旋转输液管动力稳定性理论分析*

张 博， 史天姿， 张贻林， 孙东生， 袁从敏， 丁 虎， 陈立群

（1.长安大学 理学院，西安 710064；

2.上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；3.台山核电合营有限公司，广东 台山 529228）

引 言

重型燃气轮机是迄今为止效率最高、能量密度最大的热-功转换类发电设备[1]，被誉为工业皇冠上的明珠，是多学科交叉的典范.而旋转叶片是重型燃气轮机的关键组成部分.随着科学技术的迭代更新，对燃气轮机热效率的要求越来越高，涡轮叶片的工作温度不断升高，涡轮进口温度达到了1 977 K，未来可能更高[2]，为了避免叶片不被过早烧毁，工程师在涡轮叶片内部布置了复杂的冷却通道系统[3].为了合理设计含有冷却通道的涡轮叶片，针对这类结构建立精确的动力学模型，准确掌握其振动特性显得尤为必要.

现有文献中通常将涡轮叶片简化为形式各异的旋转梁[4-5]、旋转板[6]或者旋转壳[7-8]，用来分析其线性或非线性动力学行为.郑彤和章定国等[9]将叶片简化为柔性薄板，建立了一次近似耦合动力学方程.Zhang 等[10]考虑叶片预变形效应，研究了旋转预扭梁在2∶1[11]或3∶1[12]内共振情况下的非线性动力学响应.Oh 和Yoo[13]建立了旋转叶片热弹耦合动力学模型，揭示了叶片服役热环境以及内部冷却液温度对叶片振动特性的影响，但并未涉及到内部流体对叶片振动的影响.

以上有关旋转叶片的研究，都没有考虑内部流体对叶片动力学特性的影响.但是，涡轮叶片的振动问题严重影响着工程系统的安全运行，亟需揭示其内部冷却液对其振动特性的影响.而早在20 世纪60 年代，Benjamin[14]基于开放系统的Hamilton 原理建立了输液管道的动力学模型，报道了管内流体对管道振动稳定性影响.Gregory 与Paidoussis[15]在Benjamin 的基础上研究发现，当流速超过某临界值时，管道将从流体源源不断获得能量并发生颤振失稳.王乙坤等[16]研究了脉动内流作用下管道的参数共振行为，揭示了输液管丰富的动力学现象.近期，易浩然等[17]考虑集中质量的影响，建立了悬臂输液管动力学模型，从理论和实验两方面探讨了输液管振动特性的演变规律.文献[18-19]报道了管道内部流动的流体将诱发结构发生内共振，不同模态之间存在能量交换关系.此外，国内学者如黄玉盈等[20]、金基铎等[21]、徐鉴等[22-23]和王琳等[24]在输液管动力学行为领域也做了大量有益的工作.

在旋转输液管领域，国际上已有一些相关的研究报道.根据管道旋转轴线方向与管道轴线的相对位置关系，大致分为两类：一类是管道旋转轴线方向与管道轴线重合；另一类是二者方向相垂直.前者相当于自旋的输液管，相关研究比较充分，经常用于油气开采中的深井钻头[25-28].第二类类似于旋转叶片模型，相关研究较少.Panussis 和Dimarogonas[29]采用Galerkin 和Hamilton 原理，率先研究了水平旋转输液管面内与面外耦合振动.Yoon 和Son[30]研究了变转速过程中，具有端部质量的旋转输液管在轴向和横向上的动力学响应.Wang 和Zhong[31]建立了旋转输液管的动力学模型，研究了蜻蜓翅膀血液循环对其飞行能力影响，发现在特定血流条件下，蜻蜓翅膀会失去稳定性.

通过文献调研不难发现，结构内部流体流动会显著影响结构的动力学行为，但考虑内部流体流动的旋转叶片模型相关研究还较少.为了准确掌握具有内部冷却通道的涡轮叶片的动力学特性，揭示内部流体对旋转叶片动力学特性的影响，本文利用Lagrange 原理，研究了基于Euler-Bernoulli 梁理论的悬臂式旋转输液管的自由振动特性，讨论了流体流速、端部质量、转速等系统参数对旋转输液管自由振动特性的影响规律.

