3D技术融合小学数学让思维可视

学科融合是教育发展趋势。数学学科中的“图形与几何”领域和3D建模有着统整的天然优势。教师充分利用信息技术，立足于学科核心素养培养，对数学学科知识体系与3D建模进行系统化可行性分析之后，可优化课程，以项目工程的思维方式深度融合，切实解决“图形与几何”领域中学科思维建构支撑工具匮乏的问题，帮助学生建立空间观念，让思维可视化，使创新创意具象化。

一、指向思维可视化的3D建模与数学融合

数学思维可视化是借助数字、符号、图示、动作等多维表征方式，将看不见的思维路径显性化，对形式的本质内容进行内化理解、视觉化呈现的深度学习的过程^[1]。教师引导学生经历“直观看”“形象画”“出声想”……让学生以多元、生动的学习方式活化学科知识。然而在立体知识学习的过程中，学生仅拥有立方体块等极少数演示性学科工具，在学科思维难度最大的地方，却只能依托“空间想象”，无实体化学科工具支撑。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。笔者立足学科核心素养，针对图形与几何中的难点，利用3D建模的技术优势，在集合圈中的交叉部分做融合研究（如图1），找寻立体几何学习的“脚手架”，让学生在“操作”中建立空间观念，于“拖曳”下外显思维，使思维可视、创新有形，助力学生成长。

二、3D建模与小学数学融合课程的构建

（一）内容选择

小学数学在课程内容上划分为四大领域：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。笔者基于小学数学教材中的图形与几何模块，参考课标，从学科内容、核心素养点以及与3D建模融合的可行性方面进行系统化分析，将融合点定位在立体几何部分中的观察物体（三视图）、立体图形截面、立体图形展开图、体积单位量化，以及图形运动部分中的二维三维转化等学科思维难度较大的地方（如图2）。

（二）系统化设计

在确定3D建模与小学数学融合落脚点的基础上，笔者设计了“1+4+ ”的融合课程体系，即1个软件平台专题、4个典型专项主题活动和多个整合式拓展课例。教学内容与课时安排参考表1。

下面，笔者结合“看得见”的截面、“堆砌”的体积和平面线索里的“拼搭”三个案例，简要阐述3D建模与小学数学的融合课程设计。

案例1：“看得见”的截面——让截面在3D布尔运算下显影

截面的认识是思维可视的典型教学实践，在以往的教与学中，几乎没有学具支撑学生空间想象力的阶梯式生长。笔者为学生打造积累直观空间经验的学科工具，帮助学生发展空间想象能力。

教学准备： 3D One平台、设计好的长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等及“正方形”截面、3D One中组合编辑—减运算模型演示仪。

环节一：让学生利用组合编辑—减运算模型演示仪，自主学习减运算操作，截取长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等的横截面，观察截面是否与想象一致。

【设计意图及实践成效】在以往的教学中，为了让学生有直观认识，教师用胡萝卜等当学具，让学生动手切一切之后进行观察，也能起到基本效果但存在安全性和截切不可逆的问题。在3D建模环境下，让学生利用减运算技术操作完成几何体“取截面”的过程，在安全、有效的数学活动中，经历“想象—操作—验证”的可重复、可逆的全过程，提高学习的趣味性和成就感。

相关研究表明：学生的空间想象能力依赖于空间感知，与观察、思考、实验等活动密切相关。直观操作固然好，如果没有工具辅助想象，仍难以提升空间想象力;而仅有空间想象，没有实际操作验证，所得到的结论也难以令人信服。直观操作与空间想象结合是培养空间观念的重要途径。通过这一环节的学习，学生在画出头脑中的“截面”与操作验证的截面等操作上正确率达98.7%，明显高于传统模式（正确率78.4%）。

环节二：想象一下，用不同的方式截取同一个正方体，会得到什么样的截面？按照想象在纸上画出来，然后在3Done中进行验证（如图3）。

【设计意图及实践实效】在环节一的基础上，笔者以“大问题”的理念设计了环节二，让学生的空间想象能力从直观感知进一步提升到图形规范量化表达的维度。学生经历“验证基本图形”“寻找复杂图形”“整合四边形”等多维度的活动，实现“初步验证猜想—纵向建构—横向建构”的递进，其空间想象能力阶梯式生长。

