水驱油藏见水后Welge方程的确定及应用

高文君，铁麒，郑巍，汤欣

（中国石油 吐哈油田分公司 勘探开发研究院，新疆 哈密 839009）

Welge 方程是研究水驱（或气驱）油藏地下油水（或油气）饱和度推进与分布的基础方程[1]。目前，国内外学者提出了多种Welge 方程的表达式，这些方程多用于线性地层一维渗流机理研究[2-4]，尤其是在陈元千教授研究成果基础上形成的油井见水后Welge 微分表达式[5]，对于确定水驱油藏微观渗流特征、含水变化规律、水驱特征曲线之间的逻辑关系非常重要[6]，修正了以往在水驱油藏理论研究方面简单地将高含水期油层出口端含水饱和度认为是油层平均含水饱和度的缺陷[5-7]；或者引入从艾富罗斯实验结果得来的线性关系Swe=1.5Sˉw-0.5(1-Sor)，建立水驱规律数学模型[8-9]。本文通过正向和反向推理，以明确Iraj Ersaghi 含水变化规律[10]和艾富罗斯实验结果[11]的形成过程、适用条件以及存在的理论缺陷，系统地给出水驱理论评价方法从宏观水驱规律到微观渗流特征之间的相互转化流程，为水驱油藏的评价提供参考。

1 水驱（或气驱）油藏Welge方程基本表达式

适用水驱（或气驱）油藏的前缘饱和度推进方程，简称Welge方程[1]，其基本表达式为：

按中国石油行业参数书写规范[12]，水驱油藏的Welge方程为：

而气驱油藏的Welge方程为：

2 国内的几种Welge方程表达式

2.1 水驱前缘Welge方程

1996 年，童宪章和匡建超结合Buckley-Leverett的线性驱替理论（图1），通过数学分析，推导了水驱前缘含水饱和度推进方程和前缘后平均含水饱和度方程，分别为[2]：

（5）式和（6）式结合，消除束缚水饱和度参数项，得到水驱前缘Welge方程：

由于前缘含水饱和度为定值，因此（9）式为定值方程。求解时，通常过束缚水饱和度向分流量曲线作切线，切点为（Swf，fwf），切线与直线fw=1 的相交点对应的横坐标值为前缘后平均含水饱和度。

2.2 油井见水后Welge方程

利用面积填补的方法，可得到油井见水后的Welge方程[2-3]（图2）：

（9）式和（10）式与Welge 方程基本式相比，方程形式一致，区别在于（9）式和（10）式中含水率的导数是以偏导数的形式给出，而Welge 方程的基本式中是以微分的形式给出。按分流量方程[13-14]，含水率是含水饱和度的一元函数，因此，（9）式和（10）式可改写为：

3 水驱油藏见水后Welge方程的确定

1985 年，陈元千教授通过理论推导[5]，给出了累计注入水孔隙倍数：

那么，（4）式或（12）式转化为

对比（3）式和（15）式，可以发现Welge 方程基本式在原文采用标准的数学表示方法=df2/dS2，即=dfwe/dSwe，反映的是分流量曲线在Swe处的斜率，并没有出现像国内一些学者提出的=∂fw/∂Sw的表述[2-3]。因此，陈元千给出的（15）式不但从纯数学角度完全符合文献［1］中建立的Welge 方程式的表述方式和本意，而且也结合国内的研究现状，利用（14）式作为桥梁，将国内外这一基础理论研究进行了有效统一。