1 模型描述与假设

本文建立的动力学模型如图1 所示，长为L且具有端部质量Tm的旋转空心叶片，绕轮毂中心以恒定角速度Ω转动，轮毂半径为r，这里假定叶片为内外径分别为Rin和Rout的空心圆截面管道，管道单位长度质量为m，管道内部流体相对于管道的流速为U，其单位长度质量为M.建立两套坐标系来描述结构的运动与变形：① 固结于轮毂中心的全局直角坐标系OXYZ；② 固结于旋转管道根部截面中心，x轴与管道中轴线重合并连同管道一起旋转的随转坐标系oxyz，管道在x，y方向上的变形分别用w1和w2表示.为了简化分析，引入如下假设：1）忽略管道剪切变形和转动惯量的影响，采用Bernoulli-Euler 梁理论描述其位移场；2）忽略管道在z方向的变形，即振动发生在一个平面xoy内；3）管道内流体为定常不可压缩的无黏流体；4）管道是均匀、各向同性的线弹性材料.

图1 旋转输液管动力学模型Fig.1 The sketch for a rotating pipe conveying fluid

2 运动学方程

假设全局坐标系下，X，Y，Z方向上的单位向量分别为i,j,k, 则管道上任意点P的速度矢量为

其中q1i,q2i为管道广义位移，N1,N2为选取的模态函数个数，φ1i, φ2i分别为轴向和横向两个方向上选取的试函数.需要说明的是，端部质量的存在会影响悬臂管的力边界条件，本文采用假设模态法，只需满足位移边界条件即可，故选取悬臂梁轴向和横向振动的模态函数作为试函数，其具体表达形式如下：

系统的Lagrange 函数为

将式(3)～(7)代入式(10)，采用式(8)将连续体离散，结合Lagrange 原理即可得到矩阵形式的动力学方程：

写成紧凑形式为

3 结果与讨论

本文的数值算例为一个空心圆截面（内外半径分别为Rout,Rin）的旋转叶片，叶片和内部流体的体积密度分别为ρp和ρf，则单位长度管道和流体的质量分别为后面的数值算例中，若无特殊说明，取具体的参数设置见表1.

表1 系统参数设置Table 1 System parameter values

为了使结果具有普遍性，按照文献引入无量纲参数：

首先，研究本文模型假设模态法的收敛性.图2 对比了选取不同试探函数数目下系统的Argand 图，其中各阶模态所对应的曲线上标记了无量纲流速数值.发现对于N1=N2=5，当流速较小时，流体给系统各阶模态引起了阻尼效应，当流速增加到2.40 时，第一阶模态轨迹穿越横轴，预示着管道将发生颤振失稳.当流速增加到9.90 时，第三阶模态轨迹穿越横轴.在该算例中，第二阶模态始终未发生失稳，与文献[24]中报道的两端固支输液管第二阶模态先失稳不同.对比发现，不同试探函数个数下，得到的系统Argand 图大致类似，只有临界流速存在数值差别.当试探函数个数取10 时，临界流速收敛.因此后面的数值算例中取N1=N2=10.

图2 不同试探函数个数下前三阶特征根轨迹曲线 (Tm* = 0，Ω* = 0)：(a) N1 = N2 = 5；(b) N1 = N2 = 8；(c) N1 = N2 = 10；(d) N1 = N2 = 12Fig.2 The trajectories of the 1st 3 eigenvalues for different trail function numbers (Tm* = 0, Ω* = 0): (a) N1 = N2 = 5; (b) N1 = N2 = 8;(c) N1 = N2 = 10; (d) N1 = N2 = 12

为了验证模型的正确性，特将本文计算结果与文献[33]报道的结果做一对比，具体如表2 所示.由表格数据可见本文模型具有较高的计算精度.

