直觉模糊知识粒的分解与合成研究*

张创邦 王青海

（青海师范大学计算机学院 西宁 810008）

1 引言

1982 年Pawlak 提出粗糙集理论，其作为一种处理不完备、不确定、不精确数据的数学工具，将人类客观知识抽象为多元关系，构建粗糙集模型本质转化为信息在多元关系下的关联推理和知识发现［1～2］。该理论已在数据挖掘、机器学习、神经网络等领域有很多成功应用［1，3］。

随着人工智能理论及应用的迅猛发展，针对现实世界各领域数据日益复杂和智能建模现实需求，对粗糙集模型科学扩展已成为粗糙集理论发展的关键瓶颈。Zadeh提出的模糊集是处理模糊性和不确定性知识的另一种数学工具［4］。模糊集能有效对模糊信息及不确定性信息进行客观表达和有效度量，解决了很多的现实问题。例如：过滤冗余信息并提取关键特征的模糊决策［5］；从模糊前提集中得到模糊结论的模糊推理［6］；能明显降低时间复杂度的模糊计算［7］；某些聚类问题中有更好聚类效果的模糊聚类［8］。模糊集已发展出丰富的推广集，比如Zadeh 的二型模糊集能同时对个体内和个体间的不确定性建模［9］；Gorzafczany 的区间值模糊集更加适用于隶属函数不易确定的情况［10］；Atanassov的直觉模糊集能更细腻的描述客观世界的模糊性本质［11］；Yager 的Pythagorean 模糊集拓宽了直觉模糊集的适用范围［12］；Cuong 等的图片模糊集比直觉模糊集更加全面地描述模糊情景［13］。由于粗糙集与模糊集具有典型的互补性，两者的结合一直是粗糙集模型扩展的重要方向。1990 年Dubois 等提出模糊粗糙集［14］，之后很多学者研究了vague 粗糙集［15］及模糊区间粗糙集［16］等，为模糊信息在模糊知识发现与近似推理提供了计算模型，有效解决了模糊信息属性约简及规则提取问题。1998 年Chakrabarty等提出直觉模糊粗糙集［17］，为直觉模糊信息的知识发现与近似推理提供了计算依据。随着多论域、多异构、多需求数据的不断出现，粗糙集模型及理论仍然是复杂数据智能约简与科学建模的重要方法之一。

粒计算［18］是近年来发展迅速且融合了粗糙集、模糊集、商空间等多种理论的智能计算框架。其基本思想是人类抽象和表达知识的形式化方法。知识粒具有层次结构，通过分解与合成策略可将复杂问题粒与简化问题粒进行映射和聚合，得到解决复杂问题的有效方法。吴明芬等为研究知识粒的分解而提出一种不同的双论域粗糙集模型［19］，该模型在两个近似空间(U,R1)和(V,R2)基础上，构建出新的近似空间(U×V,R1∏R2)，并将其称为积近似空间。其中R1ΠR2为笛卡尔积(U×V)上的一个二元等价关系。吴明芬等还将这种近似空间推广到模糊环境［20］，提出积模糊粗糙集和积近似空间中可定义集的分解问题，将多维对象元组的积粗糙集数据处理问题转化为一维粗糙集模型合成运算，以有效提高复杂模型计算效率，降低计算复杂度。

将直觉模糊积粗糙集进行分解与组合研究，探寻积模型可计算性和形式化表达，揭示其分解与组合之间转换的客观规律无疑具有重要意义。文章在吴明芬等提出的积模糊粗糙集基础上将集合扩展到直觉模糊集，而且将算子扩展到更一般的三角模运算；定义了直觉模糊近似空间的积等价关系和直觉模糊近似空间的积近似空间；研究了基于直觉模糊知识粒的积粗糙集模型表示、分解及合成规律。

2 基础知识

定义1［21］（直觉模糊集）设U是一个给定论域，则U上的一个直觉模糊集A={＜x,μA(x),γA(x)＞|x∈U}。其中μA(x):U→[0,1]和γA(x):U→[0,1]分别代表A 的隶属函数和非隶属函数，且∀x∈U,0 ≤μA(x)+γA(x)≤1。U上的所有直觉模糊集构成的集合表示为IF(U)。

为表达简洁，本文有时用格表示直觉模糊集［22］，即将上述映射A:U→L记为A(x)=(μA(x),γA(x))。其中L={＜μ,γ＞∈[0,1]2|μ+γ≤1}，其单位元为1L=(1,0)，零元为0L=(0,1)。后面出现的L含义相同。

