像去噪处理方法的有效性，将本文提出的方法与传统的小波图像降噪方法进行对比。

使用Matlab软件验证本文提出方法的可行性，选用像素为450×450的Boats图像进行实验。首先对原始图像添加方差为25的高斯噪声，对加噪处理的图像使用TV模型、PM模型与本文提出的全变分图像去噪模型进行去噪处理，去噪后将图像的局部进行放大，进一步获取去噪中图像边缘的特征状况。通过算子软件对模型去噪后的图像进行分析处理，图像去噪的质量与图像的逼真度具有一定关联。使3种模型的时间步长设置为相同的数值，本实验的时间步长选取2.5，3种图像去噪模型的信噪比参数，见表2。

表2 3种模型的信噪比参数对比

表2为3种图像去噪模型的信噪比、均方差测度与迭代的次数、时间参数。本文提出的基于微分方程的图像去噪处理模型在迭代时间较短的情况下，迭代次数最佳，信噪比强度较另外两种模型相比较强，整体对数字图像处理的均方差测度较小。

2.2 对比分析

基于表1获取到的信噪比参数，计算出相应模型的噪声方差，将本文提出的基于微分方程的图像去噪处理方法与另外两种方法在不同噪声方差下的峰值进行对比。将3种图像去噪模型的噪声方差值曲线变化绘制成图，见图1。

根据图1可知，随着噪声方差的不断升高，本文提出的模型信噪比峰值波动幅度较小，另外两种模型的信噪比峰值下降趋势较明显。因此，实验证明，本文提出的方法对于图像噪声信号处理的效果更加有效，能够最大程度地减少图像边缘区域的噪声信号干扰。

3 结语

本文提出的基于微分方程的图像去噪处理设计，通过构建全变分图像去噪模型，图像能够在不同的区域内自动适应，在一定程度上能够抑制图像的阶梯效应扩散；对微分方程的数值进行计算，取得高斯噪声方差的峰值信噪比；改进递归滤波各向异性扩散，对图像的边缘信息进行保护。实验证明，本文提出的图像去噪模型能够有效地减少图像边缘区域的噪声信号干扰。