角平分线模型及应用

陈诗玉 邹兴平

[构建模型]

几何问题中有角平分线，可根据图1所示的辅助线引法，构建基本模型.

模型1：如图2①，在△ABC 中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，BC = 6，BD = 4，则点 D到直线 AB 的距离等于BC - BD.

模型2：如图2②，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，则AP平分∠BAC.

学法指导：如图2③，过点P分别作AB，BC，AC的垂线.

模型3：如图3①，AC平分∠DAB， BC = CD，则∠ADC + ∠B = 180°.

学法指导：以角平分线为对称轴进行翻折，其原理是轴对称性质，可利用截取或作垂直等方式进行操作. 如图3② ，以AC为对称轴，作△ABC的轴对称图形△AEC;如图3③，以AC为对称轴，作△ADC的轴对称图形△AEC;如图3④，过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥AD于点G.

模型4：如图4，P 是∠MON的平分线上一点，过 P 作 PQ[⫽]ON，交 OM 于点Q，则△POQ 是等腰三角形.

模型5：如图5，P 是∠MON 的平分线上一点，AP⊥OP，A在OM上，延长AP交ON于点 B，则△AOB 是等腰三角形.

1.（1）如图6①，AD是△ABC 的外角平分线，P是AD上异于点A 的任意点，比较 PB + PC 与 AB + AC 的大小，并说明理由;（2）如图6②， AD 是△ABC 的角平分线，其他条件不变，比较PC - PB 与 AC - AB 的大小，并说明理由.

学法指导：（1）联想模型3，如图6③，在BA的延长线上取一点E，使AE = AC，连接EP，得 PB + PC > AB + AC;（2）联想模型3，如图6④，在AC上取一点E，使AE = AB，连接EP，得 PC - PB < AC - AB.

2.如图7，已知等腰直角三角形 ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD 平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为 E. 求证：BD = 2CE.

學法指导：联想模型3，延长BA，CE交于点F.

3.（1）如图8①，△ABC 中，EF[⫽]BC，D 在 EF 上，BD，CD 分别平分∠ABC，∠ACB，写出 EF 与 BE，CF 的数量关系;（2）如图8②，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACG，DE[⫽]BC，交 AB 于 E，交 AC于 F，写出 EF 与 BE，CF 的数量关系;（3）如图8③，BD，CD分别为∠CBM，∠BCN 的平分线， 过点D作BC的平行线，交AB的延长线于E，交 AC的延长线于F，写出 EF与 BE，CF 的数量关系.

学法指导：联想模型4，得出结论：（1）EF = BE + CF;（2）EF = BE - CF;（3）EF = BE + CF.