基于改进Chord法的电力系统连续潮流计算新方法

王 妍，高 山

基于改进Chord法的电力系统连续潮流计算新方法

王 妍1,2，高 山1,2

(1.东南大学电气工程学院，江苏 南京 210096；2.江苏省智能电网技术与装备重点实验室，江苏 南京 210096)

连续潮流计算是电力系统研究静态电压稳定和传输能力应用的重要工具，但临界点处的奇异性制约了连续潮流计算的应用和发展。因此，解决好临界点病态问题是更好应用连续潮流的关键。应用改进Chord法处理连续潮流问题中临界点处的计算，能够快速计算该点处的解，收敛速度快，达到二阶收敛。不用扩展原雅可比矩阵，因此不需要担心原系统中的非奇异点变为系统扩展雅可比矩阵的奇异点问题，使计算过程更为简单。应用线性化方法预测连续潮流计算方向，整个计算过程简洁方便。在计算及分析中与扩展潮流计算方法进行比较，体现了所提Chord法简洁、高效的优点。不同工况下，IEEE39和IEEE57节点系统仿真算例结果表明，所提模型和方法能够快速有效地计算连续潮流和临界点处的奇异解，有着很好的精确性和鲁棒性。

电力系统；连续潮流；改进Chord法；奇异点；稳定性

0 引言

电力工业的改革使得现代电力系统稳定运行极限越来越小，尤其近年来大力发展的可再生能源并网，其不确定性和间歇性给电力系统的稳定运行带来较大压力，而潮流、连续潮流、最优潮流计算无论对电力系统稳定性分析[1-6]，还是电力系统的规划运行都是非常重要的工具。其中连续潮流技术从20世纪90年代被提出到现在，已发展为一种成熟的静态稳定分析工具[7-11]，但是如何更为便捷准确、高效地求解连续潮流问题仍然是学界关注的焦点，尤其是需要更好地解决临界点处雅可比矩阵的病态问题。很多计算方法应用在电力系统的多种问题计算中[12-18]，其中连续潮流是电力系统最为重要的计算问题之一，其研究的时间较长，提出连续潮流的求解方法也有很多，归纳起来一般有两种：一是间接法；二是直接法。目前电力系统连续潮流的计算中大多采用的是间接法[19-22]，计算主要涉及两方面的问题：(1) 负荷参数方向的预测及确定；(2) 临界点(或称为“鼻点”)处的计算。其中计算的难点主要体现在临界点(或称为“鼻点”)的处理和计算，本文将主要对该问题展开研究。

间接法一般是通过扩展原有计算矩阵，或增加参数，从而解决在临界点(或称为“鼻点”)处出现的矩阵病态问题，然后再求解扩展后的方程。为解决连续潮流计算中出现的雅可比矩阵病态问题，文献[20]应用延拓方法将矩阵进行延拓，然后对其求解，属于间接方法，未采用直接求法。文献[21]建立了非线性注入功率变化的模型，提出应用分段线性模型来逼近注入功率，将该种方法用来解决连续潮流问题，其计算过程较为复杂。为处理临界点处雅可比矩阵的病态问题，文献[22]在原系统模型的基础上增加了一个线性方程，但这还要取决于选定的母线电压大小和负载情况。该种方法能够在一定程度上克服临界点处雅可比矩阵奇异，但同时可能会使得原系统中的非奇异点变为系统扩展后雅可比矩阵的奇异点，造成非临界点计算失败的情况。

直接法一般就是直接求解构建的非线性方程组，采用并行、解耦等方法用以处理临界点(或称为“鼻点”)处的矩阵病态问题，但这些方法需要的计算量较大，并且程序执行也较为复杂。文献[23]提出一种大规模交直流互联电力系统潮流分区并行算法，并将其用于交直流互联系统。针对传统解耦方法面对临界点雅可比矩阵病态问题显现的局限性，文献[24]给出一种参数快速解耦方法用来计算最大负荷点，其计算过程较为复杂。为解决交直流互联系统中的潮流计算，文献[25]利用连续潮流模型改进原有计算过程，通过主从迭代解决潮流分析中的收敛性和稳定性问题。

