矩形导电板内磁场强度研究

刘会峰

(太原学院 数学系,山西 太原 030032)

0 引言

在生产生活中,如何合理地控制或利用涡流效应一直是学者们研究的一个课题。在传感器、能量收集装置等设备中,对棒状结构材料内部磁场的研究较多[1-3],在磁探测研究中经常把研究对象等效为椭圆体、球体、圆柱体等[4-5],而对矩形导体内磁场与涡流进行系统的研究较少。文献[6]描述了矩形截面上涡流的分布,但未体现集肤效应,也未研究影响因素。虽然在某些涡流集肤现象中可使用一维分析的方法[7],但有一些问题需要至少看作二维问题来解决。所谓二维问题[8],就是指磁场强度与电流密度的非零分量与描述系统的坐标系的3个坐标之一无关的一类问题。

以直角坐标系为例,有以下两种情况:

1)电流仅沿某个方向流动,这里不妨假设沿z轴方向流动,则此方向的电流Jz及另两个方向的磁场Hx,Hy为x和y的函数;

2)磁场仅有某个方向的分量,这里不妨设仅有z方向的分量,则此方向的磁场Hz与另两个方向的电流Jx,Jy为x和y的函数。

本文研究第二种情况,以放置在垂直于外激励磁场中的、电导率为常数的矩形材料板为研究对象,对板内磁场建立数学模型并进行求解,然后直观地模拟截面上板内磁场的分布形式,并给出分布规律,最后对板内磁场强度产生影响的一些因素进行讨论。

图1 置于外激励磁场中的矩形导电板Fig.1 The rectangular conductive plate placed in the external magnetic field

1 电导率为常数的矩形材料板内部磁场模型的建立

外磁场H0=(0,0,H0z)=(0,0,Hseiωt)作用于矩形板,矩形板长度、宽度及厚度的一半分别用a,b,c表示。图1为置于外激励磁场中的矩形导电板。

不考虑位移电流时,板内磁场可由Maxwell方程及其辅助方程描述:

J=σE

(4)

B=μ0μrH

(5)

式中:H为磁场强度;J为电流密度;E为电场强度;B为磁通密度;μ0为真空磁导率;μr为材料的相对磁导率;σ为电导率。

事实上,板内磁场仅有z分量Hz,且Hz,Jx,Jy均为x和y的函数[9]。在电导率为常数的非磁性材料中,或材料内部电磁场看作似稳电磁场的情况下,在电导率和磁导率为常数的磁性材料中,外激励磁场以正弦变化时,即H0=Hs(cosωt+isinωt)时,

(6)

2 板内磁场模型的求解

方程(6)的求解[10]需结合以下边界条件

(7)

还需要引入新函数G(x,y),满足:

G(x,y)=H(x,y)-Hs

(8a)

(8b)

G(2a,y)=G(0,y)=0

(8c)

G(x,2b)=G(x,0)=0

(8d)

于是,非齐次边值问题(6),(7)转化为了齐次边值问题(8).对(8b)两边同时进行二重Fourier正弦变换,令

得

(9)

解之,

(10)

利用Fourier变换的逆变换,得

(11)

于是,

(12)

3 材料内部磁场分布的数值模拟

事实上,在准静态下,磁性材料与非磁性材料物理性能(与磁场有关)的取值并不影响板内磁场整体的分布状态。所以本研究以非磁性材料铜为例来分析板内磁场的分布。为了更好地体现不同尺寸下板内磁场分布的不同,本研究选取的大尺寸板的长和宽为小尺寸板的长和宽的10倍左右。

3.1 小板

图2给出了相关参数取值分别为2a=0.005 m,2b=0.01 m,f=500 Hz,μr=0.999 994,Hs=400 A/m,μ0=4π×10-7H/m,σ=5.714 3×107S/m时板内部磁场的分布。从图2(a)、图2(b)可以直观地看出,小尺寸铜板内磁场关于平行于z轴的平面x=a与y=b对称,总体呈现边缘最大而越往板的中心区域越小的趋势。而从两个不同方向的截面y=b与x=a上可以看出,H(x,b)的最小值对称地有两个,而H(a,y)的最小值唯一地取自(a,b)(最小值由图中小方框标出)。

图2 2a=0.005 m,2b=0.01 m时铜板内磁场的分布: (a)3D图;(b)俯视图;(c)H(x, b);(d)H(a, y)Fig.2 Distribution of magnetic field inside the copper plate with 2a=0.005 m,2b=0.01 m:(a)3D view;(b)Vertical view;(c)H(x, b);(d)H(a, y)

3.2 大板

若图2板的长与宽都分别扩大8倍为2a=0.04 m,2b=0.08 m, 则板内磁场强度的分布如图3所示。此时,磁场H(x,y)的对称性及总体变化趋势与图2相同。但从图3(c)和图3(d)可以看出H(x,b)与H(a,y)的最小值均不再唯一,两条磁场曲线都出现了频繁的波动,这种波动使得从H(x,y)的3D分布图上来看,其底部出现了众多的“凹槽”,由于H(a,y)的波动较多且振幅明显,所以从俯视图看,凹槽平行于x轴。

