例谈单元整体教学之“取势”“明道”“优术”

【摘 要】 单元整体教学倡导从全局、长远、发展的角度来思考问题，它对改变知识碎片化教学具有积极作用而备受关注.如何让单元整体教学贡献磅礴之力，更有力地促进教学效率的提升，单元整体教学需要“取势、明道、优术”.取势：应对照课程标准、对接学生基础、对比教材异同，从上位纲要、先行组织者和编写意图中取势;明道：应明核心数学思想之道、一般学习方法之道和灿烂数学文化之道;优术：应追根溯源顺势而为、一脉相承整体推进、承前启后关联知识，在此过程中发展数学理性精神，提升综合建构能力，最终促进思维深度发展.

【关键词】 单元整体教学;一元二次方程;取势;明道;优术

古语曰：“不谋万世者，不足谋一时;不谋全局者，不足谋一域.”“谋全局”就是告诉我们应该站在全局的角度从整体来思考问题;“谋万世”就是要提醒我们应该从长远的角度、发展的视角来考虑事情.数学教学也理应如此.

单元整体教学既可克服知识碎片化的不良倾向，又可避免“只见树木，不见森林”的教学误区，还可以为学生的可持续发展积蓄起磅礴之力.那么单元整体教学该如何“取势”“明道”“优术”？这是一个关乎单元整体教学效果的重大课题.章建跃博士认为：取势、明道、优术就是“明确方向，把握规律，办事有方”.取势务虚，明道求实，虚实结合，方可行事;道为术之魂，术为道之体，以道统术、以术得道才能相得益彰，道不明，术再优也难免功亏一篑.取势，远见也;明道，真知也;优术，实效也.若取势、明道、优术并重，则数学育人可如愿成功[1].

由此可见，做好“取势、明道、优术”对单元整体教学至关重要.下面以浙教版、人教版教材中一元二次方程的比较为例，阐述具体的实践与思考.

1 单元整体教学之取势

取势就是把握事情的发展方向，然后顺势而为争取效益的最大化.单元整体教学关注单元目标的整体实现，它不是每个课时目标的简单叠加，而是宏观架构、整体推进，以“整体大于部分”的力量推动教学.那么单元整体教学该如何取势呢？首先，单元整体教学应对照课程标准，这是教学设计与实施的指南;其次，单元整体教学应对接学生的基础，这是教学开始的逻辑起点;最后，可以选择对不同版本的教材进行对比，在编写意图里获取灵感.

1.1 对照课程标准，从上位纲要中取势

义务教育课程标准是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求，是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础.由此足见课程标准的统领性地位，因此在吃透课程标准精神的基础上善于从纲要中取势，然后依标施教是教学的必由之路.

课程标准对一元二次方程有这样的描述：（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型;（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程;（3）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.从（1）和（2）可以感悟到数学建模、化归思想将贯穿于整个方程的学习之中，而（3）则提醒我们教学还应关注知识之间的内在联系.从课程标准中挖掘出类似的指导精髓，那么后续的教学必能更精准、更高效.

1.2 对接学生基础，从先行组织者取势

学生是学习的主体，每个学生的学习基础、生活经验以及接受能力等都是不一样的，学生的学习受到年龄等众多因素的影响，因此教学必须关照学生已有的经验，对接现有的基础，善于从先行组织者中取势，教学才能走向高效.

在学习一元二次方程之前，学生已经具备了方程、一元一次方程、二元一次方程、分式方程等知识，积累起了学习方程的一些经验，在运算能力、逻辑推理能力方面也有了一定的发展，这些都为进一步学习一元二次方程奠定了良好的基础.但学生对数学建模、化归等数学思想的感悟比较缺乏，同时用联系的视角来看知识之间的内在联系也是相当缺乏经验的，这些方面需要在教学中予以特别关注.

1.3 对比教材异同，从编写意图里取势

教材是开展教学的重要资源.挖掘教材中蕴含的教育价值，了解教材的编写意图将决定教学的立意高度.教材是课程标准指导下的高度凝练，不同版本教材彰显了不同的课程实施理念，指向的却是共同的价值旨归.因此，善于对不同版本教材进行对比，求同存异、开阔思路，在对比中真正体会编写意图，为教学的设计与实施指明方向.

比如，对浙教版、人教版关于一元二次方程的编排体系梳理，见表1.

