高中数学建模活动和数学探究活动的实践路径

■天津市第三十二中学 刘 洋

■天津市河东区教师发展中心 刘春红

（吴淑媛）

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。数学探究是围绕具体数学问题开展自主探究、合作研究，并最终解决数学问题的过程。高中数学建模活动和数学探究活动与义务教育阶段的“综合与实践”一脉相承，“综合与实践”作为一种学习活动,同样以具体的问题为载体，需要学生主动参与和小组协作，将所学的数学知识进行综合运用。而高中数学建模活动和数学探究活动在此基础上提升了学生自主研究的深度与广度，为学生大学阶段的科学研究奠定实践基础。

高中数学建模活动和数学探究活动不同于一般的课堂教学，在学习设计、实施、评价等方面均存在困难。从学习设计角度看，两种活动不同于传统的教学形式，更突出学生的主体地位，必须采用小组合作学习、探究学习，教师要做好充足的教学准备，实现学生的个性化学习。从实施过程角度看，既可以在实验室、阅览室、图书馆等功能教室进行学习活动，也可以在校园或校外进行考察、调研、实践等活动，教师对学习过程的把控要求极高。从学习评价的角度看，两种活动的成果均为研究报告或论文，内容没有标准答案，鼓励学生的奇思妙想，对评价者有较高的专业要求和科研水平要求。评价中既要有学习成果的具体评价，也要有学习的过程评价，要鼓励学生反思实践过程，提升科研实践能力。基于上述三点，教师需对教学环境、学习过程、评价方式进行整体设计，基于深度学习理论，在不同的学习阶段进行不同层次的教学实践，实现数学核心素养的螺旋式上升。

一、数学建模与数学探究的实践原则

（一）整体谋划，进行单元教学设计

数学建模活动与数学探究活动贯穿于高中必修课程、选择性必修课程和选修课程，学习活动要与学生所学数学知识相结合，作为一种实践活动课时不可能连续实施，需要教师进行合理的单元教学设计，既可以把内容分解到不同的课时逐步开展，也可以借助学生校本课程的课时集中进行研究突出教学的整体性，做到循序渐进。数学建模和数学探究中的课题研究是高中生较为陌生的实践模式，不能一蹴而就，需要教师在不同学习阶段，针对不同教学内容，逐步培养学生的研究能力和水平。

（二）分步实施，体现深度学习理念

数学建模的选题源于生活实际，数学探究的选题源于重要数学概念，它们对学生而言都具有挑战性，需要教师精心设计，学生全心投入。研究小组根据选题分析数据、辨析数量关系，利用所学数学符号、概念等知识建立数学模型或进行数学运算和逻辑推理。合作过程中学生需协助、创见、争论和统筹；对问题的解需要判断和辨析是否符合生产生活实际，是否具有一般性；对不符合生活实际的解需要适度地调整，甚至可以提出其他不同的方案继续进行探索和尝试，以上过程符合深度学习的特征，借鉴深度学习的教学原则恰如其分。

深度学习强调建构创新。建构主义是深度学习的理论来源，建构主义学习理论主张的是教师是学习者学习过程中的辅助者，学习者通过教师的引导、同伴的探讨和已有的认知经验建构新的知识框架。建构主义的三个要素：同化、顺应和平衡，具体到教学中，同化指数学建模和数学探究中学习的数学知识要合并整理到已有的数学概念、性质、定理模块中，完善它的系统性；顺应通常是同化的后一个阶段，学生对数学建模和数学探究的方式不了解、不熟悉，用已有的学习经验不能解决问题，这就需要构建新的认知方式，这就是顺应；建构主义重点主张学生个体主动发现、主动探究、主动建构，要鼓励学生敢于突破平衡，充分发挥学生的想象力、创造力，在突破平衡中寻求发展，质疑和批判地看待问题，寻找不平衡的图式，使思维最大限度地发散，将解决问题的过程变成不断创新的过程。

