“月上柳梢头”的数学模型

唐纪芳

（四川职业技术学院 教师教育学院，四川 遂宁 629000）

1 问题背景

“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景.应用天文学的观点赏析该名句，并进行如下的讨论：

问题1：定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后”.根据天文学的基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间.并根据已有的天文资料（如太阳和月亮在天空中的位置、日出日没时刻、月出月没时刻）验证所建模型的合理性.

问题2：根据所建立的模型，分析2016 年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间.根据模型判断2016 年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐是否能发生这一情景？如果能，请给出相应的日期与时间；如果不能，请给出原因.

2 模型假设

（1）设地球是一个标准的圆球体，那么它的半径就是地球的平均半径，记为r，即r=6378.004千米.这里忽略地球表面地形对计算带来的误差，仅仅是理论上的估算值.

（2）月亮绕地球旋转时，把月亮看成一个质点.假设月球绕地球匀速旋转，旋转轨迹为一个标准的圆.

（3）地球绕太阳转动时，因为相对运动，也可以看成太阳绕地球运动.

（4）假设忽略各种天气原因导致无法看到“月上柳梢头，人约黄昏后”的情况，如：雾霾，大雾，雪天，雨天等等.

3 符号说明

P：地球表面上任意一点，可以作为我们的观察点.

Π：过地球表面上任意一点P 的切平面.

μ(t)：太阳直射点的经度；纬度为ν(t).

μ1(t)：月亮直射点的经度；纬度为ν1(t).

x1(t)：第t天的日出时间；日落的时间为x2(t).

y1(t)：第t天的月出时间；月落的时间为y2(t).

4 模型的建立与求解

4.1 月上柳梢头的定义

月上柳梢头的景象，与诗人和柳树的高度及距离有着密切关系，但可以明确知道是在月出与月到天顶之间，角度约为15 度到30 度之间[1].由于一天中月出没的时间一般为12 小时，从月出到天顶为6 个小时，因此月上柳梢头定义为是月出后1 小时到两小时之间.

4.2 黄昏后的定义

传统的说法是此时太阳已经落山,天将黑未黑.天地昏黄,万物朦胧,故称黄昏.因此把每天日落后60 分钟这段时间称为黄昏.

4.3 问题分析

研究的问题为，一年中哪个月在满月（初十五）的时候，太阳已经落下的60 分钟之内，月亮已经升起了60 分钟以上.也即是满足“月上柳梢头，人约黄昏后”的时刻.

这就需要知道该天的月出时间与该天的日落时间.

以日作单位，记2015 年1 月1 日零时为初始时刻0，第t天的日出时间为x1(t)，日落的时间为x2(t)，月出的时间y1(t)，月落的时间为y2(t).

4.4 问题 1 的解答

在某时刻，对站在地球上一点P的人，能看见苍穹中的星球A吗？过地球上一点P作出地球的切平面Π，若星球A与地球分别处在切平面Π 的两侧，在P点可以看见星球A.

若星球A刚好从Π 与地球为同侧而运动到Π上，该星球为刚好出来；若星球A刚好从Π 与地球为异侧而运动到Π 上，该星球为刚好离去，见图一.

图一 观察点切平面

假设地球是一个标准的球体，半径为r，球心为O.地球上点P的经度为α，纬度为β.假设星球A为一个点，到地球球心的距离为R，在某时刻t（以日作单位，记2015 年1 月1 日零时为初始时刻0），星球与地心的连线通过地球表面上一点S，S叫做星球在地球的直射点，这点的地球经度为μ(t)，纬度为ν(t).

知道α，β，就可以求出Π 的方程.知道了μ(t)与ν(t)，就可以算出星球的位置坐标，某时刻t站在地球上点P，对看到或看不到星球A就可以做出准确的判断.

以地心O为原点，地球赤道平面为xOy平面，建立空间直角坐标系O-xyz，其中，x轴的正向过零度经线，z轴正向过北极. 地球上一点P的坐标为 (rcosβcosα,rcosβsinα,rsinβ)，切平面 Π 的方程为[2]

xcosβcosα+ycosβsinα+zsinβ=r，其 中r=6378km.

问题的关键是求出星球A的直射点的地球经度μ(t)，纬度ν(t).这就与星球A 的运动规律直接相关.

4.4.1 关于日出日落

（1）μ(t)的计算

各地的每天中午12 点正，太阳直射在通过该地的经线上，每过一小时，直射点西移的经度为15 度，以北京时间为准，在北京的中午12 点，太阳直射在通过北京的经线上，经度为116.4 度，故一天中北京时间s时，太阳直射在东经116.4 +15(s- 12) 度 上 ，即μ(t)= 116.4 + 15[12 -24(t- int(t))].

根据上述函数作出时间与太阳经度函数图，见图二.

图二 太阳经度与时间函数图

由万年历，2015 年按北京时间的春分日期为3 月 21 日 6 点 45 分 ，此时 ，太阳直射地球赤道线上，直射点纬度为0 度.由于这时还差5 小时15 分才到中午12 点，故2015 年春分时，太阳直射在东经 195.15 度，即西经 164.85 度 .

