基于Schnerr-Sauer模型的喷嘴含沙空化流动计算

夏玉立，赵 越

（1.浙江省水利发展规划研究中心，杭州 310019；2.国际小水电中心，杭州 310002）

0 引 言

空化是一种复杂的多相流动，受空核、表面张力、表面粗糙度等因素的影响，在压强低于饱和蒸汽压时发生，其本质为相变［1］。空化能够诱导强烈的振动与噪声，对材料造成严重的空蚀破坏，但同时又可用于提高切割、清洗、破岩等方面的工作效率［2］。我国西北地区河流沙粒含量不同，图1所示为黄河不同观测站处沙粒含量的变化，沙粒不同的粒径与含量对空化初生和空化发展具有显著影响，对运行的流体机械也会造成空蚀与磨蚀的联合破坏。

季斌和罗先武［3］采用基于质量传输方程的空化模型对绕三维水翼的空化流动进行了数值模拟，得到的空穴形态与空泡脱落周期和实验结果相比吻合度较高；Arndt 等人［4］研究了NACA0015 水翼空化的流体动力特性，发现了攻角与空化数的变化会对其产生影响；李向宾等［5］通过对湍流模型进行修正，并采用修正前后的湍流模型模拟绕水翼时的超空化现象，结果表明修正后的模拟结果与试验结果更为吻合；戚定满［6］等通过边界元的研究方法模拟了两个空泡相邻时的运动情况和演变规律，并且得出当空泡发生溃灭时速度与时间的关系；Gregorc 等［7］分析了不同沙粒与清水比例对空化发展程度的影响；Borkent 等［8］研究了4种不同类型的沙粒对空化流动发展的影响；Wagterveld等［9］分析发现空泡的扩展能够使晶体做加速运动；Pavard 等［10］发现在高压与微射流的影响下，空泡能够成功地将沙粒推开；张涛等［11］发现了空蚀与磨蚀对翼型联合破坏的影响因素。

本文通过选取沙粒粒径分别为0.02、0.04、0.06、0.07、0.08 mm，沙粒含量分别为0.02、0.04、0.06、0.07、0.08，着重研究了不同沙粒粒径与沙粒含量对喷嘴内空化流动的影响。数值计算过程选用RNGk-ε湍流模型及Schnerr-Sauer 空化模型求解二维喷嘴内不同沙粒粒径与含量下的含沙粒空化流动。

1 数值算法

1.1 基本方程

沙粒对二维喷嘴内空化流动影响数值计算的连续性方程、动量方程、输运方程［12］如下所示：

式中：u为混合速度；ρm为混合密度；ρl、ρs与ρv为清水、沙粒、与气体的密度；αl、αs和αv为清水、沙粒、气体的含量；μm为混合黏度；μl、μs与μv为清水、沙粒、气体的黏度；m+为蒸发过程中的源项；m-为凝结过程中的源项。

1.2 空化模型

Schnerr-Sauer 模型是一种均质流模型，具有模型中不存在经验系数的特点［13］，本文使用Schnerr-Sauer 空化模型来求解二维喷嘴内清水介质与气体之间的质量传输。

式中：rb为空泡半径，其值为1.0×10-5mm；pv为饱和蒸汽压；p为局部压力。

1.3 湍流模型

为充分考虑流动过程旋转效应的影响，本文使用RNGk-ε湍流模型［14］来封闭空化流动过程中的雷诺时均Naiver-Stokes方程。

式中：k为湍动能；ε为湍流耗散率；Gk为由平均速度梯度所产生的动能生成项；C1ε与C2ε为经验常数；αk、αε与cμ的值分别为1.39、1.39、0.09。

考虑到气相是可以压缩的，对RNGk-ε湍流模型进行修正，方程（11）中，n为常数，根据相关文献研究，取其值为10［15］。修正后，使得空化区域的湍动黏度显著下降，湍动黏度的修正函数如图2所示。

