论回归性教学策略

钟志华 李善良

摘  要：回归是一种十分重要的教学策略，是探明“学习者已经知道了什么”的最有效途径. 从理论上对回归的本质、目的、类型及基本途径等方面进行系统探讨.

关键词：回归;教学策略;认知起点

一、什么是回归

回归，《汉语大辞典（三）》给出的解释是“回还，返回”. 而在西方，回归最早来自拉丁文recurrere（跑回来），它由再次發生（recur）的词义而来. 美国著名教育学家布鲁纳认为，如果没有回归性，任何关于思想的理论都是无用的. 一门课程在它的教学进展中，应反复地回到这些基本观念，以这些观念为基础，直到学生掌握了与这些观念相适应的完全形式的体系为止. 杜威则认为，每一个终点就是一个新的起点，每一个起点来自前一个终点. 从联系的观点来看，回归，是一个寻找并识别新知识的认知起点并从中生成新知识的过程. 具体来说，它是把一个新知识或新问题放到学习者的已有知识结构之中，利用已有知识来给予表征、解释，或让新知识、新方法从认知起点生长出来的过程.

二、为什么要回归

1. 回归可以激发学生的学习兴趣

长期以来，很多人对数学存在偏见，认为数学枯燥、难学. 这种错误的数学观对数学教学非常有害，它像腐蚀剂一样不断销蚀着学生学习数学的积极性和自信心. 数学课程标准指出，数学课堂教学的首要任务就是充分激发学生的学习兴趣. 孔子认为，好学者不如乐学者. 因此，只有采取各种行之有效的方法让抽象、枯燥的数学变得生动、有趣，学生才能好学、乐学. 而要激发学生的数学学习兴趣，关键在于教师要将抽象的数学知识回归具体，让学生看得见、听得到、摸得着，能让学生在“做数学”的过程中充分激起探究兴趣、激发数学思考、积累数学活动经验. 只有这样，学生的抽象才不会成为无源之水、无本之木.

例如，在讲授苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（以下统称“教材”）“对数的概念”这一节课时，教师将教材上的问题“某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，若该物质最初的质量是1，则经过[x]年该物质的剩留量为[y=0.84x]，若知道该物质的剩留量[y，]求所经历的时间”改编成了“某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，若该物质最初的质量是1，同学们能提出什么问题？”这样一个更具开放性的问题. 由于它为学生准确揭示了指数运算、幂运算及对数运算这三个概念的共同认知起点——如何从[ab=N]中知二求一？从而产生一石激起千层浪的效果，它不仅让学生更深刻地认识到指数运算、幂运算及对数运算之间的区别与联系，还为学生准确找到新知识产生的认知起点，让学生在教师精心预设的教学情境中激发出主动发现问题、提出问题的强烈欲望，收到举一反三之功效.

2. 回归可以更好地进行数学抽象

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，抽象性是数学的本质特征之一，数学在本质上研究的是抽象的东西，数学发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象. 但是，数学的抽象性不是凭空产生的，它需要借助一定的直观才能达到. 数学的发展过程充分表明，数学知识的产生与发展是一个不断从具体到抽象循环往复、不断上升的过程. 而对数学知识的理解则需要从抽象回归具体，要以具体作为理解的基础，作为新知识、新思路、新方法的生长点. 这正如波利亚所言，抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见、摸得着，即在理解抽象的数学知识时，要通过回归这一策略来实现从具体到抽象的升华. 我国著名数学家李大潜院士特别指出，在数学教学中，要让抽象成为一种意识，让探究成为一种习惯，让回归成为一种理念. 这不仅指明了数学学习的目标——抽象，而且进一步指明了达到这一目标的途径与方法——探究和回归. 因此，在数学教学中，教师不仅要善于充分利用图形所具有的几何直观，将复杂的数学对象简明化，而且要善于恰当地构造数学问题的现实情境，将抽象的数学关系具体化，还要善于通过直观调动学生的直觉思维以获得数学猜想，通过数形结合方法实现抽象与具体之间的转变.

