基于伯努利定理的流水法测量水流速度

宋连鹏，孙 瑜，周 丽

(海军大连舰艇学院 基础部，辽宁 大连 116018)

水流速度是常用物理量，在生产生活中发挥着重要作用，如在防洪抗灾和洋流的研究中都离不开水流速度的测量. 对于重力场中不可压缩的均质流体，满足伯努利方程[1]

(1)

其中，p为流体压强，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为流体高度(从某参考点计)，v为流体速度.在沿流线运动过程中，流体的能量总和保持不变，即总能量守恒．由式(1)可知，流速大处压强低，流速小处压强高[2]，因此可以通过水流压强的相关测量来测量水流的速度.

1 流水法测量水流速度的设计

1.1 测量装置

测量装置如图1所示，在矿泉水瓶底部的侧面打一小孔，插入细导管，并用热熔胶密封，在与细导管等高处用记号笔做标记1，再向上方10 cm处,做标记2，细导管的自由端口与待测流速的水流连通.

图1 测量装置

1.2 测量原理

文献[3]通过实验得到空气中小孔的水流速度，文献[4]利用流体运动的连续性方程进一步论证了上述结果.现将图1所示的测试装置置入待测水流中，使细导管指向与待测水流方向垂直，形成如图2 所示的测量系统.在细导管自由端口两水流交汇的界面处，待测水流方向与界面平行，产生的冲量不会影响界面的压强.因此，在忽略黏性阻力时，界面受到向左的压强即为待测水流在此处产生的压强p，满足

(2)

其中，v为待测水流速度.

图2 测量水流速度的系统示意图

在测量装置内水流出的过程中，根据伯努利定理可得

(3)

其中，p0为大气压强，h为测试瓶内液面高度，v1为液面处水流速度，v2为细导管中的水流速度.将式(2)代入式(3)得

(4)

由于测试瓶中水减少的体积与细导管口处水流出的体积相同，因此

(5)

其中，S1和S2分别为测试瓶和出水口的横截面积，令

(6)

其中D为常量[4]，将式(6)代入式(4)，联立式(5)，可解得

(7)

(8)

因此测试瓶中水下降的时间为

(9)

则液面下降高度为H的水流出的总时间为

(10)

因此，根据式(10)，测量出瓶中水流出的时间t即可得到待测水流速度v.

2 实验测量与分析

2.1 测量方法及数据处理

图3 为测量水流速度的实物装置图，在连结加氧泵(出水量为1 000 L/h)的出水口处，接入调流阀，将测试装置中细导管的自由端接入加氧泵的进气口. 由于加氧泵进气口与出水口是呈“⊥”形的三通结构，因此2个水流方向垂直，通过测量测试瓶中水流出的时间，即可得出加氧泵出水管中的水流速度.

图3 流水法测量水流速度的实物装置图

打开加氧泵，调节调流阀，用电子称称量单位时间内水管中流出水的质量，利用密度公式计算对应的体积，再除以出水口的横截面积得到水的流速即为实际水流速度——称重法. 由于加氧泵的总功率保持不变，从而可以提供稳定的水流. 在待测加氧泵出水管中的水流速度较小时，根据伯努利定理可知水流会产生较大压强，当该压强大于测试瓶内水所产生的压强时，会出现加氧泵出水管中的水倒向流入测试瓶中的现象. 随着测试瓶内水压不断增加，最终会达到压强相等，形成平衡态.

使测试瓶中液面保持不变，通过测试发现当加氧泵出水管中水流速度为1.56 m/s时，测试瓶中的液面恰好稳定在与细导管等高的标记1处，可知此时加氧泵水管中的水流压强p等于大气压强p0.将式(2)代入式(6)，得到D=-2.43 m2/s2.

另外，测量出测试瓶的直径d1=60.0 mm，细导管出口的内径d2=2.5 mm，测试瓶中水下降的高度H=100.0 mm.将测量结果代入式(10)，其中g=9.8 m/s2，得

(11)

当加氧泵出水管中水流速度增大时，测试瓶中水流出的速度也加快，分别测量不同水流速度下测试瓶中水流出的时间，如表1所示.每个数据都是5次测量取平均值的结果.

表1 不同水流速度下的水流出时间(称重法)

借助Matlab软件，利用式(11)得到水流速度，如表2所示.

表2 不同流出时间下的水流速度(流水法)

2.2 数据分析

以测试瓶中水流出的时间t为横坐标，以水流速度v为纵坐标，将流水法的测量结果(表2)和称重法(表1)的测量结果描点进行比较，如图4所示.

图4 流水法和称重法测量值比较

从图4中可见，流水法与称重法在低流速区吻合得非常好，说明流水法测量水流速度的理论完全正确，测量方法切实可行. 但在流速大时流水法偏差较大，流水法测量结果明显比称重法测量结果大，分析形成这种结果的原因如下：

1)流水法测水流速度时，采用的加氧泵是固定的三通结构，2个水流的截面面积差别不足够大，所以当瓶中水以较大流速汇入待测水流时，形成了由于射流冲击横流产生的螺旋涡[6]，导致待测水流的流线发生畸变，从而破坏了模型中理想情况的假设. 螺旋涡加速了瓶中水流出的速度，使水流速度的测量结果产生了正偏差.

2)称重法测量水流速度时，由于引流管太细太长导致黏性阻力较大，且流速越大，黏性阻力影响越大，造成称重法水流速度的测量结果偏小，形成负偏差.

综合以上原因，在水流速度大时，2种测量方法的测量结果都产生了较大的相对偏差. 通过改进、优化三通汇流处的结构，减小水流的相互冲击，可以提升流水法在水流速度较大时的测量精度. 另外，采用增加引流水管的直径并减小其长度的方法可改善引流条件.

3 结束语

本文利用伯努利方程将对水流速度的测量转换为对水流压强的测量，再利用测试瓶将对水流压强的测量转换为对测试瓶中水流出时间的测量. 该方法所用仪器结构简单、操作简便，实验结果表明该测量方法稳定可靠、有效可行.