基于参数激励的两自由度耦合MEMS谐振式陀螺

吕路婧，李 崇，綦声波

（中国海洋大学 工程学院，山东 青岛 266100）

MEMS谐振式陀螺是一种测量旋转的惯性传感器，与传统陀螺仪相比，MEMS硅微陀螺仪具有体积小、重量轻、功耗低、可靠性高、成本低等众多优点，可以更加广泛地应用于消费电子、汽车电子以及国防科技等领域，因此在过去的几十年中引起了业界的广泛关注，但是也存在一些不容忽视的问题。

首先，振动陀螺仪利用谐振器的两个正交模态之间的科里奥利力耦合，以达到检测旋转速率的目的。检测模态要求最大限度地提高检测电极的信噪比。通常，是在驱动模态上施加频率与固有频率相同的强迫信号来产生振动的。然而在低旋转速率时，科里奥利力较小，检测模态的振幅比驱动模态小1～2 个数量级。为了提高信噪比，需要提高强迫信号的振幅以使单位力的响应幅度最大化。其次，电容驱动及检测方法被用于许多陀螺仪的设计，但由于寄生电容存在，驱动信号的电“馈通”到检测电极，污染检测信号，因此会限制陀螺仪的灵敏度。最后，过程和材料的变化不可避免地导致两个正交模态之间的频率失调，从而减少了能量的转移。此外，在调谐陀螺仪设计中，因为驱动信号和检测信号具有相同频率，对任何被污染的信号进行电子滤波都是比较困难的。振动式MEMS 陀螺系统存在的这些不足促使着研究人员寻找一种更好的激励方法。

自参数激励法首次在1886 年被Rayleigh Baron、Hill 等[1]提出后，引起了学界广泛的研究。直到最近十几年，国内外的研究学者才将参数激励应用于MEMS陀螺仪中。2005年至2010年，英国纽卡斯大学将参数激励应用于MEMS谐振式陀螺仪，并发表多篇论文[2–6]分析参数激励与外部强迫激励组合共振对驱动响应的增益效果；2011年，不列颠哥伦比亚大学[7]报道了MEMS陀螺仪中使用参数激励的放大和阻尼效应，验证了通过调节驱动力和参数激励之间的相位差，可以实现信号放大或不理想信号分量的衰减以及减少正交误差；2013 年，伊朗Ali Pakniyat和Hassan Salarieh两人研究了具有参数激励的固有频率匹配和失配的MEMS陀螺系统，数学模型为Duffing方程与Mathieu方程相结合的形式。结果表明，参数激励能够为频率失配模式下的MEMS陀螺仪提供较高的精度和鲁棒性[8]。2015 年，埃及梅努菲亚大学、沙特阿拉伯泰夫大学等[9]研究了具有线性和非线性参数激励的两自由度耦合的MEMS 陀螺仪振动的动力学、能量传递和控制。

根据以往的研究，对参数激励的MEMS 陀螺系统的分析大多基于只有一个自由度的主模态（驱动模态）的数学模型，或者有两个自由度但却只有参数激励而无外部强迫激励的情况。而同时具有参数激励与强迫激励的两自由度耦合的模型却鲜有提出。在设计参数激励方法时，应考虑模态耦合，因为有关的相互作用可能会大大改变机械器件的性能[10]。因此，本文研究在参数激励和外部强迫激励共同作用下两模态耦合的谐振式MEMS陀螺系统，给出系统的动力学模型并采用多尺度法进行摄动分析，最后在龙格-库塔法与牛顿迭代法进行数值求解的基础上进行实验仿真，分析耦合项对振动系统的影响，最后验证参数激励对振动响应的放大作用。

1 MEMS陀螺系统工作原理及模型

1.1 工作原理与理想情况模型

振动陀螺仪是基于图1所示的科里奥利力来工作的。进行直线运动的质点在旋转体中会因惯性而产生偏转，相对于旋转体，运动轨迹为曲线。可以认为有一个力存在，正是这个力使质点的运动轨迹发生了改变，这个假想力即为科里奥利力。

