基于几何相位超表面的Ince-Gaussian矢量涡旋光场聚焦

张雪妍，郁步昭，王吉明*，吴 彤，赫崇君，刘友文，路元刚

(1.南京航空航天大学 理学院， 南京 211106；2.南京航空航天大学 空间光电探测与感知工业和信息化部重点实验室， 南京 210016)

引 言

超表面由亚波长尺寸的周期性谐振微元构成，是一种可以灵活调控电磁波的超薄的表面器件。当电磁波入射该谐振微元时，可产生异常的相位突变。通过设计不同的微结构以及微结构的旋转角度等，改变几何相位(geometric phase,GP)的积累，可以实现对电磁波振幅、相位、偏振的调制。1956年，喇曼实验室的PANCHARATNAM提出电磁波在偏振态转化过程中会产生一个额外的相位[1]。1984年，英国的BERRY提出了几何相位的概念[2]，因此几何相位也称PB相位(Pancharatnam-Berry,PB)[1-2]，其数学含义是一个内在的拓扑效应。在设计超表面时，通常应用不同旋转角的纳米粒子产生几何相位突变，并以此调控光束。

在光学设计中，聚焦是最基础的功能之一，用超表面透镜代替传统的光学元件，可以减小介质厚度差异和曲面误差，从而避免球差。2012年，抛物线梯度几何相位理论应用于线偏振转换超表面的设计[3]，通过调整各个偶极天线的方向角φ，局部相位突变为±2φ，正负号由入射旋性决定。2014 年，基于Si的全介质超表面开始用于替代透镜使用[4]。2016 年，一种以SiO2为基底、TiO2为微结构的超表面被报道，在可见光波段可作为高数值孔径和高效率的超透镜[5]。现有研究表明，超表面有望在便携式成像系统、加密信息传输、光捕获与光操控、激光超精细加工等领域获得实质性应用[6-9]，实现波束整形、超分辨成像、全息成像、光子信息转换等功能[10-14]。

厄米-高斯光束(Hermite-Gaussian beam,HGB)和拉盖尔-高斯光束(Laguerre-Gaussian beam,LGB)，分别是自由空间傍轴波动方程(paraxial wave equation,PWE)在直角坐标和圆柱坐标下的已知精确解。2004年，BANDRES等人在椭圆柱面坐标下求得PWE的精确解析解，并引入构成PWE的精确解和正交解的第3类傍轴波动方程完整解系的因斯-高斯(Ince-Gaussian,IG)模式光束，IG模式是HGB和LGB之间的连续过渡模式[15-17]，有望被应用于微粒操控[18-19]、光学通信[20-21]等领域。正交偏振的IG奇模和偶模叠加，可生成具有丰富空间结构的复杂矢量光场[22-23]。进一步引入涡旋相位，携带轨道角动量的IG矢量涡旋光具备了更加丰富的信息。

本文中基于几何相位控制原理，设计并优化了超表面结构，使其针对Ince-Gaussian矢量光依然具有良好的聚焦功能，同时研究了IG矢量涡旋光经超表面的聚焦特性。

1 超表面相位调控及聚焦原理

光在改光学元件中传播时，由于不同位置的厚度不同，光在介质中积累的相位不同，可实现波前的调控，即斯涅耳定律。以透镜为例，从中心到边缘的厚度呈梯度变化，所产生的光程差会形成一定的梯度。对于超表面，该定律可以进行推广，即广义斯涅耳定律。电磁波通过超表面，会产生一定梯度的相位突变。

根据费马原理，光从一点传播到另一点时，无论传播路径如何，其光程保持一定。如图1a中的折射模型，有：

k0nisinθidx+(φ+dφ)=k0ntsinθt+φ

(1)

式中，k0=2π/λd为波数，λd为设计所需的工作波长，ni和nt分别为入射和透射介质的折射率，θi和θt分别为入射和透射光路与法线的夹角，φ和φ+dφ是两条光路通过不连续界面时相位不连续产生的相位变化。设定波长为λ0，推得广义斯涅耳的折射公式[24]：

(2)