表2 系统第一阶无量纲固有频率本文计算值与文献对比(ρf = 0)Table 2 Comparison of the 1st natural frequencies obtained from the present study and the reference (ρf = 0)

图3 给出了三组不同转速下系统前三阶特征根轨迹曲线.发现随着转速增大，旋转输液管系统特征根轨迹向横轴正方向移动.实际上，旋转离心效应对结构存在刚化效应.当转速足够大(Ω*=8)，流速存在一个区间(7.90

图3 转速对特征根轨迹的影响 (Tm* = 0)：(a) Ω* = 4；(b) Ω* = 8；(c) Ω* = 12Fig.3 Effects of the rotating speed on the eigenvalue trajectories (Tm* = 0): (a) Ω* = 4; (b) Ω* = 8; (c) Ω* = 12

图4 和图5 分析了端部集中质量对系统动力学特性的影响.当端部集中质量足够大，系统第三阶模态在很高流速下也是稳定的，但第二阶模态开始出现颤振失稳(图4(b)、4(c)).临界流速随集中质量增大而增大.由图5 可见，旋转输液管的第一阶临界流速随转速增大而提高，且其变化率随端部质量增大而增大.实际上，由于旋转运动在输液管内部产生拉应力对结构存在“应力刚化”效应，使得结构的刚度变大，稳定性提高，内部流体流动使得结构颤振失稳更困难.而端部质量的出现进一步强化了“应力刚化”效应，因此曲线斜率随端部质量增大而增大.

图4 端部集中质量对特征根轨迹的影响 (Ω* = 4)：(a) Tm* = 0.2；(b) Tm* = 0.4；(c) Tm* = 0.6Fig.4 Effects of the tip mass on the eigenvalue trajectories (Ω* = 4): (a) Tm* = 0.2; (b) Tm* = 0.4; (c) Tm* = 0.6

图5 不同端部集中质量下临界流速随转速的变化规律 (Ω* = 4)Fig.5 Variations of the critical fluid velocity with the rotating speed for different tip masses (Ω* = 4)

为了揭示运动方程(11)中矩阵C和G对系统动力特性的影响规律，在图6 中绘制了四种情形下（包括同时考虑C，G矩阵，仅考虑C矩阵，仅考虑G矩阵和忽略C，G矩阵），系统第1 阶固有频率随流速的变化情况.通过对比不难发现，陀螺矩阵G对系统固有频率影响很小.事实上，对于该算例旋转输液管，其轴向尺寸是横向尺寸的40 倍，属于细长梁，因此旋转运动引起的轴向及横向运动间的耦合效应很微弱.此外对于该算例，当无量纲流速U*< 4 时，对称矩阵C对系统动力学特性影响不大.当无量纲流速U*超过4 时，考虑矩阵C影响的曲线跟忽略矩阵C影响的曲线发生明显分离.前者持续下降，且当流速约为7.12 时降为0，特征值变为纯虚数.而忽略矩阵C影响，当流速U*> 7 时，系统第1 阶固有频率迅速升高.由此证明了流体运动对旋转管道的动力学特性有显著影响.

图6 矩阵C 和G 对系统第一阶固有频率的影响 (Ω* = 4，Tm* = 0.2)Fig.6 The effects of matrices C and G on the system 1st natural frequency(Ω* = 4, Tm* = 0.2)

图7 绘制了系统前三阶无量纲固有频率随流速的变化曲线，同时为了探析旋转输液管模型发生内共振的可能性，图中画出了2ω1*，3ω1*，2ω2*随流速的变化曲线.图中出现了一些曲线间的交点，例如，当流速U*=3.72 时，3ω1*和ω2*相交，即3ω1*= ω2*，预示系统存在3∶1 内共振；当流速U*= 11.17 时，2ω1*和ω2*相交，即2ω1*= ω2*，预示系统存在2∶1 内共振.在该算例流速范围内（0～20）ω1*和ω2*未相交.此外系统第三阶固有频率轨迹同前两阶模态也存在多个交点.特别地，当流速U*= 10.22 时，曲线3ω1*，ω2*和ω3*交汇于同一点.预示该条件下系统前三阶模态存在复杂的能量交换机制.

图7 旋转输液管前三阶固有频率随流体流速的变化规律 (Ω* = 2，Tm* = 0.2)Fig.7 The variations of the 1st 3 natural frequencies of the rotating pipe (Ω* = 2, Tm* = 0.2)

4 结 论

本文采用Lagrange 原理建立了内部包含流体通道的旋转梁的动力学模型，应用假设模态法得到了经过离散的矩阵形式表达的系统运动方程，并确定了研究方法具有收敛性.研究发现，当流体速度超过一定数值时，旋转输液管将发生颤振失稳.本文还揭示了转速、端部质量对旋转管道系统临界流速的影响.此外，还发现在一些特定的参数组合下，可能会诱发系统低阶模态之间不同形式的内共振.