基于Ω 粒子的手性特异材料中的古斯-汉森位移

黄艳艳，印钱柳，于 祥，于忠卫

（南通大学 理学院，江苏 南通 226019）

在几何光学上，当光由光密介质入射至光疏介质且入射角大于临界角时，会发生全反射现象，反射点与入射点的位置相同。然而，1947 年Goos 和Hänchen 利用多次全反射的方法在实验上发现全反射时反射点相对于入射点发生了一个侧向偏移，这个侧向位移就是古斯-汉森（Goos-Hänchen，GH）位移[1]。1948 年，Artmann 从理论上利用反射光与入射光存在相位差，对GH 位移作出解释并推导了GH位移的表达式，即稳态相位法[2]。随着研究的深入，GH 位移不仅出现在全反射情况，还出现在部分反射及透射情况。由于GH 位移在传感器、光学器件等方面具有潜在应用，所以，对GH 位移的增强与调控，以及利用GH 位移设计各类光学器件的研究越来越多[3-5]。目前，对GH 位移的研究更多地向特殊结构、新型材料转变，如：金属介电复合材料[6-8]、光子晶体[9-11]、Parity-Time（PT）对称结构[12-13]、石墨烯材料[14-16]、电磁超材料[17-21]等，在不同的结构、不同的条件下，产生正或负的GH 位移，调控GH 位移的增强和正负之间的转变。

手性特异材料作为一种新型的电磁功能材料，具有电磁场交叉极化特性，在净化电磁污染、消除反射杂波等诸多方面存在着应用前景，成为电磁学和材料科学等领域的研究热点。研究发现，在各向同性的手性特异材料表面，对于横电波（transverse electric wave，TE 波）入射，反射光束的侧向位移在赝布儒斯特角附近得到增强，并可以通过手性参数来调控侧向位移的正负增强和增强峰的个数[19-20]。由于材料空间上的各向异性，使得材料本身的结构特点及材料参数对侧向位移产生很大的影响，因而，对手性材料的研究也由各向同性向各向异性拓展。对于单轴各向异性手性特异材料，在横磁波（transverse magnetic wave，TM 波）入射情况下，材料的两种（强和弱）手性对共同极化反射光束的侧向位移会产生不同的影响[21]。对于之前的单轴各向异性手性特异材料，没有考虑实际制备的材料，以及材料的色散特性，因此，在本文中，我们选择四重叠旋转Ω 粒子构成的手性特异材料[22]，因为构成单元结构所用的材料为金属银，实际制备时相对容易，手性特异材料的单元结构如文献[22]中图4 所示。结合实际制备的材料通常具有各向异性及色散特性，我们对基于Ω 粒子的单轴各向异性手性特异材料中的反射光束侧向位移进行研究，主要探讨入射频率、入射角、手性材料的厚度对反射光束侧向位移的正负及增强的影响。

1 模型和理论

在本文中，基于四重叠旋转银Ω 粒子构造的色散单轴各向异性手性特异材料，其厚度为d，结构如图1 所示，且光轴沿着oz 方向与界面垂直。手性材料的电磁本构关系为

图1 光轴垂直于各向异性手性平板材料时的反射光束共同（交叉）极化分量偏移效应Δco（Δcr）示意图Fig.1 Schematic diagram of reflection beam shifting of the co-polarization（cross-polarization）Δco（Δcr）when optical axis is perpendicular to anisotropic chiral slab

其中：ε0、μ0分别是真空中的介电常数和磁导率；[ε]、[μ]和[κ]分别为各向异性手性材料的相对介电张量、磁导率张量和手性参数张量，其形式为

在式（2）中，垂直于光轴（横向）和平行于光轴（纵向）的介电常数分别为εt和εz，相应磁导率为μt和μz，κ是描述电磁耦合的手性参数。基于Ω 粒子共振模型，横向介电分量、磁导率分量及手性参数的形式[22]为

其中：εb和μb分别为基底材料介电常数和磁导率；ω0为共振频率；Ωε、Ωμ和Ωκ为共振项系数；γ为损耗系数。

各向异性手性材料中存在两个本征模（右旋圆偏振光和左旋圆偏振光），通过推导右旋（左旋）圆偏振光的波数kR（kL）的表达式为

其中：

θR（L）是手性材料中右旋圆偏振光和左旋圆偏振光的折射角；R 对应+号，L 对应-号。

考虑平面电磁波以角度θi从空气入射到单轴手性平板材料，在区域z≤0 中，电磁场可以表示为

在区域z≥d中，透射电磁场可以表示为

在公式（5）和（6）中省略了时谐关系e-iωt，η0=为真空中的波阻抗，透射角和反射角满足θt=θr=θi，透射和反射波数满足kt=kr=ki=k0=。下标⊥和‖分别表示平面电磁波的垂直（TE）和平行（TM）分量。

