考虑表面接触力的滑靴副油膜特性分析方法

马纪明, 王梓腾, 王凯落

(北京航空航天大学 中法工程师学院， 北京 100191)

引言

油膜特性是影响柱塞泵摩擦副的磨损、泄漏和寿命的关键因素。目前国内学者对于柱塞泵的柱塞副和配流副的油膜特性进行了很多研究[1-3]。斜盘-滑靴运动副(滑靴副)是液压柱塞泵的关键运动副之一。滑靴副的油膜特性，尤其是油膜厚度，显著影响液压柱塞泵的性能与寿命。为探明滑靴副特性的内在影响因素，国内外学者对滑靴副的润滑特性和动力学特性进行了很多的研究。马纪明等[4]结合三维N-S方程和任意拉格朗日-欧拉(ALE)描述方法，计算多种工况下滑靴副的油膜厚度。由于滑靴副油膜间流体流动速度低，具有明显的层流特性，所以在油膜特性的计算方法中，雷诺方程被广泛使用。李迎兵[5]利用雷诺方程研究了滑靴副油膜的动态特性。张雪超[6]利用雷诺方程对液压柱塞泵的滑靴副、柱塞副的油膜特性进行了研究。RICHARDSON D[7]等利用热雷诺方程和能量方程研究了滑靴表面结构对滑靴副油膜厚度和温度分布的影响。同时，研究者开展了大量的实验研究，也间接证实了基于雷诺方程进行数值计算，是一种分析油膜特性的有效方法。

滑靴副油膜厚度大小可以由滑靴副油液泄漏量推断。BERGADA J M等[8]通过理论研究和设计试验得到了转速、出口压力和斜盘角度与滑靴副泄漏量的关系。根据文献[9]以及油膜试验研究结论[10]，液压柱塞泵滑靴副油膜厚度通常在数微米范围内波动，白国庆[11]研究认为斜盘式液压柱塞泵滑靴最佳油膜厚度为7～10 μm。在高压、低转速、低黏度介质等恶劣工况下，滑靴副油膜厚度更低甚至会导致运动副的薄膜润滑状态。实际运行工况下，滑靴副的润滑类型包含了流体动压润滑、流体静压润滑和弹性流体动压润滑等，因此属于混合润滑[12]，滑靴副在膜厚尺度上也属于混合润滑的范畴之内。

关于滑靴副油膜特性，研究者针对特定的润滑状态，侧重不同角度开展了大量研究。于思淼[13]假设滑靴副处于完全润滑状态，建立楔形油膜模型和滑靴副压力流量负反馈系统模型，以2个模型为理论基础，考虑滑靴所受的力和力矩与滑靴副楔形油膜模型的耦合关系计算油膜特性。孙红梅等[14]则根据弹性流体动力润滑理论，基于弹流润滑模型，对考虑磨损的滑靴副油膜进行了研究。王月鹏等[15]考虑了动压效应对滑靴副油膜特性进行了数值计算。当前针对滑靴副油膜的研究，大都是假设滑靴副处于完全润滑状态，基于流体动压或静压理论，分析滑靴副在复杂运动和受力情况下的油膜厚度、压力分布及泄漏特性。忽略了运动表面形貌不规则导致的油膜特性变化。

本研究仍基于理想雷诺方程，但认为滑靴副处于混合润滑状态，考虑混合润滑情况下表面接触力，将接触力引入滑靴副的运动和受力分析方程。表面接触力的引入会显著影响油膜厚度的分析结果。还阐述了基于雷诺方程和有限差分法的滑靴副油膜计算方法及数值计算的流程，并针对某型液压柱塞泵滑靴副进行了分析计算，通过对比分析结果与实验经验数据，验证了提出方法的有效性。

1 滑靴副油膜特性计算方法

1.1 滑靴副计算域

本研究的液压柱塞泵滑靴副结构如图1所示，滑靴底面主要由滑靴油池、辅助支撑、封油带以及贯穿辅助支持带的通油槽组成。滑靴副的油膜特性主要是指封油带部分滑靴和斜盘之间的部分，油膜厚度h由工况、介质属性以及结构尺寸综合确定。

图1 滑靴结构示意

本研究对油膜特性的流体计算区域位于滑靴封油带处，以滑靴底面中心为原点建立的柱坐标系：以滑靴圆周方向为θ方向，以滑靴底部圆半径方向为r方向，以滑靴轴线方向，即油膜厚度方向为z方向。提出的油膜计算方法，只针对封油带油膜特性进行计算，计算域如图2阴影区域所示。在滑靴副计算域中，考虑滑靴绕斜盘中心旋转的离心力导致的绕其x轴的倾覆角度φx，见图2。

图2 滑靴副计算域

1.2 计算流程

油膜计算流程如图3所示，根据设定的初始条件，利用中心油膜厚度法计算油膜厚度场，而后利用雷诺方程与有限差分法对油膜压力场进行数值计算。根据得到的油膜厚度场与压力场，基于牛顿力学定律、计算运动学定律及摩擦学原理，计算滑靴所受的力与力矩。若此时滑靴所受合力与合力矩在误差范围之内不满足平衡条件，则对油膜厚度与倾覆角进行调整，重复上述过程，直到滑靴在误差允许范围内满足平衡条件。

