无序复杂系统中的序—2021年诺贝尔物理学奖解读

江少钦，余雪佳，徐莉梅

(北京大学 物理学院量子材料科学中心，北京 100871)

瑞典皇家科学院将2021年诺贝尔物理学奖一半颁发给了真锅淑郎(Syukuro Manabe)和克劳斯.阿塞尔曼(Klaus Hasselmann)，以表彰他们对“地球气候的物理建模、量化可变性和可靠地预测全球变暖”的贡献. 另一半则被授予乔治.帕里西(Giorgio Parisi)，以表彰他“发现了从原子到行星尺度的复杂系统中无序和涨落之间的相互影响”.

人们对复杂系统的物理研究起源于19世纪开始发展的统计力学，并逐渐渗透到了诸如生命科学、神经科学、计算机科学及人文社科学等领域. 从研究对象来看，复杂系统的研究几乎跨越了所有尺度，小到原子夸克，大到宇宙星球. 但是，直至目前为止，我们对复杂系统还没有一个明确而统一的定义. 一般认为，复杂系统具有以下一个或多个特征：组成单元之间的相互作用具有非线性、随机性；结构具有无序性；动力学对初值敏感；结构或功能在微小扰动下稳定；具有一定的反馈机制等. 与我们的生活息息相关的地球气候系统以及我们司空见惯的玻璃材料都属于复杂系统. 前者具有初值敏感的复杂运动特征，而后者具有复杂长程无序的结构特征. 复杂系统通常远离平衡态，而由于组成单元之间的相互作用具有非线性且受偶然性支配，其宏观性质和动力学演化往往存在混沌现象，因此用数学描述并预测其行为的尝试一直面临着困难和挑战.

真锅淑郎和阿塞尔曼对宏观尺度的地球气候建立了物理模型，并预测了这一复杂物理系统的行为. 帕里西则从微观层面发现了自旋玻璃等无序复杂系统中的隐藏序，并找到了一种数学方法来描述它们. 尽管3位获奖者的研究体系跨越了从原子到行星的多个尺度，但这些体系都具有复杂系统的某些特征，如无序和涨落. 他们都为我们深入理解复杂物理系统的特性和演化方面做出了开创性贡献.

本文将主要介绍帕里西的相关工作. 帕里西是近几十年来最具创造力和影响力的物理学家之一. 他的研究兴趣非常广泛，涉及统计物理、粒子物理、弦理论和数学物理等诸多领域. 例如，他提出了部分子密度与动量关系的微积分方程(Altarelli-Parisi方程)，解释了深度非弹性散射的标度违规[1]；给出了与超导磁通禁闭类似的夸克禁闭机制[2]；发现了经典系统中的超对称性[3]；在湍流中引入多重分形[4]；提出了界面随机生长的微分方程(Kardar-Parisi-Zhang，KPZ方程)[5]；发现了气候变化中的随机共振现象[6]；提出了自旋玻璃理论的高阶复本对称破缺方法[7-9]等等. 这些重要贡献很难在一篇短文中详尽阐述，因此本文将主要介绍他在自旋玻璃理论、界面随机生长(KPZ方程)和随机共振方面的部分工作.

1 玻璃和自旋玻璃

在帕里西的诺奖工作中提到的自旋玻璃是什么？首先，我们来回答“什么是玻璃”. 当结构杂乱无序的液体缓慢降温时会形成结构有序的晶体，此时系统发生了从结构无序的液态到结构有序的晶态的相变(图1(a)). 相变过程所对应的体系对称性的破缺一般用序参量的变化来描述，如液态-晶态的相变过程中，平移对称性就可以作为序参量. 当液体快速降温时，其无序结构被迅速“冻结”，发生玻璃化转变，形成了结构长程无序的玻璃(图1(b)). 玻璃在结构上与液体相似，粒子在空间无序排列；但在力学性能和动力学上又与晶体相似，不仅能够承载一定的应力而不发生形变，而且粒子的位置在观测时间尺度内几乎不发生变化. 因此玻璃也被称为冻结住的液体. 琥珀、橡胶和非晶态金属等都是玻璃态材料. 与晶体不同，玻璃的形成与过程有关，即使从同一状态出发，经过同样的物理过程，体系也可能到达不同的玻璃态. 因此，区别于晶体势能面的单个能量极小(基态)(图1(c))，玻璃的势能面存在大量的能量局域极小值，即存在大量能量相差不多但微观结构不同的亚稳态，导致玻璃材料的复杂性(图1(d)). 正因为玻璃态的这些独特性质，《科学》杂志在创刊125周年将“玻璃态物质的本质是什么”列为125个世纪难题之一[10].

