非线性Zener隔振系统的动态响应及迟滞特性分析

俞力洋，李国芳，吴少培，黄 然，丁旺才

(兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070)

橡胶材料因其非线性和黏弹特性而被广泛应用于各类隔振系统中,如高铁轨下橡胶垫板[1]、钢轨扣件弹性垫板[2]、空气弹簧橡胶囊[3]、汽车悬架减振器缓冲块等.为更准确地反映橡胶隔振系统的动态特性,前人基于弹簧-阻尼并联的Kelvin-Voigt模型和弹簧-阻尼串联的Maxwell模型提出了很多复杂的动力学模型,如Zener模型[4]、Berg模型、Dzierek模型及分数导数模型.

目前,人们对于橡胶隔振系统静力学特性的研究已较为成熟[5],而对其动态特性计算方法的探索却相对较少.宋康[6]等通过对液压悬置系统动力学方程的拉普拉斯变换,求得系统动刚度.杨俊等[7]通过对系统本构关系进行傅里叶变换,得到四种橡胶元件动力学模型的复模量,进而计算出系统的动刚度与阻尼.李万润等[8]基于ANSYS提出一种用来计算叠层橡胶隔震支座滞回曲线的多尺度模拟方法,并进行相关试验验证.韦凯等[9]用复模量法所得滞回曲线上最大位移点与最小位移点所得直线的斜率表示动刚度.周小智等[10]利用旋转矢量法计算了Maxwell模型表征的液压减振模型的动态特性.

上述文献均基于材料的本构模型,通过拉普拉斯变换或复模量法对橡胶材料的动态特性进行计算,使橡胶隔振系统动态特性的计算孤立于系统的振动响应.孙建锋等[11]将抗蛇形减震器简化为Maxwell模型,计算了系统的等效刚度和等效阻尼.陈国泰[12]基于Maxwell模型研究了抗蛇形减震器的动态特性,对高速动车组抗蛇形减震器稳定性展开研究.王孝然等[13-14]比较了不同类型强迫振动下Maxwell模型和Kelvin-Voigt模型的振动响应,对一种含有负刚度弹簧元件的三要素型动力吸振器模型进行了参数优化.

相对于分数导数模型及其他复杂组合模型,Zener模型(也被称为标准线性黏弹固体模型或三元件Maxwell固体模型)具有较少的系统参数,且其本身能够同时反映Kelvin-Voigt模型无法反映的松弛特性和Maxwell模型无法反映的蠕变特性,是进行橡胶隔振系统动态特性研究的较佳模型.本文采用非线性Zener模型表征橡胶隔振系统的非线性特性及迟滞特性.首先建立了系统运动微分方程并进行无量纲化,采用谐波平衡法计算了系统响应的近似解析解,并结合数值方法及UM软件仿真进行了响应对比,给出了一种基于模型近似解计算系统无量纲动刚度与滞后角的方法,分析了参数对系统多不变集共存区间及迟滞特性的影响规律.

1 系统的力学模型和运动微分方程

非线性Zener隔振系统的力学模型如图1所示,质量块M通过弹簧与阻尼串联的Maxwell模型和弹性力F=K(X+εX3)的非线性弹簧连接在支撑基础上,节点是位于Maxwell模型弹簧与阻尼中间的无质量点,质量块M在简谐激励Fsin(ΩT)作用下往复运动,X,Y分别为质量块和节点的位移.

图1 非线性Zener隔振系统

图1所示系统的运动微分方程为:

(1)

为更直观地体现橡胶等黏弹隔振系统的幅值相关性,引入外激励幅值F的对照参数Fs,并进行如下无量纲变换:

则方程(1)被无量纲化为:

(2)

2 系统的幅频响应

2.1 系统的幅频响应曲线

设图1所示系统的主振动为:

(3)

将(3)式代入方程(2),略去其中的高频项,可得关于质量块幅值A平方的一元三次方程:

(4)

方程(4)所得非负实数解为质量块的振动幅值,当所得解仅有一个正实根时,对应于系统幅频响应曲线的单解.当所得解为三个正实根时,对应于系统的三个共存周期解,分别是节点与质量块的两个稳定幅值和一个不稳定幅值.

系统质量块和节点的振动幅值与相角为:

(5)

利用公式(5)可得系统的幅频响应,并可结合数值方法及商业化软件UM对所得结果进行对比.图2为系统参数取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,p=2时,由谐波平衡法、数值方法及UM软件仿真所得的质量块幅频响应对比图,由图2可知:利用谐波平衡法所得非线性Zener隔振系统的动态响应可与数值方法及UM软件仿真结果良好匹配,受系统鞍结分岔的诱导,在正向扫频与反向扫频的两次“跳跃”之间,系统会出现两个稳定不变集与一个不稳定不变集的共存,记此处形成的多不变集共存区间为G.