图3 2a=0.04 m,2b=0.08 m时铜板内磁场的分布:(a)3D图;(b)俯视图;(c)H(x,b);(d)H(a,y)Fig.3 Distribution of magnetic field inside the copper plate with 2a=0.04 m,2b=0.08 m:(a)3D view;(b)Vertical view;(c)H(x, b);(d)H(a,y)

图3 (续)Fig.3 (Continue)

4 材料内部磁场的影响因素

非磁性材料与磁性材料内部磁场的分布形式类似,所以本文研究影响材料内部磁场分布的因素时,主要以非磁性材料为例进行研究。因为磁性材料为非线性的,即其磁导率与外磁场的频率等有关,所以特别考虑了磁性材料的动态相对磁导率与材料内部磁场的关系。

这里,对不同尺寸的板在其两个互相垂直的截面x=a与y=b上的磁场曲线来探究一些因素对板内磁场分布的影响。

4.1 板的尺寸对材料内部磁场分布的影响

当板为小尺寸矩形板时,如2a=0.005 m,2b=0.01 m时,H(a,y)无波动,H(x,b)有轻微的波动(如前面图2所示);而当板的长与宽同时增大相同的倍数时,图4显示H(a,y)的波动开始显现,且波动的频率迅速增加,而H(x,b)的波动始终是平缓且不频繁的。

所以,对于矩形板来说,平行于短边的截面上的磁场波动是不明显的,而平行于长边的截面上的磁场波动明显且频繁。

另外,由图4还可以看出,磁场强度的最小值随板的增大而减小,也就是说,随着板的增大,磁场的集肤效应越来越显著。

图4 不同尺寸矩形板内的磁场在两个平面的分布:(a)H(x, b);(b)H(a, y)Fig.4 Distributions of magnetic field inside rectangular plates with different dimensions:(a)H(x, b);(b)H(a, y)

4.2 外激励频率对材料内部磁场分布的影响

为了方便,纵坐标使用|H/Hs|代替|H|来刻画磁场的变化规律,显然,这样做对磁场的描述是没有影响的。

图5给出了2a=0.005 m,2b=0.01 m时,外激励频率f分别取200 Hz,500 Hz, 1 000 Hz及1 500 Hz时矩形板内磁场强度的分布情况。由图可知,外激励磁场频率越大,板内磁场强度越小,磁场作用深入到板内的深度就越小,集肤效应就越显著。

图5 2a=0.005 m,2b=0.01 m时, 不同频率下板内磁场分布:(a)H(a,y);(b)H(x,b)Fig.5 Distribution of magnetic field inside a plate with 2a=0.005 m,2b=0.01 m at different frequency:(a)H(a, y);(b)H(x, b)

当2a=0.05 m,2b=0.10 m时,下面对激励磁场的频率分范围分别讨论其对板内磁场分布的影响。当激励磁场的频率较小时,这里f分别取50 Hz,100 Hz,150 Hz及200 Hz,板内两个截面中的磁场强度分布如图6所示。

显然,此时磁场强度的变化规律与小尺寸板中类似,随激励磁场频率的增大,板内磁场强度减小。图6(a)与图6(b)显示,当频率取某个值时,板内可能存在磁场强度为零的区域。为便于观察,图6(c)和图6(d)分别给出了板中心区域的局部放大,可以看出,f=200 Hz时,板中心的磁场强度已经非常接近于零。

图6 2a=0.05 m,2b=0.1 m时, 几个较低频率下板内磁场的分布:(a)H(a,y);(b)magnetic field;(c)板中心附近的H(a,y);(d)板中心附近的H(x,b)Fig.6 Distribution of H(x,y) inside a plate with 2a=0.05 m,2b=0.1 m at lower frequency:(a)H(a, y);(b)H(x, b);(c)H(a, y) near plate;(d)H(x, b) near plate center

图7给出了激励磁场的频率f比较大时,即f分别取400 Hz,700 Hz,1 000 Hz及1 500 Hz时,板内磁场强度的分布。

图7 2a=0.05 m,2b=0.1 m时, 几个较高频率下矩形板内磁场分布:(a)H(a,y);(b)H(x,b)Fig.7 Distribution of magnetic field inside a plate with 2a=0.05 m,2b=0.1 m at higher frequency:(a)H(a,y);(b)H(x,b)

由于板内磁场强度分布的对称性,我们只取了板的一半来考虑,另一半与此相同。此时磁场的分布显然要比图7所示的磁场分布复杂得多。

当2a=0.05 m,2b=0.1 m时,由于两个截面内的磁场均出现了波动,且波动的频率与振幅各不相同,所以此时由图7(a),7(b)可以分别看出,板内磁场随外激励频率的变化分以下三部分:矩形板的边缘处(板同一位置的磁场强度随外激励频率f的增大而减小);板的中心处(板同一位置处,磁场强度随外激励频率的增大而增大)及其它部分(图中所框区域,无规律可循)。