图1 晶化和玻璃化过程. (a)、(b)分别为晶化和玻璃化过程中原子位置空间排布的变化；(c)、(d)分别表示晶态和玻璃态的势能面[11]

自旋玻璃是最简单的一类玻璃，此时“玻璃”的含义不再是指原子位置无序，而是指自旋(类似于小磁针)取向长程无序，是自旋取向“冻结”的状态. 自旋玻璃材料是通过向非磁性的原子网格中随机掺入少量磁性原子得到的合金材料. 例如，在一个随机掺入少量铁原子的金原子网格中(图2(a)),如果每个铁原子都可以被视为一个自旋，而其取向受其它自旋的影响. 系统的磁性由于微小掺杂会产生显著变化(图2(b))，这是一类非常典型的复杂系统. 这类系统可以用简单的格点模型来描述，其哈密顿量为

(1)

其中，si表示i位置的自旋，其可能的取值为±1，分别代表自旋向上和向下；Ns为自旋的个数；Jij表示i,j的自旋交换相互作用.

系统的磁性取决于相互作用分布{Jij}和环境温度T. 如果只考虑最近邻相互作用，且相互作用取值相同(Jij=J)，那么不同格点的自旋在高温时取向随机分布，系统不具有宏观磁性，处于顺磁相(图2(c)). 低温时基态则取决于J的取值，J>0(铁磁相互作用)或J<0(反铁磁相互作用)时，体系分别在所有自旋平行(铁磁相，图2(c))或反平行(反铁磁相，图2(c))时能量最低.

图2 自旋玻璃系统及特征. (a) 自旋玻璃材料Au1-xFex的简单格点模型，Au(灰色)、Fe(黑色)；(b) 自旋玻璃材料Au1-xFex的磁化率随温度的变化[12]；(c) 只考虑最近邻且相互作用J取值相同的简单格点模型，在高温时处于顺磁相,低温时处于铁磁相(J>0)或反铁磁相(J<0)；(d) 自旋阻挫状态：同时存在铁磁(J>0)和反铁磁(J<0)相互作用时，不论格点3自旋取向是上还是下，系统都有相同的能量

如果系统同时存在铁磁和反铁磁相互作用，如(图2(d))所示，格点3的自旋取向无论向上还是向下，系统的能量都相同(基态). 因此，格点3的自旋存在不确定性与随机性，处于阻挫状态，即不存在一个确定的自旋状态满足系统能量最小化的要求. 大量的阻挫状态的存在使得系统形成自旋玻璃，并存在很多能量几乎相同但微观结构不同的状态，导致了自旋玻璃材料基态的复杂性. 宏观自旋玻璃系统中处于阻挫状态的自旋个数为N～1023量级，基态求解所需时间为eN量级. 自旋玻璃的研究中充满了挑战，也引起了极大关注[9,13,14]. P.W.Anderson也不禁感慨自旋玻璃问题本身就是一个值得一直探究的科学问题[15].

2 自旋玻璃理论的早期发展

系统的热力学量由体系的自由能F与配分函数Z决定

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SK同样使用复本技巧“消除”了系统的随机性. 随后通过恒等变换(Hubbard-Stratonovich变换)[18,19]，引入了qαβ和mα两个辅助场，进而将自由能指数中自旋耦合的四次项si(α)·si(β)·sj(α)·sj(β)变为二次项si(α)·si(β).其中，mα表示复本α的宏观磁性，{qαβ} 则构成了复本序参量矩阵Q. SK认为，所有复本自旋随机相互作用Jij服从相同的分布，则复本应当是不可区分的，即复本对称.因此，对任意两个复本α、β而言，qαβ=q，mα=mβ=m.基于复本对称假设，通过自由能对序参量q和m取变分，可以得到SK模型的解(图3(a)).q为非零值对应系统的磁有序相；如果m也为非零值，系统处于铁磁相.自旋玻璃对应于m=0、q≠0的相，表明自旋玻璃自旋取向的空间无序和自旋玻璃磁化的缓慢动力学特征.