图1 科里奥利效应

谐振式MEMS 陀螺仪的理想模型如图2所示，其力学模型可以看作一个两自由度的弹簧-质量-阻尼系统。在此系统中，传感器的一个模态表现为受外部强迫激励（一般为正弦信号，如图2中的Fx）总是沿一个方向振动，称为驱动模态，如图2中的x轴；当传感器外部存在绕z轴旋转的角速率ΩZ时，另一个模态表现为产生的科里奥利力Fcy会在一个或多个方向上引起振动，称为检测模态，如图2中的y轴。通过检测振动的大小即可求出旋转角速率。

图2 振动式微陀螺理想模型

假设沿x轴方向为驱动模态，沿y轴方向为检测模态。理想情况下，由于内部结构的高度对称性，可认为两模态的质量m、阻尼系数c以及弹簧系数k均相同。此时系统的运动方程如下：

其中：‘*’表示无量纲前的实际值；m，k，c分别表示质量、刚度、阻尼系数；x*，y*为两个方向的位移；Fx为外部强迫力；Ω*Z为外部旋转角速率；2mΩ*Z为科里奥利力。

x轴的振荡主要由该方向上的静电力Fx提供。y轴方向的振动则主要由系统绕z轴的转动产生的科里奥利力2mΩ*Z引起。

1.2 含有参数激励的非理想情况模型

在实际情况中，由于材料和工艺等都是在微尺度上加工制造，所以旋转部件在运动过程中面临着许多问题。例如，由于设备中缺乏完美的对称性，可能产生非理想弹簧力；或者由于系统中结构阻尼等各种物理原因导致能量在悬梁之间传输而造成损失。所以陀螺系统的实际模型如图3所示，系统中两个模态的刚度和阻尼均不相同且存在交叉耦合。

图3 振动式微陀螺非理想模型

参数激励谐振器是指至少有一个物理参数(即质量、阻尼或刚度)在时间上周期性变化，导致振动系统达到谐振状态并且动态响应具有特殊的性质[11]。当参数输入是周期性变化的弹簧刚度时，运动可以由方程（2）描述：

其中：m，kx、ky，cx、cy分别为质量、刚度、阻尼系数；cxy、kxy分别为耦合阻尼系数与耦合刚度系数；x*·f*cosΩ*代表参数激励项；P*cosω*为外部强迫力；2mΩZ*为科里奥利力。

2 陀螺两自由度方程摄动法分析

2.1 方程无量纲化

经整理后得到陀螺系统无量纲方程式如下：

2.2 多尺度摄动法分析

由于多尺度摄动法对线性或非线性系统均适用，求解结果更为精确，尤其对阻尼系统的处理也更为方便，因此采用多尺度法对方程式（3）进行求解。引入小参数ε，设方程式（3）解的形式为：

其中：T0=t,T1=εt…，并且定义微分因子：

及参数尺度：

将式（4）、式（5）、式（6）代入方程式（3）并且使ε的同幂系数为零可得：

设方程（7）的解形式为：

其中：cc代表前一项的复数共轭，将式（9）代入式（8）中得：

将两个模态的振幅分别写为极坐标形式：A1 =，a、b、β均是关于尺度时间T1的函数。

根据共振的概念[12]，我们主要关注的是外部共振中的主共振和主参数共振以及1:1内部共振，因此可以将系统中各频率的关系用以下方式表达：（1）对于内部共振，应满足ω1≈ω2，引入失调参数σ后写成ω2=ω1+εσ；（2）对于主共振，发生在ω≈ω1，引入失调参数σ1后写成ω=ω1+εσ1；（3）对于主参数共振，令Ω=2ω，则参数激励频率可以写成Ω=2ω1+2εσ1。将以上频率代入方程式（10）、式（11），消除长期周期项，得到可解条件为：