若为均质油藏，油井间和油层间无差异或开采差异很小，则油藏含水率fw=fwe，（15）式可转换为油藏见水后Welge方程[6]：

同理，可得气驱油藏见气后气层的平均含气饱和度，计算式为

4 油藏见水后Welge方程的应用

4.1 油水两相渗流方程到含水变化规律的推导

在半对数坐标系中，油水相渗比值与出口端含水饱和度呈直线关系[10]，即

由分流量方程可知：

将（18）式代入（19）式，得

将（20）式代入（16）式，得

油藏在注水保持地层压力的条件下，其平均含水饱和度为[5]：

从（20）式求得出口端含水饱和度，代入（21）式，并结合（22）式，可得Iraj Ersaghi 含水变化规律，即丙型水驱特征曲线[2]：

丙型水驱曲线本质上是一个具有极值的双值函数，只有R随含水率增大而增大时，才具有实际意义[2]。按照存在极值情况，对（23）式求导，其值为0时，确定出的最小含水率为0.5。从以上推导过程可知，当油水相渗比值与出口端含水饱和度为指数关系，且含水率≥0.5 时，其含水变化规律适用于经典的Iraj Ersaghi 含水变化规律，这一结果与国内传统认知相左。前人一直认为，油水相渗比值与出口端含水饱和度为指数关系时，其含水变化规律为甲型含水变化规律[5]，且多适用于原油黏度为3～30 mPa·s 的水驱油藏[11]：

进一步分析甲型含水变化规律理论建立过程，在其推理过程中引入了从艾富罗斯实验结果得来的线性关系[12]Swe=1.5Sˉw-0.5(1-Sor)，即将（16）式处理为特殊的线性关系，然后代入分流量关系（20）式中，并结合（22）式，得到（24）式。而文献［14］曾明确指出，只要存在线性关系Swe=1.5-0.5(1-Sor)，利用见水后Welge 方程，就可以直接得到含水变化规律R=a2-b2（1-fw）1/3。因此，国内部分经典水驱曲线理论的研究，看似引用了见水后Welge方程，其推理实质是将见水后Welge 方程的第二项简化为（1-Swi-Swe）/3，导致相同的油水相渗比值关系式得到不同的结果。

按文献［7］提供的水驱特征曲线正向推导方法，（23）式是无法转化为dWp=F(Np)dNp形式的微分方程，而（24）式可利用阶段产油量qo=dNp/dt，阶段产水量qw=dWp/dt，并结合fw=qw/(qw+qo)，可得

进一步取初始边界条件Np=Np0时，Wp=0，对（25）式定积分，可得

很明显，在国内应用广泛的马克西莫夫—童宪章（甲型）水驱特征曲线[15-17]，其对应的含水变化规律并不是Iraj Ersaghi 含水变化规律，而是甲型含水变化规律。同时，也进一步表明马克西莫夫—童宪章（甲型）水驱特征曲线的油水两相相渗比值关系式并不是指数式，即不是（18）式，而是文献［18］给出的

因此，从严格意义上讲，只有油水相渗比值符合（27）式时，油藏含水变化规律才适用于甲型含水变化规律。

4.2 便于确定水驱曲线对应的油水渗流特征方程

国内外油藏工程师提出了许多水驱曲线，这些曲线一部分是水驱特征曲线，一部分是含水变化规律曲线。其中，水驱特征曲线一般经微分可得到相应含水变化规律，再结合（16）式微分求解，可得到对应的油水渗流特征方程，此即文献［6］所称的反向推理方法。如文献［19］曾给出了如下最简单的水驱特征曲线：

对（28）式两边进行时间求导，并结合阶段产油量qo=dNp/dt，阶段产液量qL=qo+qw=dLp/dt=dNp/dt+dWp/dt，油井含水率fw=qw/(qw+qo)，可得