图3 SK模型的解. (a)SK发现低温时存在自旋玻璃相[17]；(b)Almeida和Thouless指出自旋玻璃相并不稳定[20]

然而，SK通过数值计算发现系统的熵在T=0时为负值，这不符合热力学第三定律. 此外，Almeida和Thouless发现SK得到的自旋玻璃相并不稳定(图3(b))，并指出解的不稳定性可能是由于复本对称性假设[20]，即qαβ=q. 那么是什么原因导致了复本对称性破缺呢？Thouless, Anderson和Palmer发现[21]，自旋玻璃的自由能面非常复杂，存在大量局域极小值(对应的状态称为纯态[9,22])，如(图1(d))所示. 不同的复本会陷入不同的纯态，由于不同纯态之间存在很高的势垒[21]，进而导致了复本之间不再等价，即复本对称性发生破缺.

复本对称破缺意味着复本之间可区分，因而qαβ可以取不同的值，其可能的取值个数等于复本对称破缺的阶数K加1. 同时，复本技巧要求复本数N→0，复本序参量矩阵Q的维数(N×N)趋近于零.确定这样一个零维矩阵的形式并不是一件容易的事，尤其是还需要保证其对应的解具有稳定性，并且熵不能是负值.最简单的复本对称破缺是一阶复本对称破缺，此时矩阵Q中含有两个参数q0、q1.所有的复本被分为两类，同类的复本之间不可区分(qαβ=q1)，而不同类的复本之间可区分(qαβ=q0).Bray和Blandin等通过试错的方法[23-25]发现，当矩阵Q取类似于图4(b))的形式时可以得到稳定解. 他们还提出如果考虑高阶复本对称破缺，可以得到更多稳定解. 但是由于解析计算过于复杂，他们没有讨论复本对称破缺方法是否能解决负熵问题.

3 复本对称破缺

帕里西在前人工作的基础上，开创性的提出高阶复本对称破缺方法，解决了负熵问题和解的稳定性问题[8]. 他首先通过数值计算发现复本对称和一阶复本对称破缺假设下的熵分别是-0.16和-0.01[7]. 因此，他推测当复本对称破缺的阶数趋于无穷时，系统的熵将趋于0，从而解决负熵问题. 而实现无穷阶复本对称破缺的困难在于，此时序参量矩阵Q中参量的个数为无穷多，其形式也有无穷多种[7]. 帕里西考虑到矩阵Q应满足3个条件，即体系能量有界、矩阵本征值为负(解的稳定性条件)和高温时自由能极大值对应qαβ=0(高温时为顺磁相)[9,26]，创造性地提出了高阶复本对称破缺方法(如图4所示).

帕里西的复本对称破缺方法可以归纳为如下表述[8,26].N个复本可以构成一个N×N的复本序参量矩阵Q. 复本对称的序参量矩阵Q中只有一个参数q0(图4(a)). 而复本对称破缺过程沿矩阵对角线进行. 一阶复本对称破缺的序参量矩阵Q中有两个参数q0和q1(图4(b)). 二阶复本对称破缺是对一阶复本对称破缺中相互等价的复本(图4(b)中灰色)进行破缺操作，这时序参量矩阵Q中有3个参数q0、q1和q2(图4(c)). 如此往复就能够实现更高阶复本对称破缺. 当破缺级数至无穷级时，帕里西得到了自旋玻璃基态的严格解. 但这个基态解的物理意义是什么？最初并不清楚. 帕里西在自旋玻璃理论方面另一个重要的贡献就是给出了这个问题的答案[22,26-28].

