稳健协方差矩阵重构波束形成算法

陆家威，童 晖，许伟杰

(1. 中国科学院声学研究所东海研究站，上海 201815；2. 中国科学院大学，北京 100049)

0 引 言

自适应波束形成的方法具有良好的稳健性，广泛地应用于雷达、声呐、探测、通信等领域。当接收数据协方差矩阵以及信号导向向量精确已知时，最小方差无失真(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)波束形成具有理论最优性能。当协方差矩阵中包含目标信号或信号导向向量存在误差时，MVDR波束形成的性能将严重受限。文献[1]通过引入不确定集的方法，给定真实导向向量与假设导向向量之间的误差向量的上限。利用目标函数的旋转不变性以及三角不等式的性质，可将文献[1]中的不确定集约束方法等价转换为凸问题，通过推导可知不确定集方法属于对角加载类方法。

然而实际上，不确定集的约束范围往往过于保守，即存在冗余度，通过假设误差向量服从于给定概率密度函数[2]，可将不确定集约束与概率问题相结合。但上述基于不确定集约束的导向向量误差的改进方法均需要预先设定参数，同时算法的性能取决于参数的设定。针对该问题，文献[3]中通过推导给出了不确定集参数的合理设置范围。文献[4]中利用目标信号子空间与误差信号子空间的正交性对误差向量进行估计，并通过shrinkage方法[5]对接收信号协方差矩阵进行估计，该方法无需进行系统参数设定。

文献[6]通过 Capon谱估计的方法重构干扰加噪声协方差矩阵，该方法需要对目标信号的来波方向进行假设，并通过低分辨率的方法大致确定干扰信号的来波角度范围。结合Capon谱重构方法积分区间的稀疏性，文献[7]通过使用环积分的方法替代Capon谱重构方法中的离散求和，但该算法的计算量相对较大。利用导向向量之间的采样特性，文献[8]结合协方差矩阵衰减(Covariance Matrix Taper,CMT)方法对干扰信源协方差矩阵进行重构，但该方法在阵元数较少的情况下性能受限。文献[9]通过利用接收数据协方差矩阵的特征向量与目标信号导向向量之间的相关性，对信源导向向量进行估计。

本文首先通过Capon谱重构的方法得出重构信源协方差矩阵，然后通过对重构信源协方差矩阵进行特征分解，得出信源导向向量的估计，根据所得信源导向向量，估算出干扰信号的功率。噪声功率通过对除目标信号以及干扰信源以外的观测区间进行Capon谱估计获得，从而得到干扰加噪声的重构协方差矩阵。最后，结合Capon谱重构中估计所得目标信号导向向量，可得最优加权向量。仿真结果显示，与其他方法相比较，本文所提算法在来波角度存在误差，阵元位置存在误差以及阵元幅度相位存在误差的情况下，均展现出良好的稳健性和收敛性。

1 信号模型

2 基于协方差矩阵重构的稳健波束形成算法

2.1 信源导向向量重构

为Ci的特征值。，特征值按降序方式排列，vi为与λi对应的特征向量。由子空间性质可知，最大特征值所对应的特征向量包含信源i的主要信息，因此取信源i最大特征值对应的特征向量作为导向向量的估计：

2.2 干扰加噪声协方差矩阵重构

3 数值仿真与结果分析

本节将第2节所提算法与其他算法做比较，验证算法的性能。假设阵列为由 10个半波长间距的各向同性阵元组成的直线阵。目标信号的来波方向θs为2°，干扰信号的来波方向分别为θ1= 3 0°，假设干扰信号的干噪比(Interference to Noise Ratio, INR)为30 dB。目标信号的来波角度范围为[θs- 5°,θs+5°]，两个干扰信号的来波角度范围分别为[θ1-5°,θ1+5°]和[θ2-5°,θ2+5°]，对应的离散Capon谱求和中，采样间隔为1°。

基于不确定集约束的最差性能最优(Worst Case Probability Optimize, WCPO)波束形成[1]，概率约束(Probability constrained, PROC)波束形成[2]，基于shrinkage方法重构协方差矩阵并通过约束优化方法求解误差向量(Shrinkage Reconstructed Quadratic Constrained, SRQC)波束形成方法[4]，经典Capon谱重构波束形成方法(Capon Reconstructed, CR)[6]以及基于最大相似系数重构导向向量(Correlation Coefficient Matrix Reconstructed, CCMR)波束形成方法[9]将用作与本文所提算法进行比较。在WCPO波束形成中，ε= 0 .3M；在概率约束波束形成(PROC)中，概率p= 0 .95。相似系数重构(CCMR)中，离散求和的角度范围为Θ1′ =[ - 9 0°,θs-5°]， Θ2′=[θs+ 5°,9 0°]。下列不同波束形成算法的输出信干噪比随输入信噪比变化仿真实验中，接收数据的快拍数固定为60；不同波束形成算法的输出信干噪比随快拍数变化仿真实验中，输入信噪比固定为 20 dB。下列三组仿真中的曲线分别代表不同波束形成算法的输出信干噪比随输入信噪比的变化曲线；不同波束形成算法的输出信干噪比随数据快拍变化曲线以及不同波束形成算法的算法性能与理论最优值之间的差值随输入信噪比变化曲线。所有实验结果均由200次蒙特卡洛仿真结果取平均所得。