2 数值计算

2.1 基本介绍

在对二维喷嘴内含沙粒空化流动的数值计算过程中，清水介质为主相，沙粒与气体为次相，将非冷凝气体的影响予以忽略［16］。由于沙粒粒径较小，将沙粒视作球形拟流体处理。

2.2 空化数定义

空化数用于描述空化发展的形态，为一无量纲数，常包含有初生空化数、临界空化数，其定义如方程（12）所示［19］。

式中：v∞为无穷远处流场的速度；p∞为无穷远处的压力。

2.3 模型与网格

计算选用流体力学验证手册［17］里的二维喷嘴模型，入口直径为23 mm，出口直径为8 mm，喷嘴总长为48 mm，喷孔的长度为32 mm。为提高数值计算的精确度，对计算模型运用结构化网格进行离散，并对网格做无关性分析，结果如表1所示。发现随网格数的增加，清水介质的空化数的变化较小，最大相对误差小于0.3%，因此为节约计算资源，在后续的清水介质空化流动与含沙粒空化流动的数值计算过程中，选取的网格数目为14 330。

表1 网格无关性分析Tab.1 Grid independence analysis

2.4 物理参数与边界条件

数值计算过程中的温度为25°C，沙粒密度为2 650 kg/m3，气体密度为0.025 58 kg/m3，黏度为1.26×10-6Pa·s，空泡的半径为1.0×10-5m，空泡数密度为1.0×1013，饱和蒸汽压为3 540 Pa。喷嘴入口设定为总压入口250 MPa，出口设定为静压出口95 kPa。计算通过标准壁面函数来处理壁面处的湍流流动，为加速收敛，用SIMPLEC算法求解整个流场。

2.5 算法验证

为验证上述算法的合理性，对绕二维NACA0015 翼型的空化流动进行数值计算并与实验结果进行对比。此翼型的弦长为115 mm，攻角为5°，整个计算域为120 mm×500 mm，如图4所示。

数值计算将上下边界设置为无滑移边界条件，左侧边界设置为速度入口，右侧边界设置为压力出口，压力的给定依据特定的空化数。当空化数为σ=1.5 时，翼型表面的压力系数的实验与数值计算结果如图5所示，两者吻合良好［18］，计算结果表明上述算法用于数值计算含沙粒空化流动具有一定的可行性。

3 结果分析

选取沙粒粒径为0.07 mm 与沙粒含量在8%下的喷嘴空化流动计算结果，观察静压、气体、与沙粒在二维喷嘴内的分布特性。

3.1 静压与气体分布

如静压的分布图6所示，低压区主要集中在喷孔起始段的两侧，且两者的分布均为轴对称分布，与气体体积分数分布图7中高体积分数区基本重合，该现象表明该区域为含沙粒空化流动初生区域。

3.2 沙粒分布

沙粒分布对空化流动的发生与发展有着较为显著的影响，可诱导形成更多的空核，同时也对压力脉动形成显著的影响。流动下的沙粒的分布如图8所示，由于沙粒重力造成的沉降，沙粒堆积与静压和气体体积分数的分布类似，呈轴对称分布于喷嘴入口段的两侧。

3.3 空化数的变化

如表2所示，通过式（12）计算得到各工况下的含沙粒空化流动的空化数均低于清水介质下的1.379；通过图9与图10 可以看出空化数随沙粒粒径与沙粒含量的变化存在波动，沙粒促进了空化流动在二维喷嘴内的发展，但促进空化程度各不相同。

表2 含沙粒空化流动的空化数Tab.2 Cavitation number in cavitation flow containing sand particles

3.3.1 空化数随沙粒含量的变化

图9为当沙粒粒径给定时，空化数随沙粒含量的变化。当沙粒粒径为0.02 与0.04 mm 时，空化数随沙粒含量的增加持续下降，而当沙粒含量为0.08 时达到最小值，此时对空化流动的影响最为剧烈。当沙粒粒径为0.06 mm 时，空化数随沙粒含量的改变有较剧烈的波动，呈“W”型变化；当沙粒含量为0.06 时空化数达到最大值，此时的沙粒对空化流动的影响最小。当沙粒粒径为0.07 与0.08 mm 时，两者的空化数随沙粒含量的变化相类似，空化数表现为整体下降，但在沙粒含量由0.04 变为0.06 时，空化数又有适度的增长，空化数同沙粒粒径为0.02 与0.04 mm时的类似，也在沙粒含量为0.08时达到最小值。