从表1可以发现，两个版本的教材都遵循了“概念、解法、应用”的基本顺序，体现了从实际问题到一元二次方程概念的抽象过程，教材中都相当重视数学文化的渗透.然而，两个教材对一元二次方程的解法编排顺序是不一致的，浙教版先学因式分解法，再学开平方法、配方法、公式法，而人教版则把因式分解法放在最后，可见两者之间还是有差异的.此外，浙教版对实际问题采用较集中的方式来学习，而人教版则更多地采用分散、渗透的方式来解决.因此，经过对比能发现其中的异同，为后续教学打开了思路，这也为因材施教的实现提供了可能.

在把握了教学的趋势与方向后，接下来就要“明道”.

2 单元整体教学之明道

明道就是要找到整个单元蕴含的核心数学思想，明确一般学习方法，体悟悠久的数学文化.核心数学思想是整个单元的精髓，只有精准地把握住，教学才能更加有的放矢.而一般学习方法是后续学习其他知識的重要经验，具有重要的迁移价值，是数学素养提升的关键一步.悠久的数学史与灿烂的数学文化对学好数学、增强自信具有积极的情感价值，有助于学生正确价值观的形成.

2.1 明核心数学思想之道：化归与建模

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.一元二次方程的学习始终离不开化归与建模这两大核心素养，这两大核心数学思想指引着整章的学习.虽然这两个数学思想在教材中有体现，但并没有多次提起并强调，因此很容易被忽视，这就需要教师从整体的视角来审视，从一元一次方程、二元一次方程的学习历程中窥得化归与建模思想，还可以从不等式、函数的学习中管窥出建模的身影.

比如化归思想，浙教版教材中的因式分解法这节课里明确提到：这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.在分析用配方法解一元二次方程2x2+4x-3=0的过程中再次提到了化归思想.而人教版则在给出配方法概念的基础上指出：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.后来在因式分解法以及方法归纳中再次提到了化归思想.可见，虽然教材版本不同，但教学中却都始终渗透着化归思想，因此这是解方程的核心思想，应让学生深刻领会与把握.而建模思想则更多体现在问题解决的过程中，采用的是渗透方式，因此建模对学生来说更难理解，这里更需要发挥教师的讲解与引领作用.

2.2 明一般学习方法之道：类比与特殊化

数学学习讲究通性通法，注重可迁移的一般思考方法，强调的是数学的内在力量.培养学生如何去思考，如何进行一般化地思考是数学教学的重要课题.类比、特殊化、推广等思考方式是学习数学的一般方法，多开展一些此类探究有助于学生学习能力的提升.

在一元二次方程的学习中，类比与特殊化始终贯穿其中.比如一元二次方程的概念学习与一元一次方程进行类比，如图1.

其实这样的类比是很多的，利用一元二次方程解决实际问题的基本步骤可以类比，学习方程的一般思路也可以类比.至于特殊化，在学习解法的时候引导学生按如下思路去思考.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），相对于一元一次方程显得比较复杂，实现转化并不容易.数学研究追求以简驭繁，总是从最简单的问题开始研究，因此我们可以进行特殊化思考.比如我们可以让b=0或者c=0，然后就可以从最简单的方程出发去探究，再逐步进行推广就可达到预期的目标.

这种一般化思考问题的思维方式无疑是具有极大生命力的，因此我們必须明白此道.

2.3 明灿烂数学文化之道：知史与悟理

数学是人类文化的重要组成部分，数学文化对人的发展具有独特作用.了解一定的数学史有助于加深对数学知识的理解，激发学生对数学学习的兴趣，增强学生学好数学的信心，发展学生求真求实、追求真理的理性精神.引进数学文化不但让学生知史，更要让学生悟理.

比如，浙教版中的阅读材料：一元二次方程的发展小记，学生通过阅读可以了解一元二次方程的发展历史，知道了数学家为探索一元二次方程的解所做出的不懈努力.通过阅读也知晓了我国古代对一元二次方程做出的贡献，增强了学生的民族自豪感.同时学生也掌握了用图解法求一元二次方程正根的方法.人教版中的阅读与思考：黄金分割数，无疑是数学与美学的完美结合，在读懂数学史的过程中增长了见识，体会到了一元二次方程的应用价值，也在潜移默化中发展了审美素养.明数学文化之道需要老师做个有心人，善于挖掘与教学相关的数学史料，让学生在学习过程中知史明理，促进数学素养的发展.