图3 油膜特性计算流程

2 滑靴受力分析

油膜计算前，需要对滑靴副计算域进行受力分析，滑靴受力示意图见图4。根据滑靴在分布圆上位置以及入口、出口压力，计算柱塞底部压紧力Fp；根据滑靴和柱塞特性及工况，计算柱塞与滑靴惯性力Fi、离心力Fc和摩擦力Ff；基于雷诺方程计算滑靴油膜支撑力Foil；以及离心力、 摩擦力和油膜支撑力引起的滑靴倾覆力矩Mc,Mf和Moil。

图4 滑靴受力示意图

滑靴副绕斜盘中心旋转，在工况稳定的情况下油膜会达到一个动态的平衡。本研究不考虑滑靴运动过程中在吸油区与排油区切换带来的动态效应。假设滑靴在分布圆上某个工作位置处于稳定状态。

滑靴在z轴方向受力平衡方程见式(1)：

Foilcosφycos (π-γ+φx)=W+Fp+Fi

(1)

式中，W—— 滑靴与斜盘表面刚体接触引起的支撑载荷

φx，φy—— 滑靴在绕其x,y轴的倾覆角

此外，由于柱塞与缸体之间的摩擦力远小于柱塞底部的液压力且难以准确计算，因此可以忽略不计。

滑靴绕x轴旋转的力矩平衡公式见式(2):

Moil=Mf+Mc

(2)

滑靴所受力矩由滑靴所受离心力、摩擦力与油膜支撑力产生。

式(1)中的油膜支撑力Foil和式(2)中的Moil，需要基于雷诺方程，经数值结算得到。式(1)中的表面接触支撑载荷W，须基于摩擦学原理，并综合考虑滑靴副表面粗糙度、油膜厚度以及材料属性计算获得。

2.1 表面接触支撑力

滑靴与斜盘运动副表面在微观尺度下均为粗糙表面，表面的轮廓峰高度分布可视为满足高斯分布，图5a为滑靴副表面接触示意图。

图5 两粗糙表面接触情况

当油膜厚度为h时，只有粗糙表面轮廓峰高度大于h的部分才与光滑表面发生接触。由于接触点而产生的支撑力W为[12]：

(3)

式中，nc—— 等效粗糙面表面粗糙峰数量

E′ —— 等效粗糙表面的当量弹性模量，可视为滑靴的弹性模量

R′ —— 等效粗糙平面的当量曲率半径，可看作等效粗糙表面粗糙度的3倍

e—— 自然常数

本研究滑靴的材料为锰黄铜，弹性模量E′≈100 GPa；根据滑靴与斜盘接触表面粗糙度，计算得出等效粗糙表面的粗糙度σ。等效粗糙表面粗糙峰数量nc与表面粗糙度及其加工方式有关。根据对不同机械加工表面轮廓峰密度的研究[16]，可知不同加工方式获得的机械加工表面粗糙度与表面轮廓峰密度的关系见表1。

表1 加工方式与表面轮廓峰密度D

2.2 油膜支撑力

滑靴副油膜支撑力Foil(见图4)由2部分组成：封油带处油膜提供的支撑力Fy与油池油液提供的支撑力Fs。

滑靴封油带处的油膜压力场p0基于流体润滑雷诺方程计算，在稳定状态下，其一般形式为：

(4)

根据液压柱塞泵工况，对滑靴封油带处油膜做出如下假设：

(1) 封油带处油液为连续不可压牛顿流体；

(2) 封油带处油液做层流运动，且紧贴固体表面的油液与固体没有相对滑动；

(3) 油液的体积力与惯性力相对于表面力较小，可忽略不计；

(4) 压力沿油膜厚度方向没有变化；

(5) 滑靴处在稳定状态，忽略油膜厚度的动态变化。

根据以上条件，给出滑靴副的速度边界条件如下，其中，油液在滑靴表面周向速度为：

(5)

式中，Rs—— 柱塞分布圆半径

γ—— 斜盘倾角

ω—— 滑靴角速度

油液在斜盘表面周向速度为：

U|h=H=0

(6)

因此可知U=ωRs，其中H代表斜盘所在位置的竖坐标。

油膜在滑靴底面的径向速度为封油带油液泄漏量与油膜厚度之差，远小于油液在滑靴底面的周向速度，因此可认为V|h=0=0；油膜在斜盘表面的径向速度为0，即V|h=H=0，由此可得V=0。

基于以上边界条件，得到简化的雷诺方程：

(7)

式中，h——r,θ位置的油膜厚度

μ—— 油液的动力黏度

采用有限差分法对式(7)进行数值求解。首先对式(7)中的参数进行无量纲化，得到标准形式(8)：

(8)

式中，p,H,R,θ分别为压力、油膜厚度、周向坐标、径向坐标对应的无量纲量。

式(8)形式较为复杂，难以得出解析解。通过有限差分法进行数值解算(算法见第3节)，得到封油带处的油膜压力分布p0。

根据油液的连续性原理，即进入滑靴副油池的油液流量与滑靴副通过封油带泄漏的油液流量相等，可间接计算油池压力ps。

通过阻尼孔进入滑靴油池的流量Q1为:

(9)

式(9)中，Rf为阻尼孔的液阻，其数值只与油液黏度及阻尼孔结构有关。Rf的计算公式为：

(10)

式中，Lz—— 阻尼孔长度

Rz—— 阻尼孔半径

由滑靴副封油带泄漏的流量Q2为:

(11)

式中，Hc—— 中心油膜厚度

R1—— 封油带内径

R2—— 封油带外径

po—— 液压柱塞泵的回油压力

将式(9)～式(11)联立得到油池压力ps：

(12)

进而可以推导出油膜支撑力Foil：

(13)

式中，p—— 通过雷诺方程式(8)计算得到的油膜压力场

S—— 封油带面积

2.3 其他受力

平衡方程中所涉及的其他力与力矩均可根据运动学及动力学定律得到，其计算公式分别为：

柱塞底部压紧力Fp：

(14)

式中，Rp—— 柱塞半径

pc—— 柱塞底部所受液压力

柱塞做轴向运动时所受惯性力Fi：

Fi=mzRsω2tanγcosθ

(15)

式中，mz为柱塞质量。

滑靴旋转所受离心力Fc：

Fc=msω2Rs

(16)

式中，ms为滑靴质量。

滑靴副的摩擦力可以看作由粗糙峰的接触摩擦与油液的黏性摩擦两部分组成。在存在润滑的情况下，滑靴与斜盘表面接触的摩擦系数较小，因此滑靴副的摩擦可等效为油液的黏性摩擦力Ff：

(17)

离心力矩Mc：

Mc=Fc·Lm

(18)

式中，Lm为柱塞球头到滑靴质心的距离。

摩擦力矩Mf：

Mf=Ff·Lo

(19)

式中，Lo为柱塞球头到滑靴底面中心的距离。

2.4 油膜厚度分布计算

目前常见的描述滑靴副油膜厚度场的方法有2种：中心油膜厚度法与三点油膜厚度法，均是通过滑靴姿态计算其与斜盘之间的距离来描述油膜厚度的方法。本研究使用中心油膜厚度法来描述滑靴副油膜厚度场。

图2为利用中心油膜厚度法描述油膜厚度场的示意图，图中Hc为中心油膜厚度。滑靴处封油带的油膜厚度场即为滑靴平面到斜盘平面的距离，主要由滑靴姿态决定。易知计算域内任意一点(r,θ)油膜厚度为：

(20)

3 数值计算方法

3.1 计算域离散化

根据计算精度要求，需要将计算域离散化，分别沿θ方向、r方向、z方向平均划分为72×33×10的网格。根据划分的网格，可将二阶标准无量纲形式的雷诺方程中的偏导形式转换为差商形式：

(21)

式中，pi,j表示θ方向第i个、r方向第j个小格的无量纲的压力; dθ, dR分别表示θ,r2个方向的2个相邻格点间无量纲间距。将式(21)中的差商关系代入式(8)中,可整理得到网格中某一点的压力与周围网格点的压力关系。根据设置的边界条件进行迭代计算即可得到油膜压力场的数值解。

3.2 结构与工况参数

对滑靴副油膜特性进行数值计算，还需要给定封油带内外侧的压力边界条件。

由于封油带外侧油液与壳体内油液相连，因此设封油带最外侧压力为p=po|r=R2；封油带内侧压力为油池压力p=ps|r=R1，由油液的连续性原理计算得出；初始油膜厚度根据油膜厚度的通常数值确定，可设置初始中心油膜厚度大小为Hc=1 μm。

3.3 结构参数与工况参数

计算所涉及的滑靴副关键参数如表2所示，为便于对照滑靴结构对滑靴副油膜特性影响，设定两种不同封油带尺寸进行对比计算。

表2 结构与工况参数

4 滑靴副油膜计算结果

根据所述方法对某滑靴副的油膜特性进行计算，发现影响表面支撑力的主要因素是滑靴副的密封带尺寸，见图6。

图6 结构/转速与支撑力关系

滑靴副密封带尺寸也显著影响油膜间隙泄漏，见图7，油膜压力分布见图8，及油膜厚度见图9、图10，同时，与王海吉等[17]的研究结论一致，滑靴副油膜特性对滑靴封油带内外径与阻尼孔长度与直径极为敏感。

图7 结构/转速与间隙油膜泄漏关系

图8 油膜压力分布

图9 油膜厚度(结构1)

图10 油膜厚度(结构2)

5 结论

(1) 液压泵滑靴副运动时处于混合润滑状态。 本研究提出的考虑斜盘和滑靴表面接触力影响的滑靴副油膜特性(油膜厚度、压力分布、油膜间隙流量)的分析与计算方法，能够用于计算滑靴副在真实工况下的油膜厚度；

(2) 滑靴副油膜厚度与滑靴副密封带结构尺寸关系密切。基于本研究提出的油膜计算方法，能够支持开展滑靴副油膜的设计优化，保证最优设计效果。