（2）ν(t)的计算

通过田野作业理解和解读民众生活文化与意义世界，是当代民俗学的学术追求之一。研究者与叙述者(被研究者)共同完成该研究过程。同时，通过学术话语的灵活运用，研究者将叙述者的生活及叙事转译成为民俗志或民族志文本。因此，民俗学的实践主体应由叙述者与研究者共同构成，亦即在民俗研究中，研究者与叙述者是互为主体的平等协商关系，是民俗志或民族志作品的共同制作人，可以说，“我们都是故事生产过程中的一个重要环节”[注]黄盈盈：《作为方法的故事社会学——从性故事的讲述看“叙述”的陷阱与可能》，《开放时代》2018年第5期。。

由万年历，2015 年按北京时间的春分日期为3 月 21 日 6 点 45 分，t= 79.28，此时，太阳直射地球赤道线上，直射点纬度为0 度.

太阳直射点的纬度是从春分0°→23.5°→0°→ -23.5°→ 0°，即 春分 时ν(79.28)= 0，夏 至时ν(79.28)= 23.5，秋 分 时ν(79.28)= 0，冬 至 时ν(79.28)= 23.5，2016 年春 分 时ν(79.28)= 0. 在建立函数ν(t)时，分别试用了平均法、拟合法，均未能得到理想的效果，考虑到直射纬度的周期性，最后采用了便于计算的正弦型函数来建立[3].即

根据上述函数作出时间与太阳纬度呈正弦函数曲线，如图三.

图三 太阳纬度与时间函数图

（3）计算日出日落时间

如果某时太阳直射线OS通过P点的切平面Π，则我们可以看见太阳.由于太阳距离地球特别远，易知向量的夹角不大于90 度[4]，太阳直射线OS必定通过P点的切平面Π，那么cos∠POS≥0，可 知(cosβcosα,cosβsinα,sinβ)和

那么就有 cosβcosαcosμcosν+cosβsinαcosνsinμ+sinβsinν≥ 0，等于90 度时，则是日出日落的时刻，那么 cosβcosαcosμcosν+cosβsinαcosνsinμ+ sinβsinν=0.

通过计算，我们即可得到北京地区2015 年1月1 日至2016 年12 月31 日间人约黄昏后的时间表，见表1.（插表太阳落下随机选一部分）

表1 人约黄昏后时间表

这与寿星天文历很吻合，说明我们的模型是比较正确的.

注：寿星天文历一款采用现代天文算法制作的农历历算程序.含有公历与回历信息，可以很方便的进行公、农、回三历之间的转换.提供公元-4712 年到公元9999 年的日期查询功能.

4.4.2 关于月出月落

（1）月球的直射点经度μ(t)的计算

由于地球自转一周，转过360°，但月亮绕地心公转的周期为29.530588 日，平均每天转= 12.19075 度.

由于2015 年5 月25.24 日月球在地球上的直射点的经度为98 度，纬度为0 度，我们即可得到月球的直射点经度计算式，即

其中t0=2015 年 5 月 25.24 日 .

（2）月亮的纬度计算

由于月球的公转平面和地球的公转平面不重合（轨道圆心重合）,有一个大约5 度9 分的夹角，月球的纬度从μ1(t0)= 0 开始，公转一周29.530 588 日 ，经 过 从 0°→ 5.15°→ 0°→ -5.15°→0°的变化过程，让我们联想到正弦型函数具有这样的周期性，故我们对月球在地球的直射点纬度有一个粗略的算法：即

（3）月出月落时刻的计算

由于月亮到地心的距离为地球半径的61 倍，那么我们看得见月亮时有

即 ∠POS≤89°， 故 有 cosβcosαcosμcosν+cosβsinαcosνsinμ+sinβsinν，那么月出月落的条件为：

cosβcosαcosμcosν+cosβsinαcosνsinμ+sinβsinν

我们运用上面的方法也可以得到2015 年1 月1 日至2016 年12 月31 日的北京地区的月出月落时刻，表2 随机选一部分月出时刻.

表2 月出月落时刻表

4.4.3 比较月升日落

根据年中哪个月在满月（初十五）的时候，太阳已经落下的60 分钟之内，月亮已经升起了60分钟以上.也即是满足“月上柳梢头，人约黄昏后”的时刻的定义.根据模型计算出符合“月上柳梢头，人约黄昏后”的时间（见表3）.这与寿星天文历很吻合，说明此模型是比较正确的.

表3 符合“月上柳梢头，人约黄昏后”的时间

4.5 问题 2 的解答

月上柳梢头这个时候，太阳、地球、月亮几乎在一条直线上，地球在太阳和月亮之间，从地球上几乎可以完全看到月亮被太阳照亮的一面，就是满月.另外，根据欧阳修的诗中意境也可知为满月 .从 2016 年元月 1 日到 2016 年 12 月 31 日 ，当月正圆的时候，时间分别依次为为t1,t2,t3,…,t12，既满足月上柳梢头又满足人约黄昏后的条件为

x2(ti)≤y1(ti)+ 1 ≤y1(ti)+ 2 ≤x2(ti)+ 1(i=1,2,…,12).

我们通过比较，得出2016 年各地满足“月上柳梢头，人约黄昏后”的情况，见表4.

表4 2016 年各地满足“月上柳梢头，人约黄昏后”的时间表

5 模型评价

优点：本题解题过程和所构建的模型简单明了，且易用于实际生活中；对于题目有较为深刻的吻合,模型具有坚实可靠的数学基础；把天文知识和已经学习过的数学知识结合得比较好.

缺点：由于忽略因数较多，对运算结果与真实情况有稍微偏差，考虑的影响因素较少，在处理问题时可能存在一些误差.