Fig.1 Generalized Snell’s law schematic

同理，根据图1b中的反射模型，有：

k0nisinθi+(φ+dφ)=k0nisinθr+φ

(3)

式中，θr为反射介质折射率，广义斯涅耳定律的反射公式为[24]：

(4)

(4)式表明，只要改变每一点的相位突变dφ/dx，使其呈一定的梯度变化，即可实现对波前的灵活调控。若想实现聚焦功能，则需要将超表面上的相位梯度设计成抛物线分布，每一点相位分布应满足：

(5)

式中，f为焦距，rNF为微结构所在位置到超表面中心的距离。在实际设计时，设工作波长为λd，表面上位于(x，y)的纳米微粒所产生的相位突变φNF为[5]：

(6)

根据相位突变值为超表面纳米结构指向角的2倍，位于(x，y)的纳米结构沿轴向旋转角度θNF为[5]：

(7)

2 超表面的结构设计及优化

2.1 聚焦超表面的优化过程

首先结合线偏振光，设计并优化初始的聚焦超表面结构。聚焦波长532nm的线偏振光，以长方体TiO2为微结构，长250nm，宽95nm，高600nm，在SiO2的衬底上以325nm为周期按四边形排成晶胞，如图2a所示。根据聚焦公式(7)式，确定不同位置微元的特定旋转角度，设计焦距为4μm。图2b为532nm的线偏振光通过该原始超表面(见图2a)后，焦点位置的xy横截面的光强分布，图2c为轴向xz面的光强分布。可以看出，该结构对线偏振光有初步的聚焦功能，但聚焦特性不理想。进一步优化TiO2的结构，将长方体改为椭圆柱，其它参量不变。图2d为初始结构经过第1次优化后的微结构为椭圆柱结构，椭圆的长轴为250nm，短轴为95nm，椭圆柱高600nm。在以SiO2的衬底上，4个椭圆柱为一组，以正方形晶胞排布成阵列。以532nm的线偏振光入射，横向和轴向的聚焦特性如图2e和图2f所示。相比于初始结构，该优化结构能较好地实现紧聚焦，表明聚焦特性有了显著的提升。需要注意的是，聚焦场沿轴向为约2000nm的长焦深，也意味着透过超表面轴向聚焦特性有待提升。

Fig.2 Optimization of linear polarization focusing metasurface

为进一步优化聚焦特性，第2次优化过程在保持图2d中微元结构和材料不变的基础上，调整微粒的排布使其更趋近于环状分布，将原有的4个微元组成的正方形晶胞优化为7个微元组成的正六边形晶胞，如图2g所示。以532nm的线偏振光照射该超表面，得到的图2h、图2i分别为焦点位置横向和轴向的光强分布图。从图2h可以看出，相比于优化前的聚焦场，有着更少的杂散光和旁瓣。图2i中，沿轴向光场聚焦也更集中，表明优化后的整体结构可以在设计好的焦距位置有效汇聚光场。

经过两次优化后得到的聚焦超表面结构如图3所示。图3a中以SiO2为衬底，厚度H=600nm，上方微元呈椭圆柱结构，由TiO2制成，长轴R1=250nm，短轴R2=95nm，高度H=600nm；每个椭圆柱之间的间距D=325nm，如图3b所示，7个微元为一组构成正六边形晶胞；图3c为线偏振聚焦超表面结构。

Fig.3 Parameters and performance of metasurface

2.2 针对IG矢量光场的超表面优化

沿z轴传播的傍轴场为U=Ψ(ξ,η,z)eik0z，其中(ξ,η)是轴上位于z处的光束横截面上的坐标，Ψ满足近轴波动方程。在椭圆坐标系中，得到波动方程的解为高斯光束调制形式并在右侧插入因斯多项式的乘积，得到奇偶IG模式的一般表达式[15]：

(8)

(9)

而IG矢量光场可以由两个具有偶模和奇模IG模式的正交偏振分量叠加构成，用琼斯矢量表示为:

(10)