3.3.2 空化数随沙粒粒径的变化

空化数随沙粒粒径的变化如图10所示，当沙粒含量为0.02与0.04 时，空化数的变化整体呈现“V”走势，而当沙粒粒径为0.06 mm 时所得到的空化数值最小。沙粒含量为0.02 时的空化数随沙粒粒径由0.02 mm 增加至0.04 mm 而变大，但当沙粒含量为0.04 时却有较为显著的下降，而沙粒含量为0.06、0.07、0.08 下的空化数随沙粒粒径的变化具有相同的规律。通过计算结果可以看出，随沙粒粒径的增加，空化数呈现先减少后增加再减少的变化趋势，但在具体的沙粒粒径含量范围内，空化数的变化程度各不相同，但都在沙粒含量为0.04 时空化数出现最小值，说明了沙粒对空化流动影响的多样性。

4 沙粒作用

含沙空化流动的空化数均小于清水下的空化数表明沙粒促进了空化流动的发展，综合考虑沙粒的特性以及对流场变化的影响，其主要原因解释如下：

（1）在含沙粒空化流动中，沙粒能够诱发形成更多的空核，从而形成更多的空泡，空核初生演化为空化泡的过程［20］如图11所示。

（2）虚拟质量力［21］为间接接触力，在含沙粒空化流动中有较为显著的作用，该力能够使得清水、沙粒、气体的混合动能增加。依据伯努利方程可知，在此力的作用下压力会得到显著降低，从而有效促进空化流动的发展。

（3）沙粒是一种疏水性不浸润的固体材料，二维喷嘴内的含沙粒空化流动下所形成的拉应力比清水空化流动大，更容易形成空泡，进而促进空化的发生与发展。

（4）由于清水与沙粒的密度差，当清水的速度减小时，由于受到惯性的影响，沙粒的速度会小于清水速度形成速度差，进而造成滑移速度。图12 为清水空化流动与含沙水空化流动下的滑移速度比较，以沙粒粒径为0.06 mm，沙粒含量分别为0.02、0.04、0.06、0.08 的滑移速度云图分布为例进行说明。计算结果表明，含沙粒空化流动的滑移速度相比清水流动更大，同时依据公式（13）还可得到，含沙粒空化流动下的萨夫曼升力［22］也要大于清水空化流动。可以看出在滑移速度与萨夫曼升力的共同影响下，含沙粒空化流动中的压降显著，相比清水流动更加能够促进空化流动的发展。

式中：第1 项表示为速度在y方向上的梯度；第2 项表示为清水与沙粒之间的滑移速度的绝对值。

（5）含沙粒空化流动的湍动能高于清水空化流动。以沙粒粒径为0.06 mm，沙粒含量为0.02、0.04、0.06、0.08的湍动能分布云图13为例进行说明。湍动能增大致使压力波动程度变大，能够显著促进含沙粒空化流动中压力的下降，促使空化流动在二维喷嘴内的发展。

5 结 论

本文基于Schnerr-Sauer 空化模型和RNGk-ε湍流模型研究二维喷嘴内不同沙粒粒径与沙粒含量下的含沙粒空化流动，并选用流体力学验证手册中的二维喷嘴模型进行计算分析，得到的主要结论有。

（1）静压、气体体积分数、沙粒在二维喷嘴内的分布均为轴对称分布。

（2）沙粒粒径为0.06、0.07、0.08 mm 时的空化数随沙粒含量的波动程度高于沙粒粒径为0.02 mm 与0.04 mm 时的空化数，而当沙粒含量为不变量时，空化数波动程度受沙粒粒径变化影响更大大。

（3）沙粒特性、滑移速度、萨夫曼升力、湍动能的共同作用促进了喷嘴内的含沙水流动空化的发展。□