将（29）式代入（28）式，并结合R=Np/N，可得

将（22）式代入（31）式，得

再将（32）式代入（16）式，整理得

利用常数变异法求解非齐次线性方程（33）式的解。先求得齐次线性方程的通解为

再将（34）式中常数项C2换成fw的未知函数u(fw)，则

对（35）式求导，得

将（33）式和（35）式代入（36）式，整理得

求解（38）式的微分方程通解，得

将（39）式代入（35）式，整理得（33）式的解为

在水驱油过程中，存在初始边界条件，即（Swi，0）和（1-Sor，1），代入（40）式，得

将（19）式代入（41）式，得到（28）式对应的油水相渗关系式：

因此，水驱特征曲线（28）式的适用条件，是油水相渗比值关系式需满足（42）式。

若存在1-Sor-Swi=1.5b2(1-Swi)，那么（41）式转化为

若取μr(1-Sor-Swi)-3=50，那么，必然存在艾富罗斯两相渗流实验结果[5]：

以上推理过程进一步表明，艾富罗斯实验结果是（41）式在特定条件下的一种特殊情况，不仅要符合Swe=Swi时，fw=0；Swe=1-Sor时，fw=1 等初始边界条件。而且还要满足a2=1.5b2和μr(1-Sor-Swi)-3=50等特殊条件约束。再结合艾富罗斯实验的适用条件，即地下油水黏度比为1～10，将会造成(Sor+Swi)为0.992～0.999 992 或者(Soi-Sor)为0.000 008～0.008 000，这种现象在实际油藏中根本不可能发生。因此，艾富罗斯实验结果若是（43）式，则理论性会更好。

总之，利用油井见水后Welge 方程，不仅可以将含水变化规律（R～fw）或水驱特征曲线转化为油水渗流特征方程（Swe～fw）[20]，也可以将油水渗流特征方程转化为含水变化规律。因此，（16）式不仅可以描述油井见水后的油水饱和度推进方程，也是建立水驱油藏含水变化规律，确定水驱特征曲线与油水两相渗流特征方程之间相互关系的最基本、最重要的方程[21-29]。

5 结论

（1）在Welge 基本式的基础上确定的油井见水后Welge 方程，是实现水驱油藏含水变化规律或水驱特征曲线与油水两相渗流特征之间相互转化的关键方程。

（2）利用见水后Welge 方程，论证了油水两相相渗比值的关系为指数式时，其含水变化规律是经典Iraj Ersaghi 含水变化规律，而不是传统意义上的甲型含水变化规律。

（3）经典Iraj Ersaghi 含水变化规律不存在对应水驱特征曲线，而甲型含水变化规律对应水驱特征曲线为马克西莫夫—童宪章校正水驱特征曲线，即甲型校正水驱特征曲线。

（4）艾富罗斯实验结果是Np=A2-水驱特征曲线对应的油水两相渗流特征在特定条件下的一种特殊简化形式，不具广泛代表性。

符 号 注 释

a，a1，a2，A1，A2，b，b1，b2，B1，B2，c1，c2，C1，C2——待定参数；

f2——水驱或气驱油藏油层出口端含水率或含气率；

fg——油井（地下）含气率（对于单一油层，fg=fge）；

fg2，fge——水驱油藏油层出口端含水率；

fo——水驱或气驱油藏油层出口端含油率；

fw——油井（地下）含水率（对于单一油层，fw=fwe）；

fw2，fwe——水驱油藏油层出口端含水率；

fwf——水驱前缘含水率；

fwmin——油井初见水时的含水率；

Kro——油相相对渗透率；

Krw——水相相对渗透率；

Lp——累计产液量（Lp=Np+Wp），104t；

m，n——待定参数；

N——地质储量，104t；

Np——累计产油量，104t；

qL——阶段产液量（qL=qo+qw），t/d；

qo——阶段产油量，t/d；

qw——阶段产水量，t/d；

Qi——油层累计注入水或注入气孔隙倍数；

R——采出程度；

S2——水驱或气驱油藏油层出口端含水或含气饱和度；

Sav——水驱或气驱油藏见水或见气后油层平均含水或含气饱和度；

Sg2，Sge——气驱油藏油层出口端含气饱和度；

Soi——地层原始含油饱和度；

Sor——残余油饱和度；

Sw——油层某一截面含水饱和度；

Sw2，Swe——水驱油藏油层（油井）出口端含水饱和度；

Swf——水驱前缘含水饱和度；

Swi——束缚水饱和度；

Sˉg——平均含气饱和度；

——平均含水饱和度；

——水驱前缘后平均含水饱和度；

t——时间，d；

Wp——累计产水量，104t；

μo——原油黏度，mPa·s；

μr——地下油水黏度比；

μw——地层水黏度，mPa·s。