具有双时滞的分数阶SIQR谣言传播模型的分岔分析∗

叶茂林,蒋海军,2†

(1.新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017；2.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000)

0 引言

数学模型可以用于研究谣言的传播,对谣言的控制起着重要作用.在谣言传播动力学中,Daley和Kendall在1964年建立了SIR仓室模型[1].近年来,谣言传播模型的动力学分析成为研究的热点,Yu[2]等建立了在线社交网络中的2I2SR谣言传播模型,分析了模型的稳定性并进行了最优控制,给出谣言传播的控制策略.时滞在谣言传播过程中具有重要影响,学者们开始以时滞为分岔参数,研究具有时滞的谣言传播模型的分岔行为[3−4].

分数阶微积分是整数阶微积分的推广,由于具有良好的记忆效应和遗传效应,广泛应用于生物数学、传染病模型、神经网络[5−7].谣言的传播过程是具有记忆效应的过程[8−10].Singh在文献[11]中基于Mittag-Leffler定律对分数阶SIR谣言传播模型进行分析,得出分数阶的阶数对系统的动力学行为具有一定的影响.Graef[12]等建立了类传染病的分数阶SIR社交网络模型来检查用户对线上社交网络的采取与放弃,并利用真实历史数据进行拟合,来检验模型的有效性.Ren[13]等在异构网络中考虑具有随机过程的分数阶SIR谣言传播模型,并研究了系统平衡点的稳定性.因此,利用分数阶微分方程理论研究谣言的传播过程具有十分重要的现实意义.

本文考虑了具有双时滞的分数阶SIQR谣言传播模型,对模型进行分析,得到以不同时滞为分岔参数的分岔点的位置和分岔条件.

1 模型建立及预备知识

考虑如下的分数阶(0<αi<1,i=1,2,3,4)时滞谣言传播模型:

其中:S(t),I(t),Q(t),R(t)分别表示谣言易感者、传播者、隔离者、恢复者的密度.模型其它参数及解释如下:A表示谣言易感者的移入率,β表示谣言的接触传播率,b1表示抑制强度,d为因对谣言失去兴趣而移出的概率,b2表示官方对谣言传播者进行教育的概率,c1和c2分别表示传播者不再传播谣言而转变成恢复者的概率,τ1和τ2为谣言传播过程中的时间延迟,〈k〉为社交网络的平均度.

现在,给出Caputo型分数阶导数的定义及其相关性质.

定义1[14]Caputo型分数阶导数为

引理1[15]考虑n维多时滞的线性分数阶系统

其中:qi∈(0,1)为分数阶求导的阶数,x(t)=(x1(t),x2(t),···,xn(t))为状态向量,τij>0为时间延迟,xi=φ(t),−maxτij=−τmax≤t≤0,i,j=1,2,···,n为系统(2)的初始条件,A=[aij]n×n∈Rn×n为系统(2)的系数矩阵,可以得到系统(2)的特征矩阵为:

引理2[16]若特征方程det(∆(s))=0的所有根均具有负实部,则系统(2)的零解是渐近稳定的.

2 主要结果

2.1 以τ1为分岔参数

假设〈k〉βS∗−(b2+d+c1)>0.经过简单计算,可得到系统(1)的谣言盛行平衡点为P∗(S∗,I∗,Q∗,R∗),其中

其中

系统(3)在(0,0)处的特征矩阵如下:

因此,系统(3)相应的特征方程可以写成如下形式:

其中:Re[ρ1(iω1)],Im[ρ1(iω1)],Re[υ1(iω1)],Im[υ1(iω1)]出现在等式(10)中.

引理3令λ(τ1)=ξ(τ1)+iω(τ1)是等式(4)在τ1=τ10附近的满足ξ(τ10)=0,ω(τ10)=ω1的根,下面的结论成立:

定义分岔点为

定理1若假设(H1)满足,如果则有

(1)当τ1∈[0,τ10)时,系统(1)的平衡点P∗是渐近稳定的.

(2)当τ1=τ10时,系统(1)在平衡点P∗处发生Hopf分岔,而且在τ1=τ10周围有一簇从P∗分岔出的周期解.

2.2 以τ2为分岔参数

等式(4)有如下的等价形式:

引理4令λ(τ2)=ξ(τ2)+iω(τ2)是等式(16)在τ2=τ20附近满足ξ(τ20)=0,ω(τ20)=ω2.那么,我们有如下结论成立:

对等式(25)两边同时平方得

定理2若假设(H2)满足,如果则有

(1)当τ2∈[0,τ20)时,系统(1)的平衡点P∗是渐近稳定的.

(2)当τ2=τ20时,系统(1)在平衡点P∗处发生Hopf分岔,而且在τ2=τ20周围有一族从P∗分岔出的周期解.

3 数值模拟

这部分给出两个实例来验证理论结果的正确性.我们选择A=0.02,〈k〉=10,β=0.05,d=0.02,b1=0.15,b2=0.01,c1=0.05,c2=0.04,α1=0.98,α2=0.96,α3=0.94,α4=0.92.然后,系统(1)变成如下系统:

经计算,我们得到谣言盛行平衡点

例1τ1>0,τ2>0(τ2∈[0,))

经计算,可以得到¯ω1=0.070 1,=23.58和ω1=0.074 7,τ10=1.50.我们分别选择τ2=22<,τ1=1.3<τ10和τ2=22<,τ1=1.50=τ10,结果见图1、图2.

图1 系统(28)的状态轨迹,τ2=22<¯τ20,τ1=1.3<τ10

图2 系统(28)的相图,τ2=22<,τ1=1.50=τ10

例2τ1>0,τ2>0(τ1∈[0,))

图3 系统(28)的状态轨迹,τ1=8<,τ2=9.1<τ20

图4 系统(28)的相图,τ1=8<,τ2=9.28=τ20

4 结论

本文利用分数阶微分方程理论对具有双时滞的分数阶SIQR谣言传播模型的分岔进行分析,得到了模型分别以不同的时滞为分岔参数而发生分岔的充分条件,为多时滞分数阶模型的分岔研究提供了思路.最后,给出两个数值实例验证了结论的正确性.