在单轴手性平板区域0≤z≤d中有四束圆偏振光，电磁场表达式可以表示为

式中：下标R 和L 分别表示右旋圆偏振光和左旋圆偏振光；+号和-号分别代表沿+z方向的入射和沿-z方向的反射。

将式（4）代入kR（L）sin θR（L）=k0sin θi，可以求出手性材料中的折射角θR（L）。

根据z=0 和z=d处的边界连续性条件，可以推导出8 个方程：

式中：Rss和Rsp（Rsp和Rpp）分别表示TE 波（TM 波）入射时产生的垂直和平行分量的反射系数；Tss和Tps（Tsp和Tpp）分别表示TE 波（TM 波）入射时产生的垂直和平行分量的透射系数。

对于任意的反射系数有Rab=，根据稳态相位法给出反射光束的GH 位移的表达式为

由于表达式的解析形式较为复杂，因此这里就不再给出。其中φab为反射系数的相位，共同极化反射分量和交叉极化反射分量的GH 位移分别为Δco=Δss（Δpp），Δcr=Δps（Δsp）。

2 分析与讨论

为了解单轴手性平板材料中反射光束的偏移效应，我们讨论了反射光束中共同极化和交叉极化分量的反射率和相对GH 位移，本文中仅考虑TM波入射的情况。对于Ω 粒子共振模型，采用含基底材料的参数模型[22]：εb=3.173 8，μb=0.979 9，ω0=1.865 1 THz，γ=0.055 19ω0，Ωε=0.153 7，Ωμ=0.062 7，Ωκ=0.098 6。对于手性材料中纵向介电分量与磁导率分量的取值为εz=3+0.01i，μz=1。

图2 为入射频率为1.5ω0时，在不同的手性厚度下，共同（交叉）极化反射分量的反射率和相对GH 位移Δpp/λ（Δsp/λ）随入射角的变化情况。首先，对于共同极化反射分量，当手性材料厚度较小时（d=1.30λ），共同极化反射率随着入射角出现两个极小值，说明存在两个布儒斯特角。分析认为，由于手性材料中存在右旋圆偏振光和左旋圆偏振光两种本征传播模，两种光波对应的折射角也不相同，而圆偏振光可以分解为垂直分量和平行分量，从而导致反射光束中的平行分量（即共同极化分量）在两个不同的入射角处出现极小值，即存在两个布儒斯特角。相对GH 位移Δpp/λ 在两个布儒斯特角处均得到增强，负和正增强分别对应较小和较大的布儒斯特角，相比之下，GH位移的正增强峰值（120λ）要远大于负增强峰值（5λ），如图2（a）和（c）所示。随着厚度的增加，其中较小的布儒斯特角出现明显的右移，即布儒斯特角增大，相对GH 位移的增强峰也向大角度移动并伴随峰值增大；而对于较大的布儒斯特角也出现微弱的右移，相对GH 位移的增强由正变负。由此可见，通过改变手性材料的厚度，可以实现GH 位移的正负增强的转换，同时在转换过程中出现更大的正增强或负增强（如图2（c）中插图所示）。对于交叉极化反射分量，如图2（b）和（d）所示，交叉极化反射率随入射角出现峰值，并随着手性材料厚度的增加，峰值变大并向左移动，但反射率始终非常小，在10-3数量级，说明交叉极化非常弱，相对GH位移在掠入射时得到增强，并随着手性材料厚度的增加，掠入射处的负增强转变为正增强。

图2 不同的手性平板厚度下反射率和相对GH 位移随入射角θi 的变化关系（ω/ω0=1.5）Fig.2 Dependence of the reflectivity and the relative GH shifts on θi for different thickness of the chiral slab（ω/ω0=1.5）

在手性材料厚度不变（d=1.37λ）的情况下，进一步考虑不同入射频率时，共同（交叉）极化反射分量的反射率和相对GH 位移Δpp/λ（Δsp/λ）随入射角的变化情况。从图中可以看出，对于共同极化反射分量（如图3（a）和（c）所示），存在两个布儒斯特角，使得相对GH 位移Δpp/λ在两个布儒斯特角处均得到增强；随着入射频率的增加，较小的布儒斯特角出现明显的右移，导致相对GH 位移增强峰向大角度移动，同时增强峰的峰值变大；而对于较大的布儒斯特角出现左移，增强的GH 位移由正到负的转变过程中出现更大的正增强和负增强，由图3（c）插图中可见。另外，对于交叉极化反射分量，反射率出现峰值，导致相对GH 位移在掠入射时得到增强；随着入射频率的增大反射率的峰值减小并左移，而GH 位移在掠入射处的增强由负转变为正，如图3（b）和（d）所示。综合图2 和图3，可以通过微调手性材料的厚度及入射频率，实现共同极化分量相对GH 位移在大布儒斯特角处由正增强转变为负增强。