例如，在讲授教材上的“导数在研究函数中的应用——单调性”这一内容时，教师播放“夜间汽车在山坡上行驶”的动画，并提问学生：如何根据汽车的灯光来判定汽车究竟是在上坡还是下坡？这种生活化问题情境，瞬时激起了学生强烈的探究欲望，为学生深入理解运用导数研究函数的单调性奠定了良好的生活基础，让学生通过将山坡抽象为一条曲线，将汽车抽象为曲线上的动点，将汽车的灯光抽象为过曲线上动点的切线而很快地发现了导数与函数单调性之间的联系.

3. 回归可以为新知识找到生长点

众所周知，高度的抽象性一直被认为是数学的重要特点，但现在已经逐渐演变为数学难学的代名词. 数学固然抽象，但再抽象的数学结论总能找到相对直观的表征和解释. 学生之所以觉得数学抽象，最关键的是教师没有为学生找到新知识赖以产生的源头，这样，新知识就很难从已有知识的基础上自然而然地生长出来，于是很多教师只能把知识从外部硬塞到学生头脑中. 由于新知识缺乏理解基础，学生自然会觉得新知识抽象.

例如，在教学教材上的“直线与平面平行的判定定理”这一内容时，很多教师只会告诉学生如果平面外的一条直线与该平面内的一条直线平行，那么这条直线就与该平面平行，但不会给学生解释为什么要在平面内找这样的平行线. 由于不能真正理解知识的发生、发展过程，导致学生只能死记硬背知识点. 事实上，如果从回归的观点来看，线面平行的认知基础是线线平行，注意到这一点，就比较容易理解为什么要在平面内找已知直线的平行线. 因为，两条直线平行的实质是将一条直线平移以后能与另外一条直线重合，类比到直线与平面的平行，就是将直线适当平移以后一定能够落在该平面内，换种说法就是在平面内存在一条直线与已知直线平行.

像这样，在教学时如果能让学生充分回归到新知识产生的认知起点，并让新知识在教师的循循善诱下从认知起点自然而然地生长出来，那么学生就不会觉得数学学习困难，也不会觉得数学学习枯燥无味. 杜威指出，有时思想的纷繁相续，常常会使思考者离开出发点十分遥远，以致不能回溯到出发点，但细究起来，总是有一个直接经验的情境在背后，是你所施的、所受的、所享的、所忍的，而决不单是所想的. 思维即为此情境而起. 这里的情境就是知识的生长点，让思维回归到知识的生长点，不仅可以使这一知识更好地固定在已经熟悉的知识点上，加强与已有知识之间的内在联系，缩短与已有知识点之间的联系路径，减少信息提取的时间，有助于知识更好地被保持，还可以丰富由知识生长点所构成的概念网络，建立更为丰富的意义家族相似网络，从而达到深化理解之目的. 它可以避免由于思维序列过长或思维层次比较复杂而导致的思维困难. 问渠那得清如许？为有源头活水来. 总之，只有真正找准学生的思维之源，才能充分激发学生的思维、激活学生的思路，才能在教师的精心启发下，让学生迸发出无穷的创造力.

4. 回归可以促进知识的深度理解

众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处. 学习数学的人常有这样的体会，有时候遇到一个难题苦思冥想总是不得要领，但当我们跳出这个问题回归到这个问题产生的源头时却会豁然开朗. 之所以会出现这样的现象，是因为：一方面，问题的源头尽管比较简单，但却蕴含了理解新知识的钥匙和解決复杂问题所需要的基本思想方法;另一方面，问题的源头可以让解题者去除遮蔽、返璞归真，真正把握问题的本质，促进深度理解. 斯莱尔马赫认为，只有返回到思想产生的根源，这些思想才可能得到真正的理解. 人工智能理论认为，深度学习是通过组合低层特征形成更加抽象的高层特征的过程. 这说明，要深度理解抽象的数学知识必须先回归到这些知识产生的源头.

