空间几何题中常见问题处理策略

孙桂芳

摘要：空间几何体是高考的必考内容，而且全国卷中一般不出现在压轴题中，但是反观我们学生的做题情况则是很糟糕，能把这道题拿到满分的同学更是少之又少。所以，我们要探讨如何提高这道题的有效得分的策略，也要找到有效的办法避免学生在细节的地方失分。

关键词：几何法 向量法 已知条件 线面角 面面角

空间几何体是全国高考卷中大题的必考题，一般是在大题中第18题或者是第19题的位置。这道题，每个考生都信心满满，觉得自己肯定能把这道题拿下，但是我们在改卷的过程中发现，能得满分的同学非常少，能把这道题写得明明白白、清清楚楚的同学更是少之又少。我印象比较深刻的是，老师们在每次考试改卷都时都害怕抽到空间几何题，因为这道题学生的书写过程真的是让人哭笑不得，无论它给的条件是什么，学生都能得出要证明的结果，更有甚者直接把所有的已知条件有一个大括号一写，推出了最后要证明的结论。还有就是建立的空间直角坐标系不同，则点的坐标就不同，法向量等也不尽相同，所以这道题的改卷是改一张，做一次，次次不同。鉴于上面出现的问题，我们要采用怎样的策略，让学生把题目写明白，争取拿到更好的分数呢？下面我结合自己的经历谈谈自己的看法。

一、灵活应有几何法和向量法

就近三年的全国高考卷来看，空间几何题一般分为两个小问，第一问一般是解决点共面、线线、线面、面面的平行和垂直问题，第二问更多的是解决线面角和面面角问题。建议学生第一问尽量用几何法解决，第二问再用向量法解决。理由如下：

（1）几何法和向量法比较来看，几何的思维比较难，计算简单，向量法的思维相对来说比较简单，但是计算难度较大。而且有些题目第一问用向量法是不方便解决的，比如说点的共面问题。

（2）能够提高自己的有效得分。从高考改卷来看，如果第一问就用向量法解决问题，那么在第二问就不在给建系、点的坐标的分数。如果第一问用的是几何法，第二问用的向量法，那么第一问得分外，第二问还有建系、点的坐标的步骤得分，这无疑增加了考生的有效得分，并且兼顾了几何法和向量法。

二、如何处理题目中的已知条件

（1）题目中出现线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直，那么肯定要用到上面这些已知条件的性质定理。

（2）某动点在某条直线上，那么动点的坐标不能简单的设动点P的坐标为（x，y，z），而应该在进一步利用向量共线，把动点P的坐标用一个未知数来表示。例：点A的坐标是（1，2，3），点B的坐标是（4，5，6），动点P在线段AB上，（AB） ⃗=（3，3，3），（AP） ⃗=（x-1，y-2，z-3），设（AP） ⃗=t（AB） ⃗，有{█（x-1=3t@y-2=3t@z-3=3t）┤，则点P的坐标可用一个未知数表示为P（1+3t，2+3t，3+3t）.同理，若动点P在某个面内，则点P坐标可以利用平面向量基本定理用两个未知数来表示。

（3）空間几何体中如果有未知的线段，而这条线段未知影响后面题目的计算。那么，结合第二点，利用已知条件中的线线角、线面角、面面角结合方程思想可以求出未知线段的长度。2021年的高考题中的19题就是上面的这种情况。

三、线面角、面面角如何避免最后的结果出错

（1）线面角最容易出错的地方就是以下两点：一是法向量与直线的方向向量所成的角并不是线面角，这两个角是互余的。有效的解决办法是sinθ=|cos〈n ⃗，m ⃗ 〉 |一步写完，不要分成两步。（其中θ是线面角，n ⃗是平面的法向量，m ⃗是直线的方向向量。）二是两向量夹角的范围是[0，π]，线面角的范围是[0，，π/2]，角范围的不对等该如何处理呢？像上面一样，平面的法向量和直线的方向向量的余弦值加上绝对值符号就可有效的解决该问题。

（2）用向量法解决两面角问题如何确定最后的结果是要正数还是负数呢？我觉得有两个方案可以解决。一是通过图形来看两面角是钝角还是锐角，若是钝角则二面角的余弦值为负，若是锐角则二面角的余弦值为正，这种方法的不严谨，但是简单方便，可能会出错。第二种方案是看法向量，让一个法向量指向二面角的内部，一个法向量指向二面角的外部，此时法向量所成夹角的余弦值与二面角所成的余弦值刚好相等。问题又来了，在几何图形中如何判断内外呢？答案是通过竖坐标来看，若竖坐标为正，则法向量的方向是斜向上的，若竖坐标为负，则法向量的方向是斜向下的。

四、如何防止学生乱写和丢失关键步骤

这里要说的是，我们一直鼓励学生尽可能的写。防止学生乱写并不是要让学生不写，好降低我们改卷的难度和减轻我们的工作量。而是要让学生清楚要怎么写。

我觉得一道几何题写得清楚明白的标准是：你的每一步都要有依据，不能凭空想象乱写，自己创造性的整出你自己专属的定理。判定定理和性质定理在应用的过程中条件要完整，用因为所以书写时关键的条件一定要在，用“}”来写的话每个条件不能有拉下的。另外一个标准就是你写出来的东西是让别人看的，如果一个不会这道题的解答过程，他是不是能看懂，如果能看懂，那么基本上是成功的了。

总之，空间几何题是高考中的必考题，也不是压轴题，通过学生和老师的通力合作，应该是能够完整的把这个题做出来的。我也相信，我们的努力也将会有回报。

参考文献：

1人民教育出版课程教材研究所编著.普通高中课程标准试验教科书数学必修5A版[M].北京：人民教育出版社，2007.