高中生数学概念学习错误的成因及矫正策略*

徐 方 (江苏省新海高级中学 222006)

葛爱通 (江苏省赣榆高级中学 222100)

1 问题提出

概念是思维的基本形式之一，是人们在认识自然、改造自然过程中从感性认识上升到理性认识，把所感觉到的事物的共同特征抽象出来加以概括和整理，形成思维体系的基本构筑单位．由于在认知过程中各种原因的积淀形成了一些模棱两可、是非不定的前概念或错误概念，没有及时采取矫正措施，日积月累直接影响高中生数学学习的进程，使得学生努力学习但数学成绩不能提高，导致学生厌学、误学．

建构主义认识论认为，认识、学习的过程不是简单地输入和储存信息的过程，而是主动地将原有知识、经验和新信息进行比较、分析、判断、选择和重组．建构的过程是同化和顺应，当新知识与原有知识结构和思维方式相符时就被同化，否则就会被排斥，当然也可能经修正、重组后再被吸收．由皮亚杰的认知发展论可知，同化是引起认知结构量的变化，而顺应是引起认知结构质的变化，顺应的难度远大于同化．高中生虽然具备了一定的批判性思维和逻辑推理能力，但由于自我控制意识能力存在显著的差异，固有的思维方式根深蒂固，在建构、重组过程中难以摆脱原有构想．因此，研究和矫正因错误的前概念而产生的相异构想是高中数学教师面临的一个极其有价值的问题．

2 高中生错误前概念形成的原因分析

2.1 直觉印象根深蒂固

在传统的平面教学中，教师通常不重视平面概念的教学，表现在只借助“平静的水面”“光滑的桌面”等物象展开告知的教学.这样的教学设计，学生得到的只是静态的、僵化的、没有迁移能力和发展潜力的概念，学生不能真正理解“平面的无限延伸性”.教师以为靠“生活实例+直观想象”，学生就能理解平面的概念，这是过高估计了学生的数学抽象能力．教学时应在学生已有的认知基础上——直线的概念和一个平面内不平行的两条直线相交，通过作直线的交点的方式来得到平面的公共点，让学生在动手操作中去体会平面的无限延伸性．

例如，如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与平面ABCD的交线．

图1

2.2 初中学习形成的隐性错误前概念的延伸

在学习抛物线的几何性质时，笔者给出这样一道题：已知抛物线方程y=4x2，写出焦点坐标和准线方程．很多学生很快给出答案：焦点坐标为(1,0)，准线方程为x=-1．答案错了，错在受初中学过的抛物线y=ax2的影响，没有区分现在学习的抛物线虽然形状一样，但研究的方法、体系不一样，标准形式也不同．高中阶段的抛物线是从方程的角度，用代数的方法研究其几何性质，而初中学习的抛物线是从函数的角度研究其性质．

2.3 初、高中认识衔接不当

2.4 解题不严密形成的错误构想

教师上课时为了节省时间，在板书时总会省略或跳过原始公式而直接写出推论．这种一步到位的做法会让学生养成不按“理”列式计算的坏毛病．解题过程大量使用“二级结论”使学生产生依赖思想，认为只要记住结论就能顺利解题了．事实上解题过程应该是根据题目的已知条件，依据学过的概念、公理、定理或课本上经过证明的推理一步一步求出结果的过程，而不是简单的罗列和利用一些所谓“巧妙”的结论直接得出结果．

生1：因为函数f(x)是奇函数，所以有f(0)=0，代入直接求得a=1．

师：你觉得你的解法正确吗？

生1：我觉得蛮对的，以前老师就是这么讲的(这个授课班级是高二分班后笔者新接的班)，是不是老师您错了？(这时教室里发出一些笑声，一个学生站起来反驳.)