从以上的分析可以看出，研究者提出了诸多不同的方法求解连续潮流，精确性和快速性被普遍认为是潮流计算中最重要的两个问题。其中牛顿迭代算法是一种求解非线性问题的良好解法，收敛速度快，能达到二阶收敛，但不完全适用于连续潮流的主要原因是：无法求解临界点(或称为“鼻点”)处的解。求解连续潮流的关键点主要是围绕如何快速有效地解决临界点(或称为“鼻点”)处雅可比矩阵的病态问题展开。

本文的主要工作：提出一种新方法，用于解决连续潮流计算中临界点(或称为“鼻点”)处的病态解，进而给出了求解连续潮流问题的策略。其中Chord法是一种专门用于解决非线性方程病态问题的求解方法，本文提出由改进Chord法解决连续潮流中临界点(或称为“鼻点”)处的病态问题，并结合牛顿迭代算法追踪连续潮流中的分支曲线。该方法思路清晰，应用简捷。并从理论上分析了该方法的有效性。为体现本文所提方法的优点，在分析计算中与其他方法做了比较。本文最后用IEEE39节点和IEEE57节点系统做仿真算例，在不同工况下的计算结果表明本文所提方法具有良好的精确性和鲁棒性。

1 改进Chord法的理论分析

证明过程详见参考文献[26]，本文将不再赘述。

为加快收敛速度，改进Chord法给出外推公式如式(6)。

证明过程详见参考文献[26]，本文将不再赘述。

从误差公式(5)可看出Chord法虽然能够比较方便地解决病态问题，但收敛速度较慢，仅为一阶收敛。为提高收敛速度，经过式(6)的改进后，由式(7)则能看出，改进Chord法不仅计算方便，而且收敛速度快，达到二阶收敛，因此本文将采用改进Chord法进行奇异点处的计算。与传统牛顿迭代法求解的方法相比，本文所采用方法计算量减小，只需计算一次雅可比矩阵，无需每次迭代都要重新计算，大大减少了计算量，并且收敛速度快，达到二阶收敛，计算效率明显提高。

由此，得到应用改进Chord法计算奇异解的计算流程，如图1所示。

图1 改进Chord法计算奇异解流程图

2 连续潮流计算分析

2.1 计算方向预测

连续计算的方向预测即根据当前运行点选择合适参量的变化方向，为下一次迭代计算做好准备；其主要目的就是给出下一次迭代的估计值，从而使收敛更快达到解点。连续计算潮流的数学模型表示为

为下文书写方便，式(8)用式(9)表示。

式中：为待求的未知变量；为负荷增长参数。

计算方向预测的主要原理表述如下。

1) 从当前的已知解出发，以一个切线预报来估计下一个负荷增长方向上的解，即解方程(10)。

得到继续计算的预测值后，然后应用牛顿迭代计算得到精确解，如此再回到以上步骤1)，重复计算直至达到临界点。从以上表述能够看出，本文所提方法计算方向的预测相较于传统计算方法[27-28]，无需进行矩阵扩展和额外增加参数，思路较为清晰。

2.2 算法比较分析和临界点的确定

连续潮流计算过程中，在临界点处存在潮流方程雅可比矩阵奇异的问题，本文提出用改进Chord法计算连续潮流问题，采用直接计算的方法，无需进行矩阵扩展，计算过程非常简捷。以往的连续潮流计算研究中，大多采用的是间接方法，如矩阵延拓、增加参量等，该种方法也能解决连续潮流，但同时可能会带来另一个问题，非临界点处的矩阵发散问题，这是由扩展后的矩阵奇异造成的(此处奇异与临界点处奇异不同)，本文所提方法从机理上避免了该种情况的发生。

在达到临界点之前，应用传统牛顿迭代进行潮流求解，牛顿法具有二阶收敛速度，计算效率高；鉴于临界点附近，牛顿迭代法计算可能会出现发散，本文在达到临界点附近时，则应用本文所提改进Chord法进行临界点处的求解。判定到达临界点与否的方法较多[29-31]，本文所采用方法阐述如下。

则表示临界点在这两次负荷参数变化之间。式(12)的计算中，负荷参数和之间很难建立显式表达式，因式(12)在文中的主要目的是判断符号正负性，不需要精确数值结果；故，本文应用简化方法进行计算，采用一阶微量来进行近似计算负荷参数对的导数。