式中，Ge,px,mx,εx和Go,py,my,εy分别为x、y偏振分量，下标px,mx,εx和py,my,εy分别是光场x分量和y分量IG模式的阶数、级数、椭圆参量，δ是x、y分量之间的相位延迟。

为了适用于IG矢量光，这里仍采用线偏振聚焦的正六边形超表面结构，因该结构对不同偏振态都有相同的汇聚能力，所以理论上并不影响聚焦效果。选取4阶的IG矢量光为入射光场[23]，其入射光场强度分布及聚焦光场如图4所示。其中，图4a为波长532nm的4阶IG矢量光场强度分布；图4b经过正六边形聚焦超表面后焦平面处的光场强度分布。可以发现，该结构虽然能够起到汇聚的作用，但对于IG复杂矢量光场，内部强度信息并不能很好在聚焦场中体现，所以需要进一步优化结构。

对整体结构分析，能够影响聚焦特性的因素之一是正六边形的空间方位角。此处，作者尝试将具有六边形晶胞的超表面结构整体逆时针旋转30°，仿真结果如图4c所示。与优化前相比，焦平面位置的光场强度信息更完善、详细。进一步对比入射光场与聚焦光场，提取电场的x方向分量Ex和y方向分量Ey，如图4d所示，从左到右分别依次为：4阶IG矢量光场入射光(见图4a)的Ex分量、Ey分量；经过优化超表面结构后的聚焦场(见图4c)中的Ex分量、Ey分量。对比分析可以发现，经优化后，主要空间强度结构信息在聚焦过程中能够实现较好的传递。

3阶IG矢量光场的聚焦场空间结构较4阶聚焦场更为简单。进一步对3阶IG矢量光场的超表面聚焦进行研究，如图5所示。其中，图5a为波长532nm的3阶IG矢量光场，图5b为3阶IG矢量光场的超表面聚焦场横向平面的光强分布，图5c为3阶IG矢量光场的超表面聚焦场在轴向平面的光强分布。从图中可以看出，3阶IG矢量光场聚焦后内部强度信息同样有缺失，但IG模式的基本结构仍然可以保持。分析图4b与图5b，观察到经超表面得到的不同阶聚焦场均呈现一定的非轴对称性，表现为一、三象限与二、四象限的聚焦光斑强弱不同。这主要是受具有六边形晶胞的超表面结构的整体旋转角度所影响。结构设计时，通过中心旋转超表面至适当的角度可减弱这种非轴对称性，从而实现优化。

Fig.4 Structure optimization of the 4th-order IG vector light field focusing metasurface

3 IG矢量涡旋光场的超表面聚焦

在研究IG矢量光场聚焦特性基础上，进一步研究携带轨道角动量的IG矢量涡旋光场的超表面聚焦特性。

3.1 涡旋光的超表面聚焦

为研究具有涡旋相位的IG矢量光，首先研究优化后的六边形超表面结构是否能对涡旋光聚焦。图6a中，入射光为拓扑荷数L=-5的532nm环状涡旋光；图6b和图6c中，Ex和Ey分量具有相反的涡旋相位，整个环上为5个周期,在[-π,π]之间周期变换，且x和y之间存在π/2的相位延迟，其中图6b关于纵轴互为反相，图6c关于横轴互为反相。

经过超表面聚焦后得到焦点位置光场如图6d所示。可以发现，该结构对涡旋光在4μm的焦点位置也能够较好聚焦，但环状上光强分布并非理想均匀化分布，这与超表面正多边形晶胞结构有关。图6e和图6f分别为焦平面聚焦场的Ex分量和Ey分量的相位。可以看出，环带上相位分布呈现0～2π循环交替的5个周期。对比聚焦场Ex分量(见图6e)和Ey分量(见图6f)的相位可发现，两者之间同入射场一样存在π/2的相位延迟。至此，可以判断该聚焦结构可以用于涡旋光的聚焦实验。

