Boussinesq方程的经典李群分析及群不变解和行波解

林府标，杨欣霞

(贵州财经大学 数统学院，贵州 贵阳 550025)

流体力学Boussinesq孤立子方程为[1-3]

(1)

可用于研究弦的非线性振动、浅水波、电磁学、非线性介质材料中的电磁波、非线性晶格、等离子体等许多物理现象.方程(1)可视为描述顺流方向可变剪切流动变系数Boussinesq方程的退化形式.孤子理论自孤子被命名之后，取得了突飞猛进的发展[3].各个领域中的孤子方程相继被建立、发展和完善，求解非线性孤波方程的各种解析法及非线性方程[2，4-5]的各种性质相继被发现、发展和成熟.如纯代数方法[2]，李群分析法[6-8]，Tanh函数法和广义Tanh函数法[2，9-11]，齐次平衡法[2，12]，正余弦函数法[9]，Riccati方程法[13].一般普适性的求解技巧需要数学方法上的创新，挖掘和构造更多解析求解方法是有价值和实际意义的[1-13].

1 李群方法

1.1 向量场及群分类

用经典李群方法[6-8]研究方程(1)，设接受的算子为

X的4阶延拓向量场为

其中，ηt，ηx，ηtt，ηxx，ηxxx，ηxxxx定义为

ηt=Dt(η)-uxDt(ξ)-utDt(τ)，ηx=Dx(η)-uxDx(ξ)-utDx(τ)，

ηtt=Dt(ηt)-utxDt(ξ)-uttDt(τ)，ηxx=Dx(ηx)-uxxDx(ξ)-uxtDx(τ)，

ηxxx=Dx(ηxx)-uxxxDx(ξ)-uxxtDx(τ)，ηxxxx=Dx(ηxxx)-uxxxxDx(ξ)-uxxxtDx(τ)，

其中，Dx和Dt分别是关于x和t的全微分算子，从而有

因此，方程(1)的决定方程为

X(4)P(t，x，u)|(1)=(ηtt-(1+2u)ηxx-4uxηx-2uxxη+ηxxxx)|(1)=0，

(2)

令uxxxt，uxxxx，uxxx，uxxt，uxx，uxt，ux，ut的各项系数为零，得超决定方程组

τuux+τx=0，τt+τuut-2ξuux-2ξx=0，ξt+ξuut=0，

ηuu=0，2ηxu-3ξxx=0，2ηtu-τtt=0，ηx=0，

2ξx-ηu-2τt=0，τtt=0，ξxx=0，η+2ξxu+ξx=0，ηtt=0，ηu=-2ξx.

因此，解之得方程(2)的通解为

ξ=c1x+c2，τ=2c1t+c3，η=-2c1u-c1，

其中c1，c2，c3为任意常数.

李代数L3的换位运算见表1.

表1 李代数L3的换位运算Tab.1 The table of commutators for the Lie algebra L3

依据表1，内自同构可写成：

求解李方程，对应的李群为：

其中，σi(i=1，2，3)分别是李群Ai(i=1，2，3)的群参数.

定理2设c为常数，李代数L3的最优化子李代数系统为：

span{X1}，span{X2}，span{cX2+X3}，span{X1，X2}，

span{X1，X3}，span{X2，X3}，span{X1，X2，X3}.

1.2 群不变解

其中U(z)满足约化方程

8U+7zU′+z2U″-4U′2-4UU″+4U(4)=0.

向量场X2的群不变量是J1=t，J2=u，于是，方程(1)的群不变解可假设为u(t，x)=φ(t)，而φ(t)满足约化方程φ″(t)=0.因此，方程(1)的精确解为u(t，x)=λ1t+λ2，其中λ1，λ2是任意常数.

向量场cX2+X3的群不变量是J1=x-ct，J2=u，因此，方程(1)的群不变解可假设为

u(t，x)=U(ξ)，ξ=x-ct，

(c2-1)U″-2U′2-2UU″+U(4)=0.

(3)

2 广义Tanh函数法

受前人工作的启发和在文献[9-10]的基础上，用广义Tanh函数法求方程(1)的行波解.平衡式(3)中UU″与U(4)项，可假设方程(3)的解的表达式为

U(ξ)=q0+q1φ(ξ)+q2(φ(ξ))2，

(4)

其中，φ=φ(ξ)满足方程φ′(ξ)=b+φ2(ξ)，b为常数，其精确解可从文献[9-10]中的表3选取.将式(4)代入方程(3)，得

令φk(k=0，…，6)的系数为零，得

采用吴消元法解之，得到

于是方程(1)的行波解为

(5)

其中，φ=φ(ξ)可依据b的值及符号，从文献[9-10]中的表3选取，行波解(5)的结果列于表2.

表2 Boussinesq方程(1)的显式行波解Tab.2 Explicit new exact solutions of Boussinesq equation (1)

3 φ(ξ)展式法及行波解

3.1 φ(ξ)展式法

非线性力学和非线性数学物理中著名的Burgers方程为

ut+uux-uxx=0，

(6)

可用于交通车辆的流动问题、流体力学、非线性声学、气体动力学等学科领域.方程(6)的行波解、孤立波解及解析解法受到诸多领域学者们的关注[2-3，13].下面考虑方程(6)的约化方程及其精确解的应用.首先设u(t，x)=φ(ξ)，ξ=x-ct是方程(6)的解，其中c是常数，标志行波速度.则得到

二是在劳动关系存续期间，雇主即研究机构作为知识产权所有人对其雇员产生的职务发明有保护和开发的义务。在职务发明人将关于发明的书面报告送达雇主的4个月内，只要雇主书面向发明人宣布占用此发明，则所有关于这项发明的权利均属于雇主，雇主即研究机构在享有专利的同时承担申请、维护、转化等方面的全部费用。

φ″=φφ′-cφ′，

(7)

对方程(7)两边关于变量ξ积分一次，记κ是积分常数，得

(8)

设方程(8)的解可写成φ(ξ)=b0+b1tanh(σξ+a1)+b2(tanh(σξ+a1))2，其中，b0，b1，b2，σ，a1是待定常数.将φ(ξ)的表达式代入(8)式，得

令(tanh(σξ+a1))i，i=4，3，2，1，0的系数为零，得

解得b0，b1，b2，σ为：

因此，方程(8)的解为：

类似地，采用初等积分法及试探函数法，可得方程(8)的其他类型的精确解，结果列于表3.