σ1T1-β1=γ1,(σ1-σ)T1-β2=γ2

2σ1T1-2β1=2γ1,β1-β2-σT1=γ2-γ1

化简并分离实部虚部得：

由参数激励产生的能量输入系统中会引起响应振幅的增加，理论上是无限大的，但是系统中的阻尼会限制振幅的继续增加，稳态运动发生在能量输入的速率恰好等于耗散的速率。在这种情况下满足，此时得到方程式（17）至式（20）：

因此可以通过数值求解方程式（17）至式（20）得到参数激励和强迫振动共同作用下的频率响应曲线。

2.3 参数激励阈值

在实际情况下，参数激励振幅f的取值并不是无限增大的。f在某一范围，响应振幅是稳定震荡的，但若超出稳定的阈值则会使响应发散，从而进入不稳定区。因此需要对参数激励振幅的阈值进行分析。由方程式（17）至式（20）整理可得：

当外部旋转ΩZ=0 时，可以得到参数激励振幅的阈值为：

从式（22）可以看出，参数激励的阈值不仅与系统模态本身的阻尼c1、c2有关，而且与耦合阻尼c12及耦合刚度k12也有关。

3 数值仿真及结果分析

3.1 数值求解

参考典型的陀螺设计，本文进行验证所采用的陀螺参数如表1所示。仿真环境为Mathworks MATLAB R2017b。

表1 MEMS陀螺系统物理参数

采用四阶龙格-库塔法和牛顿迭代法分别对方程组（13）至式（16）、式（17）至式（20）进行数值求解，以研究各参数对驱动模态和检测模态的时域响应及频域响应的影响。

3.2 频率响应结果分析

通过牛顿迭代法求解方程式（17）至式（20）可以得到幅频响应曲线。方程中小参数选择为ε=0.01，初始无量纲耦合系数k12和c12分别取驱动模态本身的10%，即c12=0.1c1，k12=0.1k1。其他无量纲参数选择如下：外部强迫力振幅为p=0.015，令外部角速度输入ΩZ=0,模态间频率失谐参数为σ=0.5（由ω1=1，ω2=ω1+εσ，此时ω2=1.005）。

首先研究参数激励作用的影响，频率响应曲线如图4所示。

图4 参数激励影响下的幅频响应曲线

为了说明有参数激励与没有参数激励两种情况下的结果，设置了图4（a）与图4（b）两组数据。其中图4（a）是没有参数激励只有外部强迫力的情况，即无量纲振幅f=0，p=0.015，图4（b）为其他参数不变，加入参数激励力，使其振幅为f=0.01。从两幅图的对比可以看出，在模态间频率失匹配情况下，加入参数激励后会导致驱动模态与检测模态响应振幅的增大，并且在σ1=0 处（根据ω=ω1+εσ1，外部强迫力频率与驱动模态频率相同，即ω=ω1）产生主共振，响应最大；当σ1=0.5时，外部强迫力频率等于检测模态的频率，即ω=ω2，也会使检测模态在此处产生共振。

图4（c）考虑参数激励作用处于稳定区的情况，在图4（b）的基础上稍微将参数激励振幅增大至f=0.012。图4（b）与图4（c）对比说明，在参数激励振幅较小，处于稳定区时，激励的效果并不明显，响应振幅变化很小。

图4（d）和图4（e）则考虑逼近非稳定区的情况，仍然保持强迫振幅不变而将参激振幅分别取为f=0.02 和f=0.022。和处于稳定区的变化相对而言，图4（d）与图4（e）虽然激励振幅也变化了0.002，但随着参数激励振幅增大将要接近不稳定的阈值时，激励作用增强，响应振幅变化明显。