对于任一非空子集A⊆L，∀(μ,γ)∈A，A的上下确界有如下定义：

定义2［22］直觉模糊三角模［22］T（直觉模糊t-模），S（直觉模糊s-模）称为t-可表示的，若存在对偶模糊t- 模t和s- 模s满足，∀x,y∈L，T(x,y)=(t(x1,s(x2,y2))和S(x,y)=(s(x1,y1),t(x2,y2))。

一对t-可表示的直觉模糊t-模T和直觉模糊s-模S关于标准直觉模糊否定算子N对偶，即

一种特殊的直觉模糊三角模——Zadeh 算子（模糊环境下Zadeh算子为∧，∨）：

定义3［21］（单论域上的直觉模糊关系）设论域U，直积U×U上的一个直觉模糊集R称为一个直觉模糊关系，记为R(x,y)={＜(x,y),μR(x,y),γR(x,y)＞|(x,y)∈U×U}其中(μR(x,y),γR(x,y))∈L。

定义4［21］设R∈IF(X×Y)，P∈IF(Y×Z)是两个直觉模糊关系，则它们的合成关系R◦P∈IF(X×Z) 定义为R◦P={＜(x,z),μR◦P(x,z),γR◦P(x,z)＞|x∈X,z∈Z}。其中：

为直觉模糊集A在近似空间IFSA上的粗糙集。其中ψ为直觉模糊蕴含算子。

对偶性不是任意直觉模糊粗糙集都具备的，所以在这里有近似空间算子上的限制——蕴涵算子限制为直觉模糊S-蕴涵算子ψN,S。具有对偶性的直觉模糊粗糙集可以用矩阵简单表示。

定理2 设IFAS=(U,R,ψS,N,T)（各参数含义同定理1），论域U={u1,u2,…,un}，U上的一个直觉模糊等价关系R，记为R=(rij)n×n。 ∀A∈IF(U)，记为A=(a1,a2,…,an)T。则，

其中矩阵乘运算“*”中的元素乘运算为T运算，元素“乘积”的和运算为求上确界运算sup。

证明：根据矩阵运算的形式对照即可得到式（1）。根据定理1，另外直觉模糊集的补运算算子是标准的直觉否定算子，即为对合算子，可知式（2）必然成立。

作为直觉模糊粗糙集的矩阵表示，式（1）只是在表达方式上和矩阵运算进行了对应，故不需要限制条件，而式（2）建立在直觉模糊粗糙集的对偶性基础上。

3 直觉模糊近似空间的积近似空间

将吴明芬等的积模糊粗糙集模型推广到直觉模糊的情况，并将算子推广到三角模。同时为保留更好的性质，将定义中用到的模糊t-模和s-模限定为一对对偶算子。在此前提下给出直觉模糊积等价关系和相应近似空间的定义，构造相应的粗糙集模型。

3.1 直觉模糊积等价关系

引理1 对于三角模T（模糊或直觉模糊的t-模或s-模）有T(T(a,b),T(c,d))=T(T(a,c),T(b,d))

证明：根据T的交换律和结合律：

定理3 定义7 在U×V上的直觉模糊关系R1∏R2为等价关系。

证明：只证传递性。

又因为R1，R2是传递的，即R1◦R1(u,u″)≤R1(u,u″)，R2◦R2(v,v″)≤R2(v,v″)，且T具有单调性，可知

3.2 计算积直觉模糊等价关系的算法原理

直觉模糊元素A(xi)=(μA(xi),γB(xi))组成的矩阵上可定义类似两个矩阵Kronccker积的运算。

定义8 设A=(aij)n×n，B=(bkl)m×m，aij,bkl∈L

其中L={（μ,γ)|μ,γ≤1且μ+γ≤1}，则A，B矩阵的广义Kronccker 积为A⊗B=(T(aij,B))mn×mn，其中T(aij,B)=(T(aij,bkl))m×m，从而

证明：由定义7和定义8可得出结论。

定理4 可作为基于两个直觉模糊等价关系的积关系算法的原理。具体算法省略。

3.3 直觉模糊近似空间的积近似空间

定义9 设(U,R1)，（V,R2)为两个直觉模糊近似空间，则称(U×V,R1∏R2)为这两个直觉模糊空间的积近似空间，即为一个二维积近似空间。

定义10 设两个直觉模糊近似空间(U,R1)，（V,R2) 的积近似空间(U×V,R1∏R2) ，对于∀(u,v)∈U×V，∀M∈IF(U×V) 关于直觉模糊等价关系R1∏R2的上、下近似分别为