生2：题目说函数f(x)在其定义域上是奇函数，x=0未必在定义域中，所以这道题应分开讨论：当x=0在定义域中时，有f(0)=0，代入直接求得a=1；当x=0不在定义域中时，有2x+a=0，得a=-1，所以正确答案应为a=1或a=-1．

生1(有点不好意思)：老师，我明白了，我漏解了．

2.5 主观臆断形成的错误构想

数学教材一般都是从正面阐述概念，这容易使学生形成思维定势，妨碍对概念的深刻理解，造成主观臆断形成的错误构想．在数学中，“相等”是一种非常重要的关系，两个函数相等的充要条件是定义域相同、对应关系一致，这里对“对应关系一致”的理解是“任意一个自变量所对应的函数值相等”．函数概念的辨析要围绕函数三要素这个整体，聚焦在对应关系这个核心．

2.6 认知层次达不到要求形成的错误构想

李邦河院士提出“数学是玩概念的”．数学概念既是判断和推理的起点，更是思维的重要形式之一，概念的理解是数学理解的基础．在概念学习时，由于学生认知思维的差异，导致认知层次的差异，达不到对概念的深刻理解，挖掘不出概念的内涵和外延以致产生一些不必要的错误构想．如函数零点概念的学习，很多学生认为函数的零点就是使方程等于零时函数图象与x轴交点的坐标．

在建构数学概念过程中，无意间在大脑中丢下一粒错误的种子，在适当的条件下就会生根发芽，形成形式各异、是非不定的前概念或错误概念．数学史中的大量事实证明，错误认知在不断地接受新事实的批判和改良，重新建立新的概念和构想．

3 矫正的策略

3.1 及时发现是矫正的前提

矫正错误的前提是要让学生明白自己的认知是错误的．例如在解“函数奇偶性”有关题目时，很多学生都会直接用“若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0”这个结论．其实教师只要追问一下“奇函数成立的条件”，或许问题就可以解决．由于学生的错误概念暴露的机会比较少，因此发现得越及时越好．开展小组合作学习，组内同伴相互交流时可以将隐蔽的错误概念显露出来，当学生发现自己的认知与别人不同时就会产生认知冲突，引发思考后经过顺应过程形成正确的认知．因此用小组合作学习方式矫正学生相异构想的效果比较好．

3.2 调整教学顺序，顺应学生的思维抑制错误构想

3.3 利用逻辑思维的严密性，冲击错误概念形成的新认知

从错误的概念或构想出发，一步一步经过严密的推理论证，推导出相互矛盾的结果，可矫正因错误的概念而产生的构想．

3.4 概念形成与概念同化融合，顺应矫正相异构想

我们知道概念获得有两种基本形式：概念形成和概念同化．概念形成侧重于归纳发现，对应于布鲁纳的发现式学习，而概念同化则本质上是用演绎方式学习概念，对应于奥苏贝尔的有意义接受学习，在我国表现为启发式教学．因数学概念的“二重性”，数学概念从具体形象到表象再到抽象的层次性和多元表征，使得数学概念的学习往往需要将概念形成和概念同化融合使用而不能孤立起来．例如在学习任意角的三角函数时，学生往往对“任意角”产生相异构想(因为初中学习的是建构在直角三角形中的锐角三角函数)，这时应帮助其简单回顾，确立三角函数是刻画周期现象的数学模型，通过函数视角，探寻从物理到数学，从运动到对应，同化顺应，按“函数—任意角三角函数—锐角三角函数”建构概念，从而矫正学生对任意角三角函数的相异构想．

3.5 养成“抠理”和表达规范的习惯

理解数学中关键的字词时要对字词的意义作出合理的解释，如任意、存在、无数、所有、至多、至少、变化率、平均变化率、在点处的切线、过点的切线等字词的意义，可通过讨论、查字词典的形式辨别．在数学中有相同的字眼表达的意义也不相同，在定理、公理的教学中，教师甚至应该把主谓宾、定状补成分“抠”出来进行细分析，在学生看来教师的“抠”没有必要，但教师不“抠”，学生就会形成零碎而复杂的错误认知，“抠”可以讲得更明确，减少相异构想．在立体几何“直线与平面垂直”的教学中，课本(苏教版必修2)上是这样定义的：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α垂直．这时，教师就要“抠出”任意与无数的区别，以防止学生产生相异构想．

4 结束语

在生活和学习中的无意间，大脑中都会留下错误的种子，从而产生相异构想．如果在留下错误种子之前先把它转变成正确的种子，错误的种子就不会发芽；发现错误的种子发芽时及时清除，杂草就不会长大；杂草根深蒂固时斩草除根，正确的禾苗照样茁壮成长．矫治学生因错误的前概念而形成的相异构想，要让学生错误前概念显现出来，再利用逻辑推理、分析比较、实验体会、规范表达等策略进行综合矫治．高中数学教学中矫治错误概念中相异构想是一个长期的、反复的、螺旋上升的过程．