（三）贴近生活，发挥学科育人功能

数学建模活动和数学探究活动充分体现出数学的应用价值、文化价值，是渗透数学文化和课程思政教育的重要方式。两种活动的选题都与数学文化和实际生活紧密联系，教师应充分挖掘其育人功能，使课堂教学与思政课程同向同行。知识学习强调主流价值引领，教师要提炼课程中蕴涵的文化基因和价值范式以及德育元素，融入理想信念层面的精神指引。

例如，带领学生到银行营业厅，引导学生提出与数学知识有关的问题，并利用所学进行解释和解决。学生一进门就能看到存款利率表，活期、一年期、三年期等，存不同年份就是指数函数问题；不同的用途推荐不同的存款方式就是策略问题——函数求最值；服务收费，不同的金额有不同的标准，就是一个分段函数问题；汇率表，体现了函数对应的概念；汇率变化，体现了函数图像性质；计算不同年份的平均利率，就是求几何平均数问题。除了数学问题外，汇率的变化体现了国家经济发展水平和人民币在国际的认可度；电子银行体现了科技的进步和发展，也引出了网络财产安全的新问题；自助服务系统与数学算法密不可分等。将发现的问题进行深入研究就是一个不错的数学建模活动，将其与社会发展相结合就是一个好的思政实践活动。

二、数学建模与数学探究的实施步骤

（一）确立目标，明晰活动价值导向

数学模型就是数学的语言，构建了数学与现实世界的桥梁。数学探究是数学发展的重要研究方式，需要用已有的结论对未知问题的猜想、推理、论证，促进了数学的不断完善和发展。基于上述认识确立实践目标如下：

1.经历数学建模活动、数学探究活动过程，撰写实践报告、小论文等成果，利用报告会的形式在一定范围内进行汇报、交流。

2.邀请校外专家、社会人士、家长等参与评价，通过评价促进学生反思研究过程，熟悉研究方法，形成研究经验。

3.培养学生有意识地遵循学术规范和坚守诚信底线，在研究过程中体会科学研究的客观性、验证性、系统性，初步形成严谨作风、探索精神和创造能力，培养学生理性思维、批判质疑、勇于探究等素养。

4.提升学生发数学建模、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。

5.将研究报告或小论文及其评价存入学生个人学习档案，为大学招生提供参考和依据。

（二）合理设计，构建有效活动模式

数学建模活动和数学探究活动基本过程概括为六步：一看、二想、三动、四评、五论、六结。对应三~六个课时，根据不同学情、不同内容、不同学习阶段进行适当调整。

1.“一看”，在活动的第一课时，让学生学习一个数学建模或探究的实例。利用学科兴趣小组，拍摄一个由学生演示活动过程的教学视频，使全班学生对陌生的方法有直观的印象。教师分析三个重点问题“问题的提出”“研究的主要过程”“基于哪些数学知识”，引导学生确定感兴趣的主题，也可由教师提出问题列表，让学生进行自由选择。

2.“二想”，交流学生基于情境提出的数学问题。选题是活动的关键一步，应有意识地引导学生用数学的眼光观察世界。确定研究小组（组长1人、活动记录员1人、实践主管1或2人）,由组长负责小组协同。教学形式主要是学生介绍选题情况，同学之间进行研究讨论，教师进行点评。

3.“三动”，学生分组活动。应重点关注两个问题，一是实践报告的运用，实践报告引导学生分步研究，对内容的填写要严谨，注意科学性。二是小组成员的分工协作。组长负责全程的组织，问题的提出与分析，组织讨论如何建立模型，问题的反思等；活动记录员负责全程的研究记录，文字整理并填写表格；实践主管负责数学建模、参数确定、计算求解等环节。活动既可以在课堂上进行，也可作为课后作业，教师进行跟踪指导和帮助，保障学生的参与度。

4.“四评”，教师收取实践报告进行审阅并评价，对学生的完成情况进行点评，回答学生提出的一些问题，同时提出一些新的建议。小组根据教师的建议完善活动记录，也可以重新进行实践，最终提交修改的实践报告。

5.“五论”，即小组展示会。由各组学生介绍研究情况，其他组成员提出疑问，小组成员进行答辩，也可以邀请专家或家长参与展示会。

6.“六结”，教师根据学生的互评打分情况，综合评定学生的表现。引导学生反思两种活动的过程、小组的配合情况，初步体会科学研究的一般过程。将学生的研究记录表纳入学生的综合素质评价档案。