例如，很多高中生在刚学习函数的对应定义时经常有这样的困惑：既然初中已经学过函数，为什么高中还要再学？初、高中函数定义之间到底存在什么区别与联系？如果学生不能真正弄清这些问题，那么他们不仅很难真正理解高中函数概念的本质，而且还常常会混淆初、高中函数定义. 而解决这一问题的有效策略是采用HPM教学法，让学生充分回归函数概念的起源与发展历史，让学生认识到初中函数定义存在不完善之处，如变量的变化范围不明确、缺乏严格的数学符号语言等，而高中函数定义正是为了解决初中函数定义的不完善之处而引入的，并在此基础上进一步认识到初中函数定义与高中函数定义之间的区别与联系（见下表），避免初中函数定义对高中函数定义的负迁移，从而让学生真正认识到高中函数定义由于建立在集合理论基础上而变得严格这一数学本质.

5. 回归也是一种重要的解题策略

众所周知，解决问题时既可以从已知出发向目标前进，也可以反其道而行之，从要达到的目标出发，思考达到目标应具备什么条件，已知条件是否支持这些条件？这种思想方法在数学解题中的应用十分普遍，我们在数学解题中常用的分析法、倒推法、以退为进法、特殊化法等本质上就是一种回归方法. 著名数学家华罗庚曾经指出，要善于退，足够地退，退到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍. 又说，先足够地退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后由此向前推进. 这充分说明回归思想在数学解题中的重要性.

例如，在解决“已知正数[a，b，c]满足[5c-3a≤][b≤4c-a]，[clnb≥a+clnc]，则[ba]的取值范围      ”（2012年江苏卷理科第14题）这道题时，如果采用回归方法，通过作变量代换[bc=x]，[ac=y]，将已知条件中的字母[c]消去，并将原问题转化为“已知[x，y]均为正数，且满足[5-3y≤][x≤4-y]，[lnx≥y]，求[xy]的取值范围”这样一个常规问题，则不仅可以促进学生深刻把握问题本质，而且可以帮助学生迅速找到解决问题的思路与方法.

三、回归的常见类型

1. 回归定义

这是一些有经验的教师经常采用的一种教学策略，这种策略运用得恰到好处可以产生柳暗花明之效果. 美国著名数学家、数学教育学家波利亚在总结“回到定义”这一数学经验时说道，回到定义去是一项重要的思维活动. 如果我们想明白为什么用文字表达的定义是如此重要，我们就应该先认识到文字是很重要的. 要是不使用文字、标记或某种符号，我们就几乎不能应用我们的思维. 通过回到定义去，数学家寻求掌握隐藏在专业术语背后的数学对象间的真正联系. 尽管许多教师平时也经常使用这一教学策略，但可能仅仅停留于经验层面，然而如果能够真正认识到这一策略的本质却可以更加自觉、更加理性地运用它. 因为“回到定义”可以让解题者回到知识的生长点，可以从知识的生长点去更深刻地理解问题的本质并找到解决问题的思路与方法. 回归定义既是一种最基本的办法，也是一种没有办法时的办法. 如果在解题时，实在没有其他办法可用了，那么尝试一下回归定义，也许可以豁然开朗.

例如，（1）如图1，分别以[△ABC]的边[AB，AC]为边向外作正方形[ABDE]和正方形[ACFG]，连接[EG]，试判断[△ABC]与[△AEG]之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图2，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成. 已知中间的所有正方形的面积之和是[a]平方米，内圈的所有三角形的面积之和是[b]平方米，这条小路一共占地多少平方米？

对于刚学习全等三角形证明的学生来说，第（1）小题的困难是可想而知的，因为它不仅需要学生从直观上猜想[S△ABC=S△AEG]，而且还需要采用非常规的方法证明这两个三角形面积相等. 许多学生尽管能够猜想出[S△ABC=S△AEG]，但却不知道如何去证明这一结论. 这时，回归定义的“威力”就显现出来了，因为要证明这两个三角形面积相等，首先需要将这两个三角形的面积表示出来，而要表示就需要用到三角形面积的定义. 当然，在运用定义的过程中需要具有一定的灵活性，许多学生一开始会受图形条件的干扰去作线段[BC]和[EG]的高，但最后却无功而返，因为既无法证明[BC=EG]，也无法证明其边上的高相等. 这就需要结合具体图形灵活运用回归定义方法. 事实上，只要注意到[△ABC]与[△AEG]有一条边相等（[AC=AG]），就容易想到分别作[AC，AG]边上的高[BQ，EP]，然后再证明[BQ=EP]，如图3所示.