由式(12)则判定已越过了连续潮流的临界点，临界点即在与1之间。

2.3 节点类型的转换

连续潮流计算会涉及多种节点类型，有PQ、PV、Vθ节点等[32]。负荷的连续变化可能会导致电力系统的诸多设备达到输出极限，如发电机无功越限等；因此，需要对该种情况进行节点类型的转换处理，具体措施如下所述。

1) 对PV节点，若节点无功越限，则PV节点转换为PQ节点。

2) 对PQ节点，若节点电压低于最小限值且无功功率计算量不越限，则PQ节点转换为PV节点；若节点电压高于最大限值且无功功率计算量不越限，则PQ节点转换为PV节点。

3) 其他类型不做转换。

2.4 应用改进Chord法的连续潮流计算

应用本文所提方法求解电力系统的连续潮流如图2所示。

3 数值计算分析

本文以Matlab为仿真工具分别对IEEE39节点和IEEE57节点测试系统进行仿真计算，其实验运行环境是Windows10(64 bits)操作系统，硬件配置是Intel core i5 1.7 GHz双核CPU，内存为6 GB。

1) 算例分析1

本部分采用新英格兰10机39节点IEEE39节点系统进行计算验证，节点32为平衡节点，发电机节点分别为PV节点，其余为PQ节点，功率基准值为100 MVA，节点系统简图如图3所示。

图2 连续潮流计算流程图

为了验证分析本文所提方法计算连续潮流的精确性和鲁棒性，本文将负荷参数分两种工况进行计算，计算精度设置为10-4。

(1) 局部参数化方法

负荷参数的增长方式：图3中红色虚线之内节点负荷功率增加，其余节点负荷功率不变。应用文中所提Chord法计算临界点处的奇异解如表1所示，并用扩展潮流方程计算方法作为比较[33]。

图3 IEEE39节点系统图

表1 用改进Chord法计算节点3、28临界点处潮流结果

由表1计算结果看出，节点3、节点28在临界点处负荷参数和电压的准确解分别为(1.917, 0.7906)、(1.917, 0.7035)，Chord法在计算临界点处的奇异解收敛速度快，计算耗时0.4 s；扩展潮流方程计算方法解得节点3、节点28临界点处负荷参数和电压的准确解分别为(1.917, 0.79)、(1.917, 0.7041)，该方法计算耗时0.5 s。两种方法计算结果相近。应用本文所提方法在不同节点的连续潮流P-V曲线如图4所示。通过图4的仿真计算表明，负荷倍数增长到1.917到达临界点。

图4 节点3和节点28的负荷电压曲线

(2) 全局参数化方法

负荷参数的增长方式：图3系统中所有节点负荷功率均同时增加。应用文中所提Chord法计算临界点处的奇异解如表2所示，并用扩展潮流方程计算方法作为比较[33]。

由表2计算结果看出，节点4、节点23在临界点处负荷参数和电压的准确解分别为(1.751, 0.7442)、(1.751, 0.889)，改进Chord法在计算临界点处的奇异解收敛速度快，计算耗时0.4 s；扩展潮流方程计算方法解得节点4、节点23临界点处负荷参数和电压的准确解分别为(1.751, 0.7437)、(1.751, 0.8871)，该方法计算耗时0.5 s。

表2 用改进Chord法计算节点4、23临界点处潮流结果

应用本文所提方法在不同节点的连续潮流P-V曲线如图5所示。通过图5的仿真计算表明，负荷倍数增长到1.751到达临界点。

图5 节点4和节点23的P-V曲线

2) 算例分析2

本部分采用IEEE57节点系统[34]进行连续潮流计算，负荷参数设计为：所有负荷连续增加，均为静态负荷，功率因数保持不变。计算过程中采用自适应调节步长，计算开始时适当增大步长，取步长为0.1，以提高计算速度；在接近临界点时，适当减小步长至0.001，计算精度设置为10-4。

应用文中所提改进Chord法计算临界点处的奇异解如表3所示，并用扩展潮流方程计算方法作为比较。

由表3计算结果看出，应用改进Chord法计算节点20、节点43在临界点处负荷参数和电压的准确解分别为(2.769 9, 0.693 34)、(2.769 9, 0.929 69)，改进Chord法在计算临界点处的解耗时0.5 s；扩展潮流方程计算方法耗时0.6 s，其节点20、节点43的计算结果分别为(2.769 9，0.692 4)、(2.769 9，0.930 1)。改进Chord法在临界点处计算奇异解的收敛速度快，计算结果非常精确。

