“点”和“面”的奇妙关系

李如

古埃及人非常聪明。他们在铺地板的时候发现，想要用同样大小且同一种形状的正多边形铺满地面并且不留缝隙，只能用正三角形、正方形与正六边形三种图形中的一种。

从铺地板这件事中，古埃及人还发现了我们今天所说的勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

有趣的是，铺地板还引出了一个令人困扰的数学问题：平面上以格点为顶点的多边形，我们该如何计算其面积呢？

有趣的格点

你知道什么是格点吗？用水平线和垂直线将平面分成若干个边长为1的小方格，小方格的顶点就是我们说的格点。

如果一个多边形的顶点全是格点，这个多边形就叫作格点多边形。有时候，我们通过计算格点多边形占多少个小方格，就可以很方便地计算出它的面积。但这个方法的适用性并不强，只能应用于比较规整的格点多边形，稍微复杂一点儿的图形，这个方法便无法快速地计算出其面积。

对于一些规则的图形，如矩形、三角形，它们有自己的面积计算公式。例如，矩形的面积=长×宽，三角形的面积=底×高÷2。但是对于一些不规则的图形，我们应该怎样计算其面积呢？

面积“神功”

比如图1中的格点多边形，假设一个小方格的边长是1 cm，则每个小方格的面积是1 cm2。

在我们知道矩形、三角形面积计算公式的情况下，面对这个不规则的格点多边形，常用的计算面积的方法有：

一、用矩形减“四周”。即用矩形的面积减去这个格点多边形周围四个三角形的面积。

那么这个格点多边形的面积

S=5×6-1

2×2×3-1

2×3×4-1

2×3×1-1

2×1×5

=30-3-6-1.5-2.5=17（cm2）

二、切割法。把这个不规则的格点多边形切割成四个三角形和一个矩形。

那么这个格点多边形的面积

S=1

2×2×3+1

2×4×3+1

2×1×5+1

2×1×3+2×2

=3+6+2.5+1.5+4=17（cm2）

以上两种方法都可以计算出格点多边形的面积，但计算过程不免有些繁琐和复杂。于是，数学家们便想了一个更加简便的方法，来计算格点多边形的面积。

皮克定理

皮克定理被誉为有史以来“最重要的100个数学定理”之一，它是由奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克在1899年发现的。皮克将格点多边形的格点数和面积联系到了一起，这是一种极其具有开创性的思维。

皮克定理可以这样解释：若一个面积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则有S=a

2+b-1。根据定理，我们只要数清楚格点数再将其代入公式，就可以轻松算出格点多边形的面积了。

例如图1，我们数出图1中格點多边形的边界上有4个格点，内部有16个格点，即a=4，b=16，根据皮克定理可得S=4

2+16-1=17（cm2）。我们可以清楚地看到，最终的结果与前两种计算方法所得的结果是一致的！面积的计算居然可以通过数格点数来得到，是不是非常有趣？

当然皮克定理也有不适用的时候。例如当多边形是非格点多边形时，即多边形某个顶点不在格点上，如图2这种情况，就不适用了。