离散奇异摄动不确定系统的状态反馈控制器设计

吴 越

（吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000）

在控制理论中，状态反馈控制占据关键的地位.首先状态反馈控制是控制系统中常用的控制策略，其次状态反馈容易获得，容易实现.有关广义系统的状态控制器设计成果很多［1-2］，不确定离散时滞奇异摄动控制系统近年来已经成为控制领域最热门的研究方向之一，吸引了许多学者的研究［3］.但是控制系统应用于实际工程中会受到多种因素的影响.造成系统不稳定的原因最主要的有两点，一是不确定性，二是时滞.在现有的理论基础上，对于不确定离散时滞奇异摄动控制系统的状态反馈控制器设计问题的研究要考虑不确定性和时滞所带来的影响，在考虑这两个因素的条件下，让闭环系统渐进稳定.随着科技的发展，离散系统的状态反馈控制取得了很多成果，但在这一领域的研究还不够完善.系统的不确定性普遍存在，时滞和摄动参数在实际控制系统中不可避免，并且在奇异摄动系统中考虑控制器本身的摄动能够提高系统模型的准确度，对于离散系统具有时滞以及摄动参数控制系统的状态反馈控制器设计有很大的研究意义［4］.文章先构造适当的李雅普诺夫泛函，然后结合矩阵不等式方法，得出时滞相关的充分性判据和新的状态反馈控制器，求出更大的稳定上界，使得系统从原本的单值稳定拓展到稳定区间.

1 离散奇异摄动不确定控制系统综述和预备知识

1.1 系统概述

考虑如下具有控制输入的离散奇异摄动不确定时变时滞控制系统

0≤d(k)≤τ，

τ为已知正整数，其中，D、E1为反应不确定结构的常数矩阵，F(k)∈Ri×j是范数有界不确定模型的参数矩阵，满足

FT(k)F(k)≤I.

离散系统具有结构特性和理论复杂性，在实际系统中，如管理系统、经济系统、生物系统等存在摄动参数、不确定性和时滞等因素的影响，这些因素会对离散系统的控制产生影响，使得离散系统的状态反馈控制问题难度增加［5］.对于一个控制系统来说，时滞现象和不确定性是普遍存在的，它们影响系统的状态，会让系统变得不稳定或者无法控制，给理论研究和实际操作带来困难.由于时间的离散性特点，许多工程问题都采用离散系统模型，随着计算机的发展和进步，许多连续系统通过时间的离散化转换成离散时间系统来进行计算和分析［6］.因此，离散系统在控制领域中特别重要.文章在离散系统上添加了时滞、摄动参数和不确定性条件，构成离散奇异摄动不确定时滞系统，再对系统设计静态的状态反馈控制器.

1.2 预备知识

有关离散系统状态反馈控制器设计问题通常依赖线性矩阵不等式的性质同时结合李雅普诺夫泛函，为系统存在状态反馈控制器提供充分条件.尽管在对系统进行状态反馈控制器设计过程中导入许多新的变量，使得控制器设计过程复杂，但是可以提高控制器的性能［7］.

2 离散奇异摄动不确定系统的静态状态反馈控制

2.1 问题描述

接下来要设计静态状态反馈控制器，使得离散奇异摄动不确定时变时滞闭环系统渐近稳定.

对系统设计静态状态反馈控制器如下

其中，K是未知的控制器增益矩阵.则闭环系统为

离散系统的控制器设计方法有很多，应用矩阵不等式方法和交叉项界定方法对离散系统进行研究，选取新的李雅普诺夫泛函，对泛函进行差分，设计静态的状态反馈控制器，使得新的闭环系统是渐近稳定的，最后得到状态反馈控制器存在的充分判据，为解决现实问题提供更好的理论基础.

2.2 时滞依赖情形

定理1和定理2针对在时滞依赖情形下，研究离散奇异摄动不确定控制系统的静态状态反馈控制器存在的充分性判据，以及得出系统静态状态反馈控制器的具体构造方法.

由Schur补引理可以得

在控制工程中，状态反馈控制问题受到广泛关注.在离散系统的状态反馈控制器设计问题中更是特别重要，状态反馈控制简单易行，对控制器的要求不高，设计一个反馈矩阵，用常数矩阵可以实现对系统的反馈控制，使得构成的闭环系统结构简单，控制计算容易运行［8］.

本文的创新点在于给出了新的系统，即离散奇异摄动不确定时滞系统.对该系统设计静态的状态反馈控制器，构造新的二重求和型李雅普诺夫泛函，基于李雅普诺夫稳定性理论和交叉项界定法，应用反馈环节变换，得到了使得闭环系统渐进稳定的静态状态反馈控制器.本文所提出的依赖奇异摄动参数的李雅普诺夫泛函不同于以往的泛函，新的泛函包含更多的时滞和摄动参数信息，同时应用的差分方法不涉及原来系统的模型变化，因此所提出的渐进稳定充分条件具有比较低的保守性，也扩大了控制器的取值范围和上界.

3 结论与展望