至于第（2）小题的求解，可以通过回归第（1）小题而获得解决.

需要注意的是，在数学教学中，许多学生常常会因为枯燥无味、考试不考而忽视定义的价值. 其实，在思路的探求、方法的产生及问题的转化等方面，定义有着其他方法无法取代的作用. 因此，在实际教学中，教师要牢牢抓住定义并引导学生及时回归定义，这样既能帮助学生巩固所学，又能充分激发学生的思维，促进数学问题的顺利解决.

2. 回归原型

心理学认为，原型（Prototype）不是某一个特定对象的内部复本，而是一类客体的内部表征，它反映一类客体具有的基本特征，原型的最大特点是它能较其他样例更容易发现这类模式的本质特征. 事实上，无论一个问题多么复杂，它都是简单问题通过多次变式以后得到的，我们总可以从中找到构成复杂问题的基本要素——原型. 数学的基础知识、基本技能、基本活动经验及基本思想方法中有很多都可以作为解决复杂问题的原型，如勾股定理是余弦定理、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等诸多数学公式的原型;抛硬币、掷骰子的经验是理解许多概率问题的基础——活动经验原型;化归方法、数形结合思想方法是解决许多数学问题的方法原型. 因此，在数学学习中，我们应该善于识别复杂问题中的原型，并及时将复杂问题转化为基本问题——原型，然后再从基本问题（原型）中找到解决复杂问题的思路与方法.

例如，对于题目“在[△ABC]中，已知[∠ACB=90°]，[AC=2，BC=23，E，F]是边[AB]上异于[A，B]的两点，[EF=1]，如图4所示. 求[CE · CF]的范围”，如果采用常规方法（建立平面直角坐标系）求解，费时费力. 但是如果解题者知道极化恒等式[a · b=14a+b2-a-b2]这一原型，那么求解就变得非常容易. 事实上，令[M]为[EF]的中点，则有[CE · CF=14CE+CF2-CE-CF2=][142CM2-EF2=CM2-14]. 这样，只需要求出[CM2]的取值范围即可.

极化恒等式不仅在解决很多数学问题时非常有效，而且在数学发展史上也有重要地位. 在对数产生以前，人们为了解决生产实际中出现的大量计算问题，常常利用极化恒等式将两个大数的乘积先表示为这两个数的平方和与这两个数的平方差之差的四分之一，然后再通过查平方表进行计算. 在近几年的高考试题中，也经常会见到极化恒等式的影子.

例如，对于下面两道高考试题，如果采用极化恒等式解题就非常简便.

（2010年福建卷文科第11题）若点[O]和点[F]分别为椭圆[x24+y23=1]的中心和左焦点，点[P]为椭圆上的任意一点，则[OP · FP]的最大值为（    ）.

（A）2    （B）3     （C）6     （D）8

（2017年全国Ⅱ卷理科第12题）已知[△ABC]是边长为2的等边三角形，[P]为平面[ABC]内一点，则[PA · PB+PC]的最小值是（    ）.

（A）-2   （B）[-32]   （C）[-43]   （D）-1

3. 回到核心观点和核心概念

约翰·D.布兰思福特和安·L.布朗等人在研究中发现，专家的知识不仅仅是对相关领域的事实和公式的简单罗列，相反它是围绕核心概念或“大观点”（big idea）来组织的，这些概念和观点引导他们去思考自己的领域. 根据这一研究，他提出教学要围绕“大概念”或“大观点”来联系和组织……有效的学习要求教师必须了解他们所教学科的结构（贯穿于其中的思想），并以此作为认知路标来指导学生的作业，来评价学生的进步. 这一研究结果与上面所提到的回归性策略不谋而合，回归的目的是回到知识产生的生长点，并从此出发产生和发现新的知识. 而核心概念和“大观点”正是新知识得以产生的重要生长点，回归到核心概念或“大观点”是为了更好地促进知识的发生和生长.