3.2 IG矢量涡旋光的超表面聚焦特性

对4阶IG矢量涡旋光进行聚焦。考虑分量Ex具有涡旋相位，拓扑荷数L=-1，Ey分量无涡旋相位，结果如图7所示。图7a中从左至右为入射的4阶IG矢量光，入射光Ex分量的相位和Ey分量的相位。图7b中从左到右为焦点位置横截面的电场强度，聚焦场x分量的相位和y分量的相位。对比图7b中Ex分量的相位和Ey分量的相位，可以发现两者之间存在着π/2的相位差。焦点位置的电场与入射的4阶IG矢量涡旋光比较，表现为聚焦后光场结构对称性的破缺。原因在于将Ex和Ey分量叠加后相位正负情况相反，引起的振幅减弱，所以聚焦后的结果存在信息缺失，仅保留了正负一致的重叠部分，与拓扑电荷Lx=-1有关。进一步研究较为简单的3阶IG矢量涡旋光，分析聚焦特性。

Fig.6 Electric field and phase distribution of annular vortex light after focusing

Fig.7 The 4th-order IG vector light field and metasurface focusing field(Lx=-1,Ly=0)

图8a从左至右依次为：3阶IG矢量光的Ey分量相位分布；拓扑荷数L=-1时，Ex分量相位分布；L=1时，Ex分量相位分布。图8b从左至右依次为：拓扑荷数L=-1时，焦点处横向的电场强度；聚焦光场Ex分量的相位分布；聚焦光场Ey分量的相位分布。保持其它条件不变，变换Ex分量拓扑荷数L=1，经由超表面聚焦得到图8c，从左至右依次为：焦点处横向的电场强度；聚焦光场Ex分量的相位分布；聚焦光场Ey分量的相位分布。对比拓扑荷数L=-1和L=1时的聚焦场，图8a中的Ex分量相位分布在[-π,π]之间，且关于纵轴反相。对比聚焦后的结果(见图8b和图8c)，可以观察到L=-1的结果和L=1的结果也是相反的。

进一步研究矢量场中涡旋相位与聚焦场结构破缺的关系，保持Ex分量为平面相位，Ey分量携带涡旋相位，聚焦场及相位分布如图9所示。图9a中从左到右依次分别为：Ex分量相位分布；L=-1时Ey分量相位分布；L=1时Ey分量相位分布。图9b和图9c中从左到右依次为L=-1和L=1时，焦点横截面场强分布、Ex和Ey分量相位分布。可以看出，Ey分量携带涡旋相位时，聚焦场特征与前述所归纳的结论类似，聚焦场不再具有对称性。不同之处在于，Ex分量携带涡旋相位时，聚焦场在横向上对称性被破坏，而Ey分量携带涡旋相位时，聚焦场在纵向上有对称性的破缺，且当L=-1时，上方结构破缺，而L=1时下方结构破缺。这证实了聚焦场的信息缺失与相位涡旋的旋向有关，当旋向相反时得到的结果相反。对其它不同拓扑荷数L进行分析，可以得到相似的结果。如图10所示，仅Ey分量携带涡旋相位，其中图10a为L=-0.5时焦点横截面场强分布，图10b为L=0.5时焦点横截面场强分布。同样在聚焦场纵向上产生破缺，且L=-0.5时，上方结构破缺，L=0.5时，下方结构破缺，符合前述结论。

Fig.8 The 3rd-order IG vector light field and metasurface focusing field(Lx=±1,Ly=0)

Fig.9 The 3rd-order IG vector light field and metasurface focusing field (Lx=0,Ly=±1)

Fig.10 The 3rd-order IG vector metasurface focusing field

4 结 论

本文中以3阶和4阶IG矢量涡旋光场为例，研究了复杂矢量光场的超表面聚焦特性。研究结果表明，IG矢量光场经超表面的聚焦场保持原有的基本空间结构，中心结构信息会有损失，与设计的结构的尺度有关。IG矢量涡旋光场聚焦后出现了空间结构对称性的破缺，来源于涡旋相位的存在。因此，复杂矢量光场的聚焦不单单和超表面结构有联系，还和入射矢量光场的空间结构有关，在进行相关超表面设计时，需同时考虑超表面聚焦性能和入射光场的矢量结构，二者的相关匹配度如何提升还需要进一步研究。