图4 帕里西复本对称破缺方法(未显示的矩阵元都为q0，N表示复本总数，n1、n2分别表示一阶、二阶对称破缺中每个纯态的复本个数)

(4)

(5)

其中wα和wβ分别表示纯态α和β出现的概率. 帕里西指出两个纯态相似度q的分布函数P(q)才是自旋玻璃的物理序参量[28,29]. 因此，与铁磁相仅需一个序参量来描述不同，自旋玻璃的序参量是一个函数，需要用无限多个参量q来描述.

那么自旋玻璃基态解(序参量矩阵Q)与物理序参量P(q)之间是什么关系呢？答案并不显然，这是由于无穷阶复本对称破缺时序参量矩阵Q中无论参量的个数还是形式都有无穷多种[7]，如何参数化矩阵Q的参量并不简单.帕里西花了不少时间才建立了矩阵Q矩阵元与P(q)的关系.他首先指出当复本数N→0时，如果序参量矩阵Q同时满足体系能量有界、矩阵本征值为负、高温时自由能极大值对应的矩阵元为0三个条件[26]，那么矩阵Q是可以用参量函数q(x)来参数化

q(x)=ql，nl≤x≤nl+1

(6)

其中nl,ql分别表示第l阶复本对称破缺中每类纯态的复本个数及相应的矩阵元.有限级破缺下q(x)为分立的阶梯函数(图5)，如一阶复本对称破缺时q(x)有2个取值区间，4阶复本对称破缺时q(x)有4个取值区间.当复本对称破缺级数K趋近于无穷大时q(x)变为连续函数(图5).此时参量函数q(x)参数化了自旋玻璃基态的严格解Q.为了找到了q(x)和物理序参量P(q)之间的联系，帕里西研究了k点自旋关联函数q(k)的两种不同表示.一方面，根据纯态之间的非关联性，q(k)可以用物理序参量P(q)来表示

图5 复本对称破缺下的参量函数q(x)(虚线、点线段和实线分别表示复本破缺级数K=1、K=4和K=∞)

(7)

另一方面，依据复本技巧，q(k)也可以用复本序参量矩阵Q来表示

(8)

其中N(N-1)表示总复本对数，第二个等式则是第一个等式连续化后的结果[13].帕里西通过对比式(7)、(8)，发现自旋玻璃严格解Q的参数函数q(x)与物理序参量P(q)的关系

(9)

(10)

其中x(q)为q(x)的反函数，其物理意义为两个纯态之间的相似度不大于q的概率.由此，帕里西给出了自旋玻璃基态解即序参量矩阵Q的物理意义.

考虑到自旋玻璃的解有类似分形的结构特征，帕里西通过考察相似度的高阶关联来理解纯态空间的拓扑结构.对于任意的3个纯态α、β、γ的联合概率分布：

P(q1,q2,q3)=

图6 复本对称破缺的家谱图及自由能面表示. (a)家谱图中a、b、c、d分别代表处于纯α、β、γ、δ的状态，状态之间的相似度为到它们共同祖先的距离，如q1为a、b之间的距离；(b)复本对称时自由能面只有一个极小值，一阶、二阶复本对称破缺时自由能面分别有2个和4个极小值

复本对称性破缺已经被随机激光实验所验证[30]. 随机激光的模式来源于无序系统的本征态，而在激光增益的过程中，不同的模式通过增益介质以非线性的方式相互作用. 不同模式间的非线性相互作用随激光泵浦功率增大而增加(泵的功率类似于温度的倒数). 在相同的条件下，样品会被激发出不同的光谱(模式)，这些不同的光谱表示一个热力学相的不同状态(纯态)，而光强涨落的相似度代表着不同复本之间的相似度qαβ

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其中Iα(k)、Δα(k)分别代表第α个光谱的第k个模式的光强和光强涨落. 激光泵浦功率较小时(类似于高温)，各模式不发生相互作用，光强涨落的相似分布在0附近，复本对称性得到保持(图7a). 而当激光泵浦功率增大时(类似于低温)，各模式发生相互作用并受到无序干扰，光强涨落的相似分布在{-1,1}之间，复本对称性发生破缺(图7c).

