机电产品不完全数据可靠性评估方法

傅惠民， 付越帅， 李子昂

（北京航空航天大学小样本技术研究中心， 北京 100191）

0 引言

在机电产品寿命试验、生物试验、外场调查等工程实际中，由于受试验条件限制和一些无法预料的因素影响，试验中经常出现中止数据，从而形成不完全数据，其中随机截尾的不完全数据一直是工程上统计分析的难题。目前， 主要采用极大似然方法对不完全数据进行统计分析[1]，但是无法进行高置信度的可靠性评估和寿命预测。对此，文献[2]建立了不完全数据的秩分布，给出平均秩和百分位秩公式， 解决了百分位值和百分率的置信区间估计问题，在此基础上，文献[3]提出一种不完全数据最佳线性无偏估计方法，文献[4]给出一种区间统计量及其分布，用于区间删失数据的统计分析，文献[5]建立一种不完全数据可靠性评估和寿命预测方法。 本文进一步从理论上推导出指数分布不完全数据的可靠度和可靠寿命单侧置信下限公式，并在形状参数或其下限已知的情况下，建立了两参数Weibull 分布的可靠度和可靠寿命单侧置信下限公式， 从而可以根据随机截尾不完全数据对机电产品进行高精度小样本可靠性评估。

1 指数分布不完全数据可靠性评估方法

设产品寿命t 服从平均寿命为θ 的指数分布，对应的概率密度函数f（t，θ）和可靠度函数R（t，θ）分别为

上述是基于式（7）和式（8）进行证明的，如果基于式（7）和式（9）进行证明，则证明过程中的置信度均需改为置信水平。 也就是说，无论基于式（8）还是式（9），下式均成立

此时，式（23）只与产品由r 个失效数据t1，t2，…，tr和n-r个未失效数据tr+1，tr+2，…，tn组成的不完全寿命数据有关，而与原先选取的试验至t0时刻的产品试样数据无关。 由此可知，式（3）成立，且满足式（4）。

根据式（23）和置信限曲线的等同性可知，当给定时间t 时，根据产品由r 个失效数据t1，t2，…，tr和n-r 个未失效数据tr+1，tr+2，…，tn组成的不完全寿命数据，可以求得该产品置信水平为γ 的可靠度R（t）单侧置信下限RL，γ由式（5）给出，且满足式（6）。 至此，式（3）和式（5）证毕！

上面的证明过程巧妙之处在于： 首先通过引入一个试验至t0时刻的产品试样， 得到客观真实的而不是人为主观的先验分布式（7）～式（9），然后再令t0→0，移除其在后验分布中的影响，得到只与r 个失效数据t1，t2，…，tr和n-r 个未失效数据tr+1，tr+2，…，tn组成的不完全数据有关的可靠寿命单侧置信下限式（23），即式（3）。

定时截尾和定数截尾数据是不完全数据的两种特殊情况。 与它们的计算公式相比，对于定时截尾情况是相同的：定时截尾可靠寿命单侧置信下限公式与式（3）完全相同，可靠度单侧置信下限公式与式（5）完全相同，并且均满足置信水平γ 的要求。 对于定数截尾情况略有差别：定数截尾可靠寿命和可靠度单侧置信下限公式即为将式（3）和式（5）中的χ2γ（2r+2）替换为χ2γ（2r）后的表达式，其给出的是置信度， 而本文给出的是置信水平， 略偏于保守，但是两种公式均成立。

2 Weibull 分布不完全数据可靠性评估方法

对于机电产品寿命t 服从两参数Weibull 分布的情况，工程实际中形状参数α 或其下限α0通常可通过以往试验数据等获得， 例如波音公司统计得到： 铝合金结构α0＝4；钛合金结构α0＝3；钢结构α0＝2.2。 因此，下面给出形状参数α 或其下限α0已知情况的Weibull 分布不完全数据可靠性评估方法。

2.1 形状参数已知时的可靠性评估方法

设产品的一组随机截尾的不完全寿命数据，其中有r个失效数据t1，t2，…，tr和n-r 个未失效数据tr+1，tr+2，…，tn，则可以证明，该产品置信水平为γ、可靠度为R 的可靠寿命单侧置信下限为

式（24）和式（26）证毕！

2.2 形状参数下限已知时的可靠性评估方法

对于形状参数α 未知但其下限α0已知的情况，可以证明，当给定的可靠度R 满足

对比式（24）和式（39），可知式（34）给出的tRL，γ的置信水平仍为γ。 进一步还可证明，式（38）不等式右边部分为形状参数α 的单调减函数，所以当式（33）成立时，式（38）和式（39）也必然成立，从而式（34）成立。 证毕！

同样方法，可以证明式（36）成立（略）。

3 算例

已知某零部件的疲劳寿命N 服从两参数Weibull 分布，且形状参数α=3.8。 表1 列出了该零部件的一组不完全寿命数据，其中总试样数n=6，失效数r=1，下面采用本文方法对该零部件进行可靠性评估。

表1 某零部件不完全寿命数据

根据式（24），可求得该零部件置信水平γ=0.95、可靠度R=0.999 的可靠寿命单侧置信下限NRL，γ为

4 结论

采用可靠性更新方法， 从理论上推导出指数分布不完全数据的可靠度和可靠寿命单侧置信下限公式， 并在形状参数或其下限已知的情况下，给出了两参数Weibull分布的可靠度和可靠寿命单侧置信下限公式， 从而建立一种机电产品不完全数据可靠性评估方法， 可以根据随机截尾不完全数据对机电产品进行高精度小样本可靠性评估。