下面以“一元微积分”的教学为例来具体说明如何围绕核心概念或“大观点”来建构数学知识体系，如图5所示.

①→②，极限概念起源于函数概念，它研究的是函数的自变量在一个无限变化过程中因变量变化的趋势，属于函数性质方面的内容.

②→①，从极限返回研究函数. 一方面，可以借助极限定义的概念——连续来对函数进行重新分类，即把函数分成连续函数与非连续函数;另一方面，可以利用极限更加深入地研究函数的图象与性质，如通过研究函数图象的渐近线可以更好地了解函数图象无限伸展的趋势.

②→③④，既是极限概念的进一步深化与应用，也是函数性质的进一步拓广.

③→①，利用导数返回研究函数. 这不仅可以更好地了解函数的本质，如可以利用导数求函数的极值点、拐点、渐近线，求曲线的切线和法线等，而且可以更好地了解函数图象的性态，如可导函数在作图时只要用平滑的曲线把有限个点连接起来就可以基本反映图象的大体形状.

③→②，利用导数可以研究函数的极限，如利用洛必达法则求不定式极限，利用泰勒公式求极限等，这让极限计算如虎添翼.

③→④，主要解决如何求一个函数原函数的问题，它是导数运算的逆运算.

④→①，利用积分返回研究函数，可以进一步深化对函数本质的认识，如可以求封闭曲线所围图形的面积、可以讨论函数的可积性等，而变上限函数的出现则进一步开阔了我们对函数的认识.

④→②，由定积分可以研究函数的极限，如用定积分定义求数列极限等.

④→③，不仅可以更好地认识导数与积分之间的关系，而且利用导数可以更好地解决定积分的计算问题. 利用变上限函数的导数推得的牛顿-莱布尼兹公式不仅把定积分与不定积分有机聯系起来，而且简化了定积分的计算.

由图5可以看出，一方面，一元函数微积分学的7个基本概念——函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分（函数概念除外）都可以从函数这一核心概念生成，如导数是函数增量比极限，定积分是函数积分和极限等;另一方面，通过回归式教学又可以对函数进行分类，可以研究函数的连续性、单调性、最值、极值等各种性质，从而促进对函数的深度理解. 这样，上面的7个基本概念（函数概念除外）都可以统一在函数这一核心概念之下，一元微积分学最终归结为利用极限研究一元函数的学问.

4. 回归生活

数学来自生活，生活中处处包含着数学. 著名教育家陶行知先生曾说过，生活教育是给生活以教育，用生活来教育，为生活的向上、向前的需要而教育. 数学存在于我们生活的方方面面，在平时，教师应处处留心生活情境，观察生活事实，挖掘潜藏在生活现象背后的数学知识，并将其带入数学课堂.

生活点滴不仅是学生学习的助力点，也是教师创设生活情境的借力点. 随着课程改革的逐步实施，“满堂灌”在数学课堂中日渐式微，现在的数学课堂更强调学生的自主探索，而这需要教师创设具有丰富生活背景的数学情境来引发学生发现、提出问题，进而分析与解决问题. 因此，教师应注重观察生活点滴、积累生活经验，在数学教学中以生活原型为背景，让学生充分回归生活，在生活中“找”数学，“想”数学. 例如，有的教师在讲授“确定圆的条件”这一内容时就针对学生画圆不完整这一普遍现象创设了这样一种教学情境：教师在黑板上画圆时由于不小心手抖了一下，圆心找不到了，怎样才能把剩下的部分画完？然后自然而然想到在已有的圆弧上取一点、两点直至三点才能确定圆心. 学生十分熟悉这一情境，不仅容易引起学生的共鸣，而且能充分激发学生的探究欲望.