表3 方程(8)的显式精确解Tab.3 Explicit exact solutions of equation (8)

鉴于受Tanh函数法和前人工作[2，9-13]的启发，利用Burgers方程的变换方程(8)及表3中的精确解，构造解析求解非线性偏微分方程

P(u，ut，ux，utt，uxx，uxt，…)=0

(9)

的φ(ξ)展式法，算法的主要步骤和思想阐述如下：

第一步 作行波变换ξ=x-ct，其中c为常数，表示波速.若假设方程(9)的行波解形如u(t，x)=U(ξ)，则方程(9)变形约化成关于U的常微分方程

P(U，-cU′，U′，c2U″，U″，-cU″，…)=0.

(10)

第二步 若可能，可先对方程(10)两边关于变量ξ同时积分一次或多次，针对高阶微分方程则可降阶和减少计算量，然后假设方程(10)的精确解的表达式可写成

U(ξ)=d0+d1φ(ξ)+…+dn(φ(ξ))n，

(11)

其中φ=φ(ξ)满足方程(8)，具体表达式可依据κ的符号从表3中选取.一般地，借助于齐次平衡原理[2，12]及通过平衡方程(10)中最高阶导数项和非线性项，可确定正整数n，而di(i=0，1，…，n)为待定实参数.

第三步 将表达式(11)的U=U(ξ)代入方程(10)，采用数学软件REDUCE或MATLAB结合式(8)反复计算整理之后，令φj(j=0，1，…)的各项系数分别为零，则可找到关于di(i=0，1，…，n)，κ和c的非线性代数方程组.

第四步 采用吴消元法结合数学软件REDUCE或MATLAB计算，把获得的参数di(i=0，1，…，n)和c代入方程(11)，根据κ的符号从表3中选取对应的函数表达式φ=φ(ξ)，可进一步找到方程(9)的行波解.

3.2 Boussinesq方程的行波解

采用Burgers方程的变换方程(8)及φ(ξ)展式法探寻方程(1)的行波解.依据(8)式，平衡(3)式中U(4)与UU″或U′2项，得n=2，可设方程(3)的解为

U(ξ)=p0+p1φ(ξ)+p2(φ(ξ))2，

(12)

其中pi(i=0，1，2)为待定实常数，φ=φ(ξ)满足方程(8).将式(12)代入式(3)，得关于pi(i=0，1，2)，κ，c的方程

令φi(i=0，…，6)的系数为零，得

用吴消元法，解之得

因此，方程(1)的行波解为

(13)

其中φ=φ(ξ)可从表3中选取，解(13)的具体结果列于表4.

表4 方程(1)的显式精确解Tab.4 Explicit exact solutions of equation (1)

行波解(13)的部分投影和空间图像见图1，类似地可研究行波解(5)和其他的行波解(13).借助于图像可方便地探究自由参数对行波解的动力学性态、波的类型和传播波的周期性的影响.选取最优的自由参数，对准确刻画孤波现象的特征和新兴交叉领域行波解的应用是有研究价值和实际意义的.

(A)c=1；(B)c=1.5；(C)c=2；(D)c=1；(E)c=1.5；(F)c=2图1 行波解(13)的空间图像Fig.1 Spatial graph of travelling solution (13)

图1中(A)、(B)、(C)选取参数ε=1，a1=0.3，κ=0.1，φ=φ(ξ)取表4中的序号4，当波速c=1，1.5，2时，行波解(13)在空间体现出不同的冲击波特征和结构.当波速c=1时，孤立波是倒立的反钟状型，随着波速的逐渐递增，孤立波开始呈现倒立的周期性反冲击波特征.图1中(D)、(E)、(F)选取参数ε=1，a1=0.3，κ=0.1，φ=φ(ξ)取表4中的序号5，当波速c=1，1.5，2时，行波解(13)在空间展现出不同的冲击波特征和性态，当波速c=1时，孤立波是钟状型，且随着波速的递增，孤立波具有明显的周期性.图1中行波解的空间特征和动力学性质各异，本质是φ=φ(ξ)的表达式选取不同，这表明式(13)给出了多种类型的行波解.这些直观投影和空间图像，对理解浅水波、孤波现象的动力学性态，深入研究Boussinesq方程(1)的多种类型新孤立子波解及解析求解方法和技巧是有理论参考价值和实际借鉴意义的.

4 结语

本文给出了Boussinesq方程的李群分析、群不变解及行波解.应用Burgers方程的约化变换方程及其精确解构造了φ(ξ)展式法.构造的φ(ξ)展式法可用于求解其他非线性偏微分方程，如Kuramoto-Sivashinsky方程ut+uux+puxx+ruxxxx=0，Cadrey-Dodd-Gibbon方程ut+(uxxxx+30uuxx+60u3)x=0，形变Boussinesq方程ut+vx+uux+puxxt=0，vt+(uv)x+quxxx=0，Boussinesq方程utt+puxx+q(u2)xx+ruxxxx=0，其中p，q，r为常数.如何求出方程(8)的更多精确解，值得在今后的科研工作中探究及数学方法上的创新.