表3 用改进Chord法计算节点20、43临界点处潮流结果

应用本文所提方法在不同节点的连续潮流P-V曲线如图6所示。通过图6的仿真计算表明，负荷倍数增长到2.769 9到达临界点。

图6 节点20和节点43的P-V曲线

在仿真计算中就改进Chord算法与扩展潮流方程计算方法进行了比较，通过算例计算结果表明，本文提出的Chord法计算所需时间更少，并且传统的扩张潮流计算方法还需要构造较为复杂的增广矩阵，应用较为复杂，而本文Chord法可以直接计算连续潮流临界点(或称“鼻点”)处的值，体现了本文所提方法具有更好的应用便捷性和更高的计算效率。鉴于Chord法计算速度快、逻辑简单、程序易用性等多方面因素，认为在大型电力系统求解高维方程组时引入Chord算法非常有必要。

4 结论

本文提出了新的解决连续潮流问题方法，重点研究了用改进Chord法计算临界点处雅可比矩阵奇异的求解问题。所得到的主要结论如下：

1) 本文所提方法只需应用原有潮流计算的简单解方程，无需对原有电力系统潮流方程进行扩展，并不增加额外参数，逻辑思路清晰直观，易于编程实现，收敛速度快，能够更方便在线应用，并能成为电力系统稳定分析的有效工具。

2) 应用IEEE39和IEEE57节点不同算例的计算结果表明，本文所提方法能够准确高效地得到连续潮流解，收敛速度快，计算效率高，应用简捷，尤其是求取临界点处的奇异解，具有较好的准确性和鲁棒性。

3) 鉴于Chord法收敛速度快、逻辑简单、易于实现的特点，认为可以应用在电力系统相关高维方程组奇异解的求取。

在今后的研究过程中，作者将Chord法的连续潮流算法应用到大规模可再生能源并网的连续潮流计算问题中，并将适时用于分析电力系统稳定裕度问题。

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A new method of power system continuous flow calculation based on an improved Chord method

WANG Yan1, 2, GAO Shan1, 2

(1.School of Electrical Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China; 2.Key Laboratory of Smart Grid Technology and Equipment of Jiangsu Province (Southeast University), Nanjing 210096, China)

Continuous power flow (CPF) calculation is an important tool for power system analysis in studying static voltage stability and system transmission capacity.However, a critical point singularity seriously restricts the application and development of CPF.Therefore, the key to better application of CPF is to solve the problem of the critical point singularity.An improved Chord method is proposed to deal with the calculation of the critical point in the CPF problem.It can quickly calculate the solution at the critical point, and has fast convergence speed, reaching second-order convergence.It does not need to expand the original Jacobian matrix, so it does not need to worry about the problem that the nonsingular points in the original system become the singular points of the extended Jacobian matrix of the system.This makes the calculation process simpler.Applying the linearization method to predict the calculation direction of CPF, the whole calculation process is simple and convenient.Compared with the extended power flow method, the Chord method presented in this paper is simple and efficient.The simulation results of the IEEE 39-bus and IEEE 57-bus systems under different working conditions show that the proposed model and method can quickly and effectively calculate the singular solutions of CPF, and it has a good accuracy and robustness.This work is supported by the Key Special Fund of Smart Grid Technology and Equipment of National Key Research and Development Program of China (No.2016YFB0900600).

power system; continuous power flow; improved Chord method; singular point; stability

10.19783/j.cnki.pspc.210545

2021-05-09；

2021-09-29

王 妍(1998—)，女，通信作者，硕士研究生，研究方向为电力系统运行与控制；E-mail: 3602759125@qq.com

高 山(1973—)，男，副教授，博士生导师，研究方向为电力系统运行与控制、电网规划、分布式发电协调控制、智能调度、主动配电网。E-mail: shangao@seu.edu.cn

国家重点研发计划智能电网技术与装备重点专项资助(2016YFB0900600)；国家电网公司科技项目资助(52094017000W)

(编辑 周金梅)