学生借助3D建模技术学习截面知识，让本看不见、摸不着的截面在3D布尔运算的技术支撑下显影，变戏法般在三维世界里切割几何体。学生应用3D建模技术也是为他们的空间想象能力“画像”。以前利用PPT等常规工具，教师只能完成环节一的教学任务，现在有了3D建模这一可视化工具的加持，空间想象力的培育可以走得更远、落得更实。

案例2：“堆砌”的体积——让体积公式从单位累加中自然形成

单位意识不仅统领着“数与代数”领域，而且是“图形与几何”的核心。长度、面积、体积都用“单位”做度量，是不同维度上的“单位”的累加。“堆砌体积”是典型的思维可视的数学深度学习课题。教师在引导学生学习体积公式的过程中，将学生的思维从一维引向三维。

教学准备：3DOne平台、阵列操作提示卡、准备好的不同形状的积木若干。

环节一：观察教师提供的棱长1厘米的立方体块搭成的不同形状的几何体，数一数，它们的体积各是多少立方厘米？

【设计意图及实践实效】在二维的面积教学中，笔者提供小纸片（面积单位）让学生经历面积累加的过程。在立体图形中笔者为学生打造三维学习活动中的“立体化纸片”，让学生经历“数”体积单位的过程，进一步加强体积是累加而来而非用公式计算得来的意识。

在教学中，笔者提供了更加多元化的“学具”，让学生认识不同形状的积木的体积，在更加多元的活动中发散思维，梳理共性，这是用其他学科工具无法实现的。学生切换视图，甚至将其“拆解”，将完全不同形状的积木，在不同的思维路径下“数”出它们的体积来。学生“数”的策略外显为其思维能力发展刻下清晰的路径。

环节二：初步猜想。

摆一摆：摆放48个小积木，拼摆出不同的长方体。（可以用阵列的方式）

数一数：每个长方体的体积是多少立方厘米？（记录在学习单的表格中）

看一看：每个长方体的长、宽、高各是多少厘米？（记录在学习单的表格中）

议一议：根据操作和记录的数据，说一说自己的发现。

【设计意图及实践实效】学生观察自己搭建的不同形状的长方体，在阵列的过程中初步感受体积累加的过程与几行、几列、几层，也就是两次“几个几”的连乘模型的高度关联性，再加上在面积的探究中有几个几的乘法模型的前情积累，很容易有“长方体体积=长×宽×高”的初步猜想。

此环节，每个学生都经历整个探究历程，在交流中发现规律。活动结束后，笔者从实物、模型、口语、符号、图形等数学多元表征对学生进行多维度评价，发现3D建模与其他可视化工具相比在提高学生空间想象能力和建构整体思维方面存在较明显的优势。

环节三：验证猜想。

想一想：如果取走一部分单位小积木，能想象出原来的长方体积木的样子吗？

做一做：在大长方体中去掉相应单位的小积木，要能想象出它的形状。

议一议：这是什么道理，与体积公式有关系吗？

【设计意图及实践实效】让学生在充分动手操作中体验一步步抽象的过程，从整体中一步步抽象出底层单位数量和高所在的单位数量，再到长、宽、高所在的长度单位的“替代式”表征，让体积的表征方式走向统一。

3D建模能让学生在浅层猜想的基础上自主操作，一步步体味“抽丝剥茧”的历程，逐步获得“线—面—体”螺旋上升的认知（如图4），其空间思维能力也得以发展。

环节四：根据表格中的长、宽、高数据，计算相应的体积，然后用阵列的方式还原出它的形状，在还原的过程中注意数出体积，验证用公式计算的结果。

【设计意图及实践实效】在学生经历3D建模技术支撑下体积累加过程后，让学生再次动手验证，这是“抽丝剥茧”的逆过程，是对体积单位累积的本质再现，是对学生思维序列完整化的再度强化。

案例3：平面线索里的“拼搭”——让几何推理在“按图索骥”中生长

直观和推理是“图形与几何”模块要求的核心能力，是培养创新精神的基石。在三视图的教学中，设计适当的学习活动提升学生的推理能力、创新意识尤为重要。笔者以“大问题”的视角，从直观感知—操作确认—演绎推理—度量计算等维度，设计了具有思维深度、物化创新精神的融合课例。