图7 光强涨落相似的分布P(q)随泵浦能量变化[30]. (a)、(b)为复本对称情况；(c)、(d)为复本对称破缺情况

4 自旋玻璃理论在不同领域的应用

自旋玻璃最开始以理论方面的研究为主[13,31]，但后来人们发现自旋玻璃中阻挫系统的最优解问题与许多其它领域的问题有共通之处. 因此，研究自旋玻璃的方法可以广泛地应用于不同领域的问题[9,32-35]，如组合优化、蛋白质折叠、Hopfield网络、Gardner transition、结构玻璃的随机一阶相变理论(RFOT)、硬球体系的jamming等.

许多组合优化问题的求解等价于寻找一个目标函数的极值[36]. 但是目标函数中往往包含了大量的变量和约束条件，导致无法直接求解，例如图的划分、旅行商问题、布尔可满足性问题. 其中，旅行商问题是指找出访问N座城市并回到起点的最短路线，而通过连续搜索求解的时间至少为eN. 引用自旋玻璃理论，虽然我们没办法得到最优解，但是可以得到最优解的近似解. 我们可以将城市视作自旋，而城市之间是否连接和自旋之间是否有相互作用相对应. 这样就可以将自旋玻璃理论用于求解该问题[37]. 值得一提的是，帕里西将自旋玻璃思想应用于该领域，并因此获得了2016年Onsager奖.

蛋白质折叠是蛋白质获得功能性结构和构象的过程. 一个由100个氨基酸组成的蛋白质的可能构象就有3198种，如果蛋白质折叠过程是连续搜寻所有可能的构象，那么所需要的时间会比宇宙年龄更大. 但实际上，折叠过程所需时间为秒量级(Leventhal佯谬). 自旋玻璃理论则可以被应用于该佯谬的解决. 此时氨基酸被类比为自旋，氨基酸相互作用被类比为自旋相互作用[34,38].

Hopfield联想记忆网络提供了模拟人类记忆的方法[39]. Hopfield网络是由一些神经元和神经元之间的相互作用构成. 而神经元的抑制和兴奋状态与自旋玻璃中的自旋取向类似，神经元之间的相互作用与自旋玻璃中的自旋相互作用类似[32,40]. 如果给网络定义一个能量函数，那么网络的记忆与能量的局域极小值有关[41].

自旋玻璃思想已广泛应用于不同的复杂系统，其意义超出了精确求解自旋玻璃模型本身，对于诸如计算机科学，生物科学，神经科学等其它领域的发展起到了重要的作用.

5 非线性与随机涨落的相互影响

帕里西不仅在自旋玻璃理论上做出了开创性的贡献，他在随机过程方面的研究也成绩斐然. 特别是提出了描述界面随机生长的KPZ方程并得到了KPZ普适类[5]和发现了地球气候变化中的随机共振现象[42].

1) KPZ方程和KPZ普适类

界面生长受随机性与偶然性支配. 界面高度随时间变化的规律是什么？ 1986年，帕里西与合作者张翼成、卡达(Kardar)提出了描述界面随机生长的KPZ方程[5]

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2) 随机共振现象

可能很多人没有注意到，其实帕里西也对地球气候方面开展过研究. 古气候学的研究结果表明，近70万年地球温度的变化呈现出周期性，其周期为10万年，幅度大约为10 K[42]. 帕里西与合作者考虑了太阳能量流的非线性与天气的随机涨落对气候的影响，提出了一个非常简单的温度T随时间变化的非线性随机微分方程，解释古气候的变化，

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6 总结

帕里西的工作跨越了多个领域与尺度，体现了无序与涨落的共同影响，揭示了无序复杂系统中存在的简单普适规律. 他在复杂系统方面的很多工作，意义都远远超出了这些工作本身，不仅导致了统计物理学的研究范式转变，而且对于其它领域的发展起到了重要的作用，诸如统计物理，粒子物理，弦理论，数学物理，计算机科学，生物科学和神经科学等. 霍金曾说过，二十一世纪是复杂科学的世纪，本年度诺贝尔物理学奖颁发给复杂系统，显示了诺奖委员会意识到复杂体统方面的研究其对于解决人类社会重大问题的重要性. 我们也殷切地希望复杂系统的研究在国内能获得更多支持，进一步推动复杂系统物理理论的发展及在实践中的应用.