图2 质量块幅频响应对比图

2.2 参数对系统幅频响应的影响

下面以μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,p=2为基准参数,研究参数μk、ξ、knl、p对系统幅频响应的影响,如图3所示.由图3(a)可以看出:刚度比μk增大时,质量块在低频范围内的振幅明显减小,同时系统多不变集共存区间G向右移动.由图3(b)可以看出:阻尼系数ξ增大时,质量块共振峰值大幅降低,系统多不变集共存区间G迅速向左收缩.由图3(c)可以看出:刚度非线性系数knl增大时,质量块在低频范围内的振幅减小,质量块共振峰值有所降低,且系统多不变集共存区间G迅速扩张并向右移动.由图3(d)可以看出:激励幅值p减小时,质量块在低频范围内的振幅减小,质量块共振峰值大幅减小,且系统多不变集共存区间G迅速收缩并向左移动.

图3 参数对系统幅频响应的影响

综上所述,增大刚度比μk、增大刚度非线性系数knl或减小激励幅值p,可降低系统在低频范围内的振动幅值,并使系统多不变集共存区间G向右移动;增大刚度比μk对系统多不变集共存区间G的长度和共振峰值影响不大;增大阻尼系数ξ会使系统共振峰值大幅降低、多不变集共存区间G迅速向左收缩,但不影响系统在低频范围内的振动幅值.在橡胶工业中,可根据上述规律选择恰当的系统参数,使系统多不变集共存区间远离机械设备的工作主频,达到避开橡胶隔振系统的非线性跳跃和分岔的目的.

3 系统的迟滞特性

3.1 系统的滞回曲线

工程中常用橡胶隔振元件动刚度与滞后角表征其动态特性,下面给出一种基于模型近似解析解计算系统迟滞特性的方法.对图1所示隔振系统进行受力分析可知,系统所受无量纲恢复力为:

F=x-y+μkx=knlx3.

(6)

上述关系代入公式(3)第2式可得:

(7)

式(7)中Asin(ωt+φ)即质量块位移x,则节点位移y可由质量块位移x表示为如下形式(其中n=0,1,2,…):

(8)

通过式(8)可得参数取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,ω=2.5、质量块振幅A=0.41时,通过质量块位移计算而得的节点位移,图4中红色实线为质量块位移x,黑色实线为节点位移y,绿色虚线为利用公式(8)第1式所得的节点位移y1(x),土黄色虚线为利用公式(8)第2式所得的节点位移y2(x),该图佐证了公式(8)的正确性.

图4 质量块位移x表示的节点位移y

将式(8)代入公式(6)可得系统无量纲恢复力F与质量块位移x之间的关系(其中n=0,1,2,…):

(9)

根据公式(9)可便捷地计算出系统的迟滞特性,更加便利于参数对系统动态特性影响规律的研究.通过公式(9)可知,系统的F-x图形为一个偏转的类椭圆.图5所示为参数取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,ω=2.5,A=0.41时,非线性Zener隔振系统的F-x曲线,即系统在该参数条件下的滞回曲线,其中Fmax、Fmin、xmax、xmin,分别为滞回曲线上力的最大、最小值以及位移的最大、最小值.

图5 系统的滞回曲线

由图5可以看出:非线性Zener隔振系统的F-x曲线不仅表现出非线性,而且还有明显的迟滞特性,因此该系统可呈现良好的隔振性能.图6为系统参数μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41,激励频率ω分别取1,2,4,8,16时,系统的滞回曲线,由图可以看出:激励频率ω从1增大至8的过程中,系统滞回曲线逐步倾斜,而图中ω=8与ω=16的蓝色回线与绿色回线非常接近,即当ω足够大时,系统的滞回曲线将不再偏转.

图6 不同激励频率下系统的滞回曲线

3.2 系统的无量纲动刚度与滞后角

为更清晰地反映系统滞回曲线随激励频率ω变化时的偏转趋势,可基于公式(9)所得滞回曲线(图5)的几何特征,利用动刚度的传统计算方法(公式(10)),便捷地计算出非线性Zener隔振系统的无量纲动刚度kd.

(10)

图7为系统参数μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41时,模型无量纲动刚度kd随激励频率ω的变化规律,由图可以看出:当激励频率ω<10时,随着ω的增大,系统无量纲动刚度kd急剧增加,当激励频率ω>15时,系统无量纲动刚度随ω的变化很小.

图7 激励频率ω对系统无量纲动刚度kd的影响

公式(10)为橡胶隔振系统动刚度的传统计算方法,该计算结果仅取决于滞回曲线上的四个点,对于非线性Zener隔振系统动刚度的计算,容易产生较大的误差.本文后续无量纲动刚度的计算均基于最小二乘法对所得滞回曲线的全部数据点进行线性拟合,所得拟合直线的斜率即系统的动态刚度kd,该方法可以避免个别数据点的偏离对计算结果的影响,且最小二乘法在MATLAB中可通过式(11)所示的简单指令实现.

kd=polyfit(x,F).