四、回归的基本途径

1. 善于进行新、旧联想

回归，是一个寻找并识别新知识的认知起点的过程. 因此，进行回归时要先努力寻求所学的新知识或面临的新问题与学习者头脑中已有知识之间的联系，然后思考是否可以利用已有知识来表征或解释这些新知识或新问题. 在这方面，波利亚曾经提出了许多好的策略，他指出，遇到一个新问题时，首先要思考：这是什么类型的问题？你以前见过它吗？它与某个已知的问题有关吗？它像某个已知问题吗？你见过同样的题目以一种不同的形式出现吗？你见过一个类似的问题吗？你见过一个条件类似、结论类似、图形类似或方法類似的问题吗？你见过一个更特殊的问题吗？你见过一个更一般的问题吗？例如，在教学“简单的线性规划”这一新知识时，教师就可以将其与“二元一次不等式（组）与平面区域”“一元函数的最值问题”“特殊二元函数的最值问题”“向量的数量积”等诸多知识建立联系.

2. 准确识别认知起点

奥苏贝尔在其名著《教育心理学——认知观点》的扉页上这样写道：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么. 要探明这一点，并应据此进行教学.”这说明，只有准确地把握认知起点，才能为新知识的学习找到生长点和固着点，才能更好地认识新知识的本质，新知识才能学得深、记得牢.

例如，在解决“求[z=2x+3y]的最大值，使[x，y]满足约束条件[x+2y≤8，x≤4，y≤3，x≥0，y≥0]”这一问题时，如果将“一元函数的最值问题”或“特殊二元函数的最值问题”作为认知起点，就不仅可以使学生更加深刻地认识到该问题是“求二元函数最值问题”这一实质，而且可以从学生熟悉的知识入手，通过类比自然而然找到解决问题的方法.

3. 巧用启发理解新知

回归不是目的，而是为了更好地前进. 找到了新知识的认知起点和新、旧知识之间的联系仅完成了回归的第一步，只有把认知起点作为新知识的生长点或新思想的生发点，并灵活运用各种启发策略让学生从这些认知起点出发生成新知识、新思想、新方法，才算真正达到了回归的目的.

例如，在解决问题时，教师可以这样启发学生：我们以前有没有遇到过这类问题？如果学生回答“没有”，教师就可以进一步启发学生：我们以前有没有遇到过类似问题？提出这一问题的目的是引导学生回忆过去所学过的特殊二元函数的最值问题（如“已知函数[x，y]满足等式[x-22+y2=3]，求[yx]的最大值”等），如果学生能够回忆起以前所学过的特殊二元函数的最值问题，教师就可以进一步追问学生：我们当时是怎么解决这一问题的？其中的数学思想方法是什么？提出这两个问题的目的：一是让学生认识到解决这一问题的关键是找到目标函数[yx]的几何意义，并把它转化为一元函数的最值问题;二是为即将解决的线性规划问题找到类比对象和新方法的生长点. 当学生把这些问题弄清楚以后，教师可以顺势提问学生：这与我们现在要求的问题有什么关系？你能从中获得什么启发？提出这两个问题的目的：一方面，要让学生认识到这两类问题之间具有特殊与一般的关系，并启发学生类比旧问题解决新问题;另一方面，希望将学生的思维导向求二元函数最值问题的关键——找出目标函数的几何意义，并将二元函数最值问题转化为一元函数最值问题. 如果学生能认识到这一点，教师就可以很自然地提出“你能说出表达式[2x+3y]的几何意义吗？”“看到[2x+3y]，你能联想到什么？”等问题，通过这样的启发让学生自然地将[2x+3y]与两个向量[x，y]，[2，3]的数量积联系起来，进而认识到表达式[2x+3y]的几何意义就是动向量[x，y]在定向量[2，3]上的投影与定向量[2，3]的长度的乘积，从而将求目标函数[z=2x+3y]这一二元函数的最值问题成功转化为求动向量[x，y]在定向量[2，3]上的投影这一一元函数的最值问题.

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