教学准备：3DOne平台、3D打印的立方体块、A4网格纸。

环节一 ：观察3DOne中的立方体块（如图5），在A4网格纸上完成主视图、左视图、俯视图的绘制。（提示：画好一个视图后可旋转进行观察）

【设计意图及实践实效】在以往的教学中，教师常以小组为单位发放实体学具，以“动”生观“静”体的形式开展学习活动。这样的教学存在着很大弊端——观察的角度很难做到精准，更难以描画出正确的视图。

在3D建模技术的加持下，笔者让“静”体“动起来”。学生用鼠标“旋转”让三个视图以精准的角度投射于眼球，并拓印到A4网格纸上，轻松地留下了难忘的印痕。

环节二：根据教师出示的标注立方体层块数的三视图（如图6），利用3D打印的立方体块进行立体还原。

【设计意图及实践实效】在实际操作中，学生经历了直观感知到操作确认的过程，思维在操作中活化。

此环节，学生用便宜且易制作的3D立方体块当学具，在思考和探究上下功夫，释放了空间和时间能量，使空间观念从“附属”走向“核心”，实现了基础知识与发展空间观念的交融，有利于高阶思维能力发展。

环节三：根据教师出示的主视图、左视图、俯视图（无标注），利用3DOne完成推演还原立体图形且数出立体图形的体积。（前提：渗透体积单位的相关知识）

【设计意图及实践实效】去掉了层块数的标注，让学生按照三视图在头脑中建构推演多种可能的立体图形，在操作中提高推理能力。同时，还拿走了实物学具的“支撑”。3D建模中一个个立方体块的演进式呈现就是学生推理能力和创新能力生长的最好表征。

使用3D打印的学具，学生真正全员参与学习活动。3D建模给学生提供了新的学习方式。在层层递进的活动中，学生根据“平面”多角度的“线索”，按图索骥，通过鼠标“拖曳”“堆积”，在尝试中建构、推演，还原几何体的本来模样，空间想象、几何推理乃至创新品质在“旋转”“堆砌”中的被动态建构起来。

三、成效与反思

（一）数学学科思维让3D建模“有迹可循”

数学是研究数量关系和空间形式的科学，也是一种交流语言、特殊工具、科学态度，根本意义在于助力理性精神的培养与学生思维方式的建构。数学的测量（单位的累加）、布尔运算、平移与旋转的图形运动，这些数学学科特有的思维方式为3D建模的过程提供了理性化、条理化的路径，在数学探究中形成的空间想象力、推理能力、整体性思维等正是3D建模的基础。可以说，正是加入了数学知识的“深蹲助跑”才有了3D建模的“起跳跨越”。

（二）3D建模搭起空间想象（思维）与现实的“桥梁”

3D建模可以让平面图形立体化、运动历程可视化，让学生以更直观的方式认识图形的内部结构、动态成体的过程。3D建模的过程中，学生经历从平面图形到立体图形的立体化过程。3D建模技术为空间观念比较薄弱的学生提供了一个思考的“脚手架”，让学生的思维在直观可视的环境下自觉建构、动态生长——每一次“移动”“推拉”“旋转”既是直观想象、真实体验，又是立体构思、物化思维。

3D建模与数学的融合应基于学科本位，以数学学科为内核设计3D建模项目，让学生的数学思维在建模工具的支撑下整体建构、立体呈现，最终思维能力和创新意识得以提升。笔者实践的整体效果是显而易见的。当然，在具体实施的过程中也存在不足：3D建模与需要的关联性数学知识在时空上异步;课时分散造成探究衔接性较差;等等。3D建模作为STEAM教育的一种新形式，在中小学虽有发展，但大部分只是将其作为独立于课程标准之外的活动课程来开展。笔者希望各学科教师深入思考与研究，改变现状，破除壁垒，走向真正的跨学科统整的融合，以学科思维助力技术建模，以技术呈现物化创新思维，真正做到“思维可视，创新有形”。

注：本文系山东省教育科学“十三五”规划2020年度青年专项课题“指向思维可视化的小学数学与3D建模的融合研究”（编号：2020QZC003）的阶段性研究成果。

参考文献

[1] 蔡慧英，陈婧雅，顾小清.支持可视化学习过程的学习技术研究[J].中国电化教育，2013（12）：27-33.

（作者王宗宝系山东省淄博市临淄区玄龄小学一级教师;李红梅系山东省淄博市临淄区玄龄小学高级教师，特级教师）