(11)

基于图5所示的滞回曲线,利用公式(12)可计算出非线性Zener隔振系统的滞后角η.

(12)

式中,F0为质量块位移x为零时系统的无量纲恢复力,Fmax为系统无量纲恢复力的最大值.

图8为参数取时μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41,非线性Zener隔振系统滞后角η随激励频率ω的变化规律,由图可以看出:非线性Zener隔振系统滞后角η随着激励频率ω的增大先急剧增大后缓慢减小,在该参数条件下,系统滞后角η在激励频率ω=2.4处达到最大值ηmax=18.876 3°.

图8 激励频率ω对系统滞后角η的影响

3.3 系统参数对系统动态特性的影响

图9(a)～(c)为基准参数μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41时,系统刚度比μk、阻尼系数ξ、刚度非线性系数knl对系统无量纲动刚度的影响规律.由图可以看出:相同激励频率下,刚度比和刚度非线性系数的增大会使系统无量纲动刚度也随之增大;阻尼系数的增加不影响系统在高频激励下的无量纲动刚度,而在低频范围内,阻尼系数的增大加剧了系统无量纲动刚度随激励频率增大的速率.

图9 系统参数对无量纲动刚度kd的影响

图10(a)～(c)为基准参数μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41时,系统刚度比μk、阻尼系数、刚度非线性系数knl对系统滞后角η的影响规律.由图可以看出:刚度比和非线性系数的变化不影响系统最大滞后角的发生频率,在相同激励频率下,刚度比和非线性系数的增加会减小系统滞后角;阻尼系数的增加虽然不影响系统最大滞后角,但会使系统的最大滞后角的发生频率向低频方向移动.

图10 系统参数对滞后角η的影响

3.4 激励频率和振幅对系统动态特性的影响

早在1965年,Payne就发现橡胶材料的动态模量具有振幅相关性,后来的学者发现影响衬套力学性能的因素主要为振幅、频率和温度[15].由公式(9)～(11)也可以看出:非线性Zener隔振系统的动刚度kd和滞后角η除与系统参数(阻尼系数ξ、刚度比μk、刚度非线性系数knl)有关之外,还与激励频率ω、质量块位移幅值A密切相关.

图11为参数取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3时,系统无量纲动刚度受质量块振动幅值A的影响规律,由图11可以看出:相同激励频率下,系统动刚度kd会因质量块振动幅值A的增大而增大.

图11 质量块振动幅值对系统无量纲动刚度kd的影响

图12为不同质量块振动幅值下,系统滞后角η随外激励频率ω的变化情况,由图可以看出:增大质量块振动幅值A会使滞后角η的最大值降低,且η最大值对应的外激励频率ω也有微幅增大.

图12 质量块振动幅值对系统滞后角η的影响

综上所述,随着激励频率的增加,系统无量纲动刚度先增大后趋于稳定;系统阻尼系数的增加会增大系统无量纲动刚度随激励频率变化的速率,同时使滞后角曲线向左移动;系统刚度比、刚度非线性系数、振动幅值的增加会使系统无量纲动刚度增大,同时使系统滞后角减小.工程中可根据实际需求调整系统无量纲动刚度及滞后角,使橡胶隔振系统呈现更佳的动态特性.

4 结论

本文采用非线性Zener模型表征橡胶隔振系统,求得系统近似解析解,并利用多种方法进行了解析解正确性的验证,分析了参数对系统多不变集共存区间和动态响应的影响规律,给出了一种基于模型近似解析解计算橡胶隔振系统无量纲动刚度与滞后角的方法,得出以下结论:

1)谐波平衡法所得系统振动响应可与数值方法及UM软件仿真结果良好匹配,为非线性Zener模型的求解提供了一种方法参考.

2)受模型非线性因素的影响,非线性Zener隔振系统呈现出多不变集共存现象,刚度比μk的增大使系统多不变集共存区间向右移动,阻尼系数ξ主要影响系统多不变集共存区间的长度,而非线性系数knl和激励幅值p的增大使系统多不变集共存区间G在急剧放大的同时也发生了向右的移动.

3)在系统响应近似解的基础上,可便捷地计算出系统的迟滞特性;随着激励频率ω的增加,系统无量纲动刚度kd先增大后趋于稳定;系统刚度比μk、刚度非线性系数knl、振动幅值A的增加会使系统无量纲动刚度kd增大,同时使系统滞后角η减小;系统阻尼系数ξ的增加会增大系统无量纲动刚度kd随激励频率变化的速率,并使系统滞后角曲线向左移动.

上述研究结果与方法,可为黏弹性隔振系统的动态设计提供一定的理论依据,从而达到避开橡胶隔振系统的非线性跳跃和分岔的目的,使橡胶隔振系统呈现更佳的动态特性.