3.1 角度误差条件下算法性能分析

假设目标信号和干扰信号的来波方向误差服从[- 4°,4°]均匀分布，即满足

图1表示不同波束形成算法的输信干噪比随输入信噪比的变化曲线，其中快拍数K=60。

图1 存在波入射角误差时不同波束形成算法的输出信干噪比随输入信噪比变化曲线Fig.1 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

基于Capon谱重构的方法CR[6]，CCMR[9]以及所提算法性能均优于SRQC[4]，WCPO[1]以及PROC[2]波束形成方法。基于Capon谱重构的方法在低输入信噪比以及高输入信噪比的情况下，其算法性能均与理论最优值接近，图2给出了接收数据快拍数对输出信干噪比的影响，在来波角度存在误差的情况下，且数据快拍较少时，所提算法仍能快速收敛。

图2 存在波入射角误差时不同波束形成算法的输出信干噪比随快拍数变化曲线Fig.2 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

图3则补充说明了不同算法性能上的差异。本文所提算法对CR[6]和CCMR[9]波束形成方法中离散求和区间进行了改进。基于各信源的波达方向的角度信息，将Capon谱估计的区间冗余度降低，减少空间噪声对信源协方差矩阵估计的影响。得益于对干扰加噪声协方差矩阵以及目标信号导向向量的准确估计，所提算法展现出良好的性能。图1中，proposed表示本文所提算法，optimal表示理论最优值，下同。

图3 存在波入射角误差时不同波束形成算法的输出信干噪比与最优值的差值随输入信噪比变化曲线Fig.3 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

3.2 阵元位置误差下算法性能分析

假设阵元位置误差服从[-0.05λ,0.05λ]的均匀分布，其中λ为波长。图4表示不同波束形成算法的输出信干噪比随输入信噪比的变化曲线，其中快拍数 K=60。基于 Capon谱估计的波束形成方法CR[6]，CCMR[9]以及所提算法输出信干噪比几乎一致，与图1对应的角度误差情况相较，算法性能波动增大。

图4 存在阵元位置误差时不同波束形成算法的输出信干噪比随输入信噪比变化曲线Fig.4 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

图5为不同波束形成算法的输出信干噪比随快拍数的变化曲线，其中输入信噪比SNR为20 dB。结果表明，对基于Capon谱重构的波束形成方法而言，快拍数并不会对其算法性能造成严重的影响。

图5 存在阵元位置误差误差时不同波束形成算法的输出信干噪比随快拍数变化曲线Fig.5 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

图6为不同波束形成算法的输出信干噪比与理论最优值之间的差值曲线。与CR[6]波束形成方法相比较，所提算法利用Capon谱的空间分布，降低了离散求和的区间冗余度。此外，基于信号子空间的特性，对目标信号导向向量进行估计，避免了CR[6]中约束优化方程的求解过程，降低了运算复杂度。

图6 存在阵元位置误差误差时不同波束形成算法的输出信干噪比与最优值的差值随输入信噪比变化曲线Fig.6 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

3.3 幅相误差下算法性能分析

考虑基阵阵元之间存在幅相误差。假设阵元幅度误差以及相位误差分别服从正态分布N( 1 , 0.05)和 N ( 1 , 0.25π)。

图7为不同波束形成算法的输出信干噪比随输入信噪比的变化曲线，其中快拍数 K=60。在此仿真设置下，所提算法无论是高输入信噪比或是低输入信噪比，均表现出良好性能。图8为不同波束形成算法的输出信干噪比随快拍数变化曲线，其中输入信噪比SNR为20 dB。图9为阵元之间存在幅相误差时不同波束形成算法的输出信干噪比与最优值的差值随输入信噪比变化曲线。从图9可以看出，当SNR小 于0 dB时，WCPO[1]和PROC[2]波束形成算法优于基Capon谱重构的波束形成方法。基于波达方向的先验信息，所提算法能够起到将目标信号分离的作用。

图7 阵元之间存在幅相误差时不同波束形成算法的输出信干噪比随输入信噪比变化曲线Fig.7 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

图8 阵元之间存在幅相误差时不同波束形成算法的输出信干噪比随快拍数变化曲线Fig.8 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

图9 阵元之间存在幅相误差时不同波束形成算法的输出信干噪比与最优值的差值随输入信噪比变化曲线Fig.9 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

综上，在本文设置的各种误差情况下，Capon谱重构类算法的性能及其收敛性均优于基于不确定集约束的算法(WCPO[1]与 PROC[2])，以及基于Shrinkage方法重构协方差矩阵的波束形成方法。

4 结 论

本文提出了一种基于干扰加噪声协方差矩阵重构的稳健波束形成算法。该算法首先利用Capon谱重构的方法估计出信源的导向向量，通过所得导向向量计算出信源的功率，噪声功率由目标信号以及干扰信源以外的观测区间通过Capon谱估计计算得到，从而得出重构干扰加噪声协方差矩阵，进而得到最优加权向量。仿真结果表明，在信源来波角度，阵元位置存在误差以及阵元存在幅相误差时，所提算法的性能均与理论最优值接近。从输出信干噪比随数据快拍的变化曲线中可以看出，算法在快拍数较低时便能快速收敛，证明了算法具备良好的收敛性。