怎样用数形结合思想和整体代换思想解答解三角形问题

刘兵

解三角形问题通常要求根据已知的三角形边角关系、图形，求三角形的角的大小、边长、周长、面积、中线的长、高线的长等.此类问题看似较为简单，但解题过程中的运算量较大，极易出现运算错误.经研究，笔者发现在解题时，巧妙运用数形结合思想和整体代换思想，可有效规避运算错误.

一、借助数形结合思想

若遇到一些与三角形边角关系有关的问题，可根据题意画出相应的图形，并添加适当的辅助線，将“数”“形”结合起来，利用几何图形的位置关系和性质来分析问题，就能快速求得问题的答案.

解答本题主要运用了数形结合思想.先根据图形以及△ABD的三边比例，利用余弦定理建立关系式，求出∠BDA；然后根据补角关系求出∠BDC；再在△BDC中，利用正弦定理求出sinC的值.

二、运用整体代换思想

整体代换思想是指根据所求式子的结构特征，将某些含有未知量的式子当作一个整体，进行代换，从而求得问题的答案.整体代换思想常用于解答解三角形问题中的运算问题.在解题时，需建立已知条件与所求目标式之间的联系，选择合适的式子或其中一部分进行等量代换，从而简化运算.

例3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，求△ABC的面积.

解：因为bsinC+csinB=4asinBsinC，

所以由正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB= 4sinAsinBsinC .

解答本题，需灵活运用正弦定理和余弦定理求得bc的值，然后将其看作一个整体，代入三角形的面积公式中，利用整体代换思想求得△ABC的面积.

总之，在解答解三角形问题时，灵活运用数形结合思想、整体代换思想，能有效地简化运算，提升解题的效率.同学们在解题的过程中，要学会根据题目的特点、已知的三角形边角关系和图形来选用合适的方法求解.

（作者单位：江苏省如东县马塘中学）