图5主要探究了低转速下两个正交模态之间的相互耦合作用对频率响应的影响，令外部旋转角速度为ΩZ=0.001。

图5（a）为既没有耦合项也没有参数激励项的情况，即f=0，c12=k12=0。由于此时接近理想情况，两个模态谐振频率几乎相等，所以模态频率失调参数设置为σ=0.1（即ω2=1.000 1），此外令强迫振幅p=0.015。从图中可以看出：在没有耦合项的情况下，共振产生的位置也与图4相同，即系统会在强迫频率等于驱动模态固有频率（即ω=ω1）处产生主共振，并且当强迫频率失调至等于检测模态频率时，也会使检测模态产生共振。但相比图4（a）可以发现，在没有耦合项时，驱动模态振幅增大，检测模态振幅减小。

为了说明耦合刚度产生的影响，在图5（b）中将耦合项系数设置为c12=0.1c1，k12=0.1k1，其他与图5（a）相同，而图5（c）则保持其他参数不变，只将耦合刚度增大至k12=0.2k1。可以发现，随着耦合刚度的增大会使强迫频率在驱动模态固有频率附近向左偏移时（图（b）在σ1=-0.02 处，图（c）在σ1=-0.06 处）产生共振，并且会在此时使驱动模态振幅不断减小，检测模态振幅不断增大；而其在检测模态固有频率

图5 耦合项影响下的幅频响应曲线

附近向右偏移同样的量时（图（b）在σ1=0.12处，图（c）在σ1=0.16 处）也产生共振，而且会使驱动模态和检测模态的振幅均增大。

为了探究耦合阻尼的影响，在图5（c）的基础上将耦合阻尼增大至c12=0.5c1，其他参数不变，如图5（d）所示。可以看出，耦合阻尼的增大，会使强迫频率在驱动模态固有频率附近时，两个模态的振幅均增强，而在检测模态固有频率附近时两个模态的振幅均减弱。

为了说明在耦合阻尼与耦合刚度同时存在的不理想情况下，加入参数激励后的作用，因此在图5（d）的基础上加入了参数激励项，见图5（e），振幅取值为f=0.01。图5（e）说明，参数激励会同时放大两个模态的响应振幅，但参数激励振幅的加入却不能调整由耦合刚度引起的共振频率偏移。

3.3 时域响应结果分析

通过数值求解方程式（13）至式（16），可以得到如图6所示的时域响应曲线，其结果与图4、图5的频率响应曲线吻合。

图6（a）为无耦合项的情况，且也没有参数激励，只有谐波强迫单独作用于陀螺驱动模态。此时，取σ=0.1，σ1=0，ΩZ=0.001，c12=k12=0，f=0，p=0.015。从图中可以看出，在模态间无耦合作用并且两个模态固有频率几乎完全相同（σ=0.1 时，ω2=1.000 1≈ω1=1）的理想情况下，陀螺系统在σ1=0处产生了主共振，并且两个模态的响应振幅相差两个数量级。

图6（b）保持其他参数不变只加入耦合项，其中耦合阻尼c12=0.1c1，耦合刚度k12=0.1k1。图6（c）在图6（b）的基础上，只改变了强迫频率失调参数，使其为σ1=-0.02。从图7（b）和图7（c）中可以看到，当两个模态间存在阻尼耦合与刚度耦合时，在σ1=0处只存在较小的振动，并没有产生共振，而在σ1=-0.02时产生了共振，并且由于耦合作用，造成驱动模态共振时振幅减小，检测模态振幅增大，导致两个模态数量级拉近。说明耦合项的加入会使主共振频率发生偏移以及会对响应振幅产生影响。

图6（d）补充说明了共振频率偏移与响应振幅变化到底是由何种耦合引起的。在图6（d）中单独增大耦合阻尼至c12=0.5c1，其他参数同图6（c）。图6（d）与图6（c）对比说明，共振频率的偏移是由耦合刚度引起，耦合阻尼的增大并没有引起共振频率偏移，只是会使共振振幅稍微增大，而耦合刚度是引起两个模态共振幅值差距缩小的主要原因。