图3 不同入射频率下反射率和相对GH 位移随入射角θi 的变化关系（d/λ=1.37）Fig.3 Dependence of the reflectivity and the relative GH shifts on θi for different frequencies（d/λ=1.37）

为了清晰地看出反射光束的相对GH 位移在大布儒斯特角处随厚度的变化情况，我们选定入射角θi=64°，给出不同频率下相对GH 位移随厚度的变化情况，如图4 所示。结果显示：对于共同极化（如图4（a）所示），相对GH 位移Δpp/λ的正负转换随厚度始终呈现周期性振荡，周期约为λ/3；同时，对于不同的频率，Δpp/λ在不同的厚度处出现极大的正增强和负增强，并实现转换，随着频率的微小增大，相对GH 位移的正负增强的转换向厚度较大处移动。对于交叉极化，相对GH 位移Δsp/λ随着厚度出现周期性的峰值，且厚度越大峰值也越大，但整体位移量较小，增强不明显；频率的增大对位移峰值几乎没有影响，仅使得峰值的位置略向厚度较小处移动，如图4（b）中插图所示。由此可见，频率对共同极化的相对GH 位移影响较大，而对交叉极化的影响较小。

图4 不同的入射频率下相对GH 位移随厚度d/λ 的变化关系（θi=64°）Fig.4 Dependence of the relative GH shifts on d/λ for different frequencies（θi=64°）

最后，图5 中我们给出了在厚度一定（d=1.37λ）的情况下，在大布儒斯特角附近，共同极化的相对GH 位移Δpp/λ频谱。从图5（a）中可以看出，相对GH 位移在ω/ω0为1～2 范围内，在两个频率处分别出现增强。对于ω/ω0＜1.2，随着入射角的微小增大，相对GH 位移出现正增强峰值增大同时向低频稍有移动。而对于ω/ω0＞1.2，当入射角由64.2°变为64.6°时，相对GH 位移的增强峰向低频移动，同时由负增强转变为正增强，并在入射频率为1.425ω0处出现零偏移。可见，相对GH 位移的正负增强的转变对入射角非常敏感。在图5（b）中，我们给出了微调入射角的情况下，相对GH 位移的频谱。从图中可以看出，相对GH 位移随频率出现负增强或正增强，增强值的量级可达103，同时，当入射角从64.42°变化到64.48°时，相对GH 位移可实现负增强到正增强的转变。

图5 不同的入射角下共同极化相对GH 位移随频率ω/ω0 的变化关系（d/λ=1.37）Fig.5 Dependence of the relative GH shifts on ω/ω0 for different incident angles（d/λ=1.37）

3 结论

本文中，我们构建了基于Ω 粒子的具有色散的各向异性手性平板材料，推导了任意极化波入射时，手性平板材料中的反射系数和透射系数，并根据稳态相位法，给出了反射光束侧向（GH）位移的表达形式，并对TM 波入射时，反射光束中共同极化分量和交叉极化分量的GH 位移进行了数值模拟。结果显示，在TM 波入射时，TM 波产生的TM 反射分量较强，而产生的TE 反射分量较弱，说明共同极化较强而交叉极化较弱。

在平板厚度不变的情况下，对于交叉极化反射率不存在布儒斯特角，而共同极化反射率存在布儒斯特角，从而导致交叉极化反射光束的GH 位移在掠入射时得到增强，而共同极化反射光束的GH位移在布儒斯特角附近得到增强。交叉极化反射光束的GH 位移基本不受手性材料参数的影响，而对于共同极化反射光束的GH 位移，随着手性材料参数的增大，GH 位移增强峰的位置与布儒斯特角均向大入射角方向移动。结果还显示，在手性参数保持不变的情况下，可以通过改变手性平板的厚度，获得交叉极化反射率的增强，并使GH 位移在掠入射时实现增强及正和负的转变；对于共同极化反射光束来说，手性平板厚度对布儒斯特角的大小影响不大，但可以使GH 位移在布儒斯特角附近不仅实现增强，还可以实现增强GH 位移的正负转变的调控。最后，我们发现交叉极化和共同极化反射率都随平板厚度呈现周期性的振荡，从而导致了反射光束的GH 位移也随平板厚度呈现振荡，尤其是共同极化反射光束的GH 位移随平板厚度的周期性振荡更为明显。共同极化反射光束的GH 位移在布儒斯特角附近实现由正到负的转变，并随着入射频率的增大，布儒斯特角向大厚度移动，从而使得GH 增强位移的正负转变也向大厚度移动。