4.3 材料的电导率对内部磁场分布的影响

图8与图9分别给出了2a=0.005 m,2b=0.01 m和2a=0.05 m,2b=0.1 m时,不同电导率下矩形材料板内的磁场分布。

图8 2a=0.005 m,2b=0.01 m时,不同电导率下板内磁场分布:(a)H(a,y);(b)H(x,b)Fig.8 Distribution of magnetic field inside a plate with 2a=0.005 m,2b=0.01 m at different conductivity:(a)H(a,y);(b)H(x,b)

图9 2a=0.05 m,2b=0.1 m时,不同电导率下超磁致伸缩矩形板内磁场H(x,y)的分布:(a)H(a,y)的局部放大;(b)H(x,b)的局部放大Fig.9 Distribution of H(x, y) inside a plate with 2a=0.05 m,2b=0.1 m at different conductivity:(a)Partial magnification of H(a,y);(b)Partial magnification of H(x,b)

由图8可知,2a=0.005 m,2b=0.01 m时,随着材料电导率的增大,板内磁场强度减小。

2a=0.05 m,2b=0.1 m时,由于磁场分布的对称性,我们依然取磁场强度变化曲线的一半来进行分析。从图9磁场的分布来看,对于磁场H(a,y)与H(x,b)均需把板分为三个区域来考虑。特别地,都存在无规则变化区域,如图放大部分所示(图9(a)主要存在于磁场曲线的波谷位置附近)。

综上所述,对于整个板内磁场强度来说,在板的边缘部分随 电导率的增大而减小;在板的中心区域随电导率的增大而增大;介于两者之间的部分随电导率不规律变化。

4.4 材料的磁导率对内部磁场分布的影响

对于非磁性材料来说,材料的相对磁导率为一个非常接近于1的常数,所以这里不再考虑材料的磁导率对非磁性材料内部磁场的影响。而对于磁性材料来说,其属于非线性媒质材料,即它的磁导率不是常数,磁导率会随激励磁场等外界因素的变化而变化,所以,下面将研究磁性材料在不同的外磁场频率下所具有的不同磁导率对材料内部磁场的影响。

磁性材料铁镓合金在低频或准静态下,相对磁导率与频率的关系如图10[11]所示。外激励磁场的频率分别取2 000Hz,500Hz,200Hz,50Hz时,相对磁导率μr对应地取值为40,85,120,160.

图10 室温下Fe81Ga19相对磁导率与频率的关系Fig.10 Relative magnetic permeability vs frequency of Fe81Ga19 alloy at room temperature

取矩形板的尺寸为2a=0.005 m, 2b=0.01 m时,图11给出了相对磁导率取以上4个值时,板内磁场强度的变化。由图可以看出,随着μr的增大,板内磁场强度增大,集肤效应减小。

图11 2a=0.005 m,2b=0.01 m时, 不同相对磁导率下板内磁场分布:(a)H(a,y);(b)H(x,b)Fig.11 Distribution of magnetic field inside a plate with 2a=0.005 m,2b=0.01 m at different permeability:(a)H(a,y);(b)H(x,b)

当矩形板的尺寸增大为2a=0.05 m,2b=0.1 m时,图12给出了H(x,y)在两个截面x=a与y=b上的分布曲线,这里我们只截取了能反映分布规律的一部分,并且把其中一些特殊的分布区域放大显示。

图12 2a=0.05 m,2b=0.1 m时, 不同相对磁导率下矩形磁性材料板内磁场分布:(a)H(a,y);(b)H(a,y)的局部放大;(c)H(x,b)Fig.12 Distribution of magnetic field inside a magnetic plate with 2a=0.05 m,2b=0.1 m at different permeability:(a)H(a,y);(b)Partial magnification of H(a,y);(c)H(x,b)

对于H(a,y):

1)由图12(a)可以看出,板的边缘部分(大致范围:0

2)图12(b)中所示,即0.012

3)在相对磁导率不取160时,除去上面所述两部分,随磁导率增大,板内磁场强度减小。

对于磁场H(x,b),如图12(c)所示,在板的边缘部分(大致范围:0

对称地,板的另一半磁场的变化情形同上。

由以上的分析可得,对于大尺寸的磁性材料板,由于其相对磁导率与激励磁场的频率是相关的,所以板内部磁场强度的变化事实上比图12所反应出来的更复杂。我们只能肯定的是板边缘部分的变化与小尺寸板内的变化规律相同,其它区域内只能根据激励磁场的频率与相对磁导率的不同取值具体对待。

5 结语

本文对基于Maxwell方程组建立的电导率各向同性矩形材料板内部磁场强度模型,应用二重Fourier正弦变换得到了用二重级数表示的板内磁场强度的表达式。

通过对板内磁场强度分布规律的研究,我们得到:板的尺寸不同,板内磁场的分布形式也不同,这种不同主要体现在板的中心位置附近,当板较大时,板的中间部分磁场强度会有所波动。在研究外激励频率及材料的电导率和磁导率对材料内部磁场的影响时,小板内磁场的变化是规律的,而大板内磁场的变化比较复杂,有部分区域是无规律可循的。这些结论为器件的设计提供了理论支持。