图6 不同参数下的时域响应曲线

图6（e）与图6（f）则是考虑存在耦合因素的非理想情况下，在系统中加入参数激励作用后的效果，只是激励强度不同。图6（e）中f=0.002，图6（f）中f=0.01，其他参数同图6（d）。图6（d）、图6（e）、图6（f）对比可以看出，参数激励确实会放大响应振幅，并且在一定范围内呈非线性作用且效果明显。但只调节参激振幅并不能改变由耦合刚度引起的共振频率偏移。

图7是将图6中的稳态部分放大后看到的曲线，说明系统的稳态解是周期函数，MEMS 谐振器产生周期振动。

图7 稳态响应曲线

3.4 耦合项对参数激励振幅阈值的影响

给定参数ΩZ=0，σ=0.5，p=0.015，进行数值计算，找出使两个模态振幅开始趋于非线性放大时的参激振幅，研究耦合系数对参数激励振幅阈值的影响，结果如表2所示。

表2 耦合项系数变化对参数激励振幅阈值的影响

在表2中，1～5组数据为保持耦合阻尼不变，单独增大耦合刚度，此时会造成共振频率偏移，从而导致在不同的耦合刚度下共振频率各不相同，且耦合刚度对参激振幅阈值影响无规律可言，有时使其增大，有时使其减小，但总体来说对阈值的影响较小；而对于非共振点处（如σ1=0或σ1=0.1），耦合刚度增加会大幅提升参激振幅阈值。6～9组数据为保持耦合刚度不变，单独增大耦合阻尼，此时共振频率不会发生偏移，而且对于共振点和非共振点来说，耦合阻尼的增大对参激振幅的阈值影响均很小。10～12组数据为耦合刚度与耦合阻尼同时增大的情况，产生的作用依然会导致共振频率改变且会使非共振点处的参激振幅阈值大幅提升。

4 结语

本文主要研究了谐振式MEMS 陀螺系统，建立了参数激励与强迫力共同作用下的两自由度振动系统数学模型，并在模型中考虑了由于各种不利因素产生的耦合作用项。通过多尺度摄动法对系统进行分析推导，并采用牛顿迭代法与四阶龙格库塔法进行数值求解和仿真试验，验证了参数激励的放大作用，此外针对耦合项得出以下结论：

（1）耦合刚度的增大能够造成主共振频率向左偏移，即在强迫频率小于驱动模态固有频率的情况下产生共振，并且会使共振时驱动模态振幅减小，检测模态振幅增大。此时若忽视了耦合刚度的存在，仍以驱动模态固有频率强迫共振的话，检测到的振幅并不是共振下的情况，而且信号也会很弱和不准确；但如果采取优化控制器、反馈调频等措施，善加利用这种现象则会有利于提高信噪比和降低系统功耗。

（2）耦合阻尼的增大，会使强迫频率在驱动模态固有频率附近时，两个模态的振幅均增强，而在检测模态固有频率附近时两个模态的振幅均减弱。

（3）参数激励的阈值决定着稳态解的稳定性，而耦合刚度和耦合阻尼对参数激励的阈值均有影响，但耦合刚度的影响更明显一些。

综上所述，耦合刚度与耦合阻尼存在于系统中，会导致模态间能量的传递。对于含有耦合项的参数激励与强迫激励共同作用下的两自由度陀螺系统，其动力学特性是比较复杂的。为了更全面地进行分析，建议下一步首先建立更加完善的数学模型，如在现有模型的基础上发展非线性耦合或者检测模态的参数激励，并且采用除了多尺度分析法、数值求解法之外的新方法分析系统，从而更好地分析系统的动力学特性；其次，在MEMS陀螺的设计过程中，除了在工艺上考虑材料选择、机械加工、电路设计等因素外，由于温度和压力会改变稳定-不稳定边界的位置，导致放大效果显著降低，因此还应该采取措施消除环境扰动，如优化闭环控制回路，以提高参数放大的稳定性和放大效果。