（三）关注过程，实现预设学习目标

在数学建模活动和数学探究活动的过程中教师发挥至关重要的作用，而作用的方式要做到润物细无声，关注学生的实践过程，提供关键支持、恰当指导、适度纠正。

1.完善数学建模活动和数学探究活动的认知结构

（1）结合情境提出合理的数学问题，突出高中数学概念、定理、性质的运用，深刻体会背景和生成过程，合理运用推理。

（2）活动的过程注意每个步骤的严谨性，在最大限度上保证结论的科学性和实用性。

（3）对研究过程不断反思和调整，并大胆提出设想。

（4）合理地运用研究表格，确保过程清晰准确。

（5）注重团队配合，在团队研究中发挥每一名学生的作用，做好沟通和交流。

2.培养学生的数学建模和数学探究的兴趣。构建学生感兴趣的实际情境，让学生积极地参与、体验，提供学生展示运算成果的机会，鼓励学生不断创新研究方式，提升学生研究的收获感。

3.培养学生坚强的意志品质。选择素材的难度要适合学生的最近发展区，当学生遇到研究困难时及时搭建“脚手架”，帮助学生克服研究困难问题时产生的紧张、胆怯、退缩的心理状态，有意识地培养学生的意志品质。

（四）注重评价，发挥活动最大功效

活动应该以过程评价为主，教师要为每个学生创造积极参加的环境，以小组评价为主兼顾个人评价。评价应贯穿分析具体情境、发现数学关联、提出数学问题、构建数学模型、完善数学模型、得到数学结论、说明结论意义的全过程。评价研究论文和报告时要注意提出问题的依据、解决问题的思路、得到结论的意义，遵循学术规范，坚守诚信底线等问题。

三、数学建模与数学探究的实践策略

1.突出学生主体地位。在具体的实施中让学生动起来，自己做数学、学数学、用数学。教师要引导学生主动发现、探究、建构，让学生在活动中能自主地学习知识、分析问题、解决问题，充分发挥想象力、创造力，使思维实现最大限度地发散，使学生真正成为书序建模活动和数学探究活动的主体。

更要引导学生在生活中发现问题，自主研究。比如，以苏州园林为研究背景，从园林建筑中寻找数学问题。或将建筑的斗拱拟合为函数模型，将其实用性、艺术性用函数方式予以表达；或探寻建筑结构体现的几何图形与建筑耐用性、采光性之间的奥秘；或借游客游园时间、容量与预定人数的测定来传导统计和概率知识等。这些问题的背后不仅反映了中国园林建筑的超然水平及文物保护的成果，还体现了中国古代文明与现代文化传承与互鉴的文化命题。

2.实现与信息技术的融合。数学建模需为学生提供研究活动的设备，如计算器、实验设备、统计工具等。但设备是为教学服务的，可以因陋就简，多种手机软件可以提供测量、统计、计算、作图等技术支持；物理实验室、生物实验室的很多设备可以为教学提供实操基础；图书馆和电子阅览室可以提供资料查询的场所和工具等。数学探究活动同样需要数学绘图软件的验证，适当培训学生运用图形计算器或代数几何画板工具也是必要的。活动中信息技术的深度融合必不可少，数学文化资料的查询、物体的测量、函数的拟合、处理分析数据等都离不开网络、图形计算器、Geogebra画板、R统计软件的运用，信息技术为学生的创意插上了翅膀。

3.设计学科整合项目。数学模型与物理、化学、生物、信息技术等学科有千丝万缕的联系，在社会、人文、艺术等领域的运用也愈加广泛，各学科的定量研究都离不开数学。概率与生物遗传、物理学重心的变化规律探索、信息技术中的算法、社会学中的调查研究、文学作品充分率研究等都可设计为数学建模活动。

四、结语

高中数学建模活动能用数学解决实际生产、生活问题，数学探究活动可发展新的数学问题，它们都促进学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。教师应在实践中不断积累经验，创新方法，用教学智慧发展学生数学核心素养。