因为直觉模糊积粗糙集本质上依然是直觉模糊粗糙集，其关系本质上依然是二元关系，所以直觉模糊积粗糙集依然具有直觉模糊粗糙集的基本性质、单调性、幂等性、对偶性等。同样对偶性目前也仅限于(U×V,R1∏R2,ψS,N,T)直觉模糊积近似空间。

3.4 求直觉模糊积粗糙集的算法原理

根据定义8、定义10、定理2、定理4 以及直觉模糊积近似空间(U×V,R1∏R2,ψS,N,T)上的上、下近似的对偶性，给出其粗糙集的算法原理，具体算法省略。

4 直觉模糊积近似空间知识粒的分解

积近似空间是将两个论域的等价关系合成一个论域的等价关系，本质上是知识粒合成。反过来，能不能将一个论域的等价关系分解为两个论域的，即进行知识粒的分解？吴明芬等首先提出这种分解的思想和概念，并研究了精确集和模糊集的情况，但对积模糊粗糙集的分解退化到了粗糙模糊集的情况，如下面所引定理5。为进一步研究直觉模糊积粗糙集的分解，本文补充研究了积模糊粗糙集的分解。

先补充说明模糊集和精确集的表示方法。分别用F(U)和P(U)表示论域U上的所有模糊集和精确集。

定义11 设M∈F(U×V) ，若存在X∈F(U) ，Y∈F(V)，对∀(u,v)∈U×V，有模糊三角模t，使得M(u,v)=t(X(u),Y(v))成立，则称模糊集M是t模可分解的。 特别如M∈P(U×V) ，且存在X∈P(U) ，Y∈P(V) ，使得M=X×Y，则称集合M是清晰可分解的。

此定义将吴明芬等的模糊可分解定义［20］扩展到了模糊t-模可分解。

定义12 设两个模糊近似空间(U,R1)，（V,R2)的积近似空间(U×V,R1∏R2)，模糊等价关系R1∏R2((u,v),(u′,v′))=t(R1(u,u′),R2(v,v′)) 。对于∀(u,v)∈U×V，∀M∈F(U×V)关于直觉模糊等价关系R1∏R2的上、下近似分别为

定义13 设M∈IF(U×V)，若存在X∈IF(U)，Y∈IF(V), 使 得 对 ∀(u,v)∈U×V,M(u,v)=T(X(u),Y(v))成立，则称直觉模糊集M是T可分解的。

定理7 设有限论域U，V。M∈IF(U×V)是T可分解的，当且仅当存在X∈IF(U)，Y∈IF(V)，直觉模糊t-模T，使得M=X⊗Y。

证明：根据定义8和定义13可知结论成立。

例：设U={u1,u2}，V={v1,v2}，U×V={(u1,v1),(u1,v2),(u2,v1),(u2,v2)} ，若有M∈IF(U×V) ，且M=(＜0.6,0.2 ＞,＜0.4,0.6 ＞,＜0.3,0.5 ＞,＜0.7,0.1 ＞)T,则可验证M不是直觉模糊TM模可分解的。

定理8 设(U1,R1,∨,∧)，(V,R2,∨,∧)是直觉模糊近似空间，M∈IF(U×V)是直觉模糊Zadeh算子∧可分解的，即存在X∈IF(U)，Y∈IF(V)，使得对∀(u,v)∈U×V，均有M(u,v)=X(u)∧Y(v) 成立，则对∀(u,v)∈U×V有

从以上结果可知，二维模糊积近似空间的模糊可分解集确实可用一维模糊近似空间的知识粒表示。同样，直觉模糊积近似空间的直觉模糊可分解集也可用一维直觉模糊近似空间上的知识粒来表示。

5 结语

本文基于直觉模糊知识粒视角研究了直觉模糊环境下积模型的分解与合成：通过一维直觉模糊知识粒合成了相应的二维模糊知识粒，分析了任意二维直觉模糊知识粒的分解性问题，验证了存在不可分解的情况，得到了直觉模糊积模型变换的一些重要结论。目前对于复杂模糊知识粒的分解和合成问题仍处于初级研究阶段，深入研究复杂模糊知识粒的相互转化这一科学问题，尤其是复杂模糊知识粒可分解性判定和直觉模糊逻辑研究对于复杂模糊场景建模与推理具有重要的现实意义，这也是本文下一步研究方向。