3 单元整体教学之优术

优术是“明道”后转化而来的具体操作方法，是可以提高教学效率和效益的技巧.单元整体教学下的优术应注重知识发展的一脉相承、一以贯之，同时也应关注知识之间的内在联系与相互关联，教学的顺序与策略也灵活调整，但为啥调整需要追根溯源，在此基础上顺势而为.

3.1 追根溯源顺势而为，发展数学理性精神

通过前面不同版本教材的对比，我们发现人教版教材编排把“因式分解法”放在各种解法的最后，而浙教版教材把“因式分解法”放在最前，为什么会有这么大的差异？放在最前是基于什么原因？而放到最后又是如何考虑的？要想回答这个问题，我们需要从整体上进行追根溯源.

前面已经谈到要解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以尝试从特殊到一般这个思路去探究.当b=0时，方程变为ax2+c=0（a≠0），要解决这个方程只要把它转化为等式左边是一个完全平方，右边是一个常数即可.按这条路径走下去应该先学开平方法，再学配方法、公式法，最后可以学习因式分解法.当c=0时，方程变为ax2+bx=0（a≠0），那么先学因式分解法也是可取的.从上面的分析我们可以看出，是先学因式分解法还是先学开平方法其实都可行，我们完全可以根据学生的情况顺势而为.因此，优术需要追根溯源顺时施宜，在此过程中促进数学理性精神的发展.

3.2 一脉相承整体推进，促进思维深度发展

无论是浙教版还是人教版，教师一旦定好解一元二次方程的教学顺序后，教学的开展需遵循一脉相承整体推进的原则.由于开平方法、配方法、公式法是连续的，而且不能颠倒顺序，因此教学的设计与实施需要前后连贯、一脉相承，否则会让学生陷入思维混乱、无所适从的境地.

比如，要学习开平方法、配方法、公式法，可以设计前后连贯的系列问题，以问题串推进教学.

问题1：解二元一次方程组的基本思想是什么？这个思路对你解一元二次方程有什么启示？说说你的想法.

问题2：要解决一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），我们一般总是先从最简单的特例出发进行研究.请尝试解方程x2=16，并说出相应的依据是什么？这里有没有体现前面的基本思路？

问题3：如果对x2=16进行一般化，也就是一元二次方程变为x2=n，其中n是一个常数，你还会解吗？

问题4：你会解一元二次方程（x-3）2=16吗？这里体现了怎样的数学思想？

问题5：要解一元二次方程x2-6x=7，而你已经会解方程（x-3）2=16了，你有什么想法？由此，你会解一元二次方程x2+px=q了吗？

问题6：如果一元二次方程的二次项系数不是1，比如方程2x2-12x-5=0，那么该如何解这个方程？按照同样的思路，尝试解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.

六个问题思维连贯、层层递进，化归思想始终彰显其中，既习得方法，更悟得思想，可极大地促进思维向更深处发展.

3.3 左顾右盼关联知识，提升综合建构能力

义务教育数学课程标准指出：数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联[2].因此单元整体教学应始终关注知识之间的内在关联.事实上一元二次方程与一元一次方程、二次函数、不等式之间有非常密切的关系，这是数学内部之间的知识关联.这也提醒我们在一元二次方程的教学中应全局思考，既要考虑前面已学的知识，也要考虑今后学习的内容，瞻前顾后才能相得益彰.

如果再从应用一元二次方程解决问题的角度去思考，那么勾股定理、利润问题、图形面积、增长率等都与一元二次方程息息相关，因此在应用的教学中应尽最大努力选择多样的素材，扩大知识之间的横向联系，从而促进学生数学综合素养的发展.

4 结束语

“取势、明道、优术”提升了单元整体教学的内生力量，从而让学生的学习站位更高、视野更宽、方向更明，这必然极大地提高了课堂教学效率，也更好地促进了学生数学核心素养的发展.因此，单元整体教学大有可为.

参考文献

[1]章建跃.章建跃数学教育随想录（下卷）[M].杭州：浙江教育出版社，2019.3.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

作者简介 张跃飞（1974—），男，浙江平湖人，中学高级教师，副校长，浙派名师培养对象，浙江省“春蚕奖”获得者.主要研究方向：课堂教学及教材比较.主持过三项省级课题，其中一项课题成果获浙江省教育科研优秀成果一等奖，发表多篇论文.