黏弹性基体中挠曲电Timoshenko纳米梁振动特性分析*

张大鹏，吴 栋，雷勇军

(国防科技大学 空天科学学院， 湖南 长沙 410073)

压电俘能器[1]能收集环境中因振动产生的机械能并转换为可供纳米元件使用的电能，具有能量密度高和工作模式简单[2]等特性，在为纳米元件供电方面具有极大的应用潜力。挠曲电效应的研究是设计、分析和应用压电俘能器所涉及的基础性问题，针对挠曲电效应开展研究具有重要的工程意义和理论价值。

挠曲电效应考虑非均匀应变场与电场之间的耦合关系，认为非均匀应变介质材料的电极化强度受电场、应变和应变梯度的影响。研究压电纳米元件力学行为的主要方法有实验测量法、分子动力学模拟法和连续介质力学理论法。Ma等[3-4]通过实验测得了镁铌酸盐陶瓷、钛酸锶钡陶瓷等材料具有较强的挠曲电效应，远高于早期的预测值。Ma等[5-7]还通过实验研究了应变梯度和温度对锆钛酸铅陶瓷和钛酸钡材料的挠曲电系数的影响。Hu等[8]基于变分原理，综合考虑静电力、应变梯度和极化梯度，建立了纳米介质的控制方程。Maranganti等[9]开创性地将格林函数法用于求解挠曲电问题，该方法成为求解挠曲电问题的基本方法。实验方法和分子动力学模拟结果均表明，压电纳米元件的力学性能在纳米尺度下具有明显的尺度效应[10-11]，经典连续介质力学因忽略了材料的尺度效应而难以准确表达压电纳米元件的力学特性[12]。非局部理论[13]的提出弥补了连续介质力学在尺度效应方面的不足，在描述纳米材料的力学行为方面得到广泛应用。有学者认为，为了更准确地预测压电纳米元件的力学性能，有必要将非局部理论与应变梯度理论相结合[14-16]。Lei等[17-18]分别研究了外加黏弹性阻尼下非局部Timoshenko纳米梁和非局部Euler-Bernoulli梁的动力学特性。杨帆[19]考虑非局部效应，研究了表面效应对压电Euler-Bernoulli纳米梁弯曲变形的影响。Yan等[20]考虑压电纳米材料的非局部效应，研究了表面应力、表面弹性和表面压电效应对Euler-Bernoulli梁屈曲行为和动力学特性的影响。此外，Yan等[21]还基于非局部Timoshenko梁模型，得到非均匀边界条件下压电纳米梁的振动控制方程和谐振频率的显式表达式。实际工程中的纳米元件多置于黏弹性材料制成的基体中，其等效力学模型为黏弹性基体中的梁、板等元件的分析模型，而目前综合考虑尺度效应、挠曲电效应和基体黏弹性等因素的研究还相对较少。

本文基于非局部Timoshenko梁模型，研究挠曲电纳米梁在黏弹性基体中的振动特性，给出简支边界条件下挠曲电纳米梁控制方程的求解方法，并通过算例对非局部参数、挠曲电系数和黏弹性基体等因素对挠曲电纳米梁振动特性的影响进行分析，为压电纳米元件的设计、分析和应用提供理论依据。

1 振动控制方程与边界条件

黏弹性基体中的挠曲电Timoshenko纳米梁的力学模型如图1所示。以挠曲电纳米梁的中轴线左端点为坐标原点建立直角坐标系o-xz，其中x轴沿挠曲电纳米梁中轴线指向右端，z轴沿挠曲电纳米梁的横向振动方向与x轴正交。挠曲电纳米梁的长度、宽度和高度分别为L、b和h。黏弹性基体采用经典的visco-Pasternak黏弹性基体模型[22]模拟，该模型在Pasternak弹性基体模型的基础上考虑了黏性阻尼的影响。基于Majdoub等[23-24]对压电纳米结构的研究，在压电材料连续介质理论的基础上考虑纳米材料的尺度效应和极化与应变梯度的耦合，忽略了高阶极化梯度的影响。

图1 黏弹性基体中的挠曲电Timoshenko纳米梁Fig.1 Flexoelectric Timoshenko nano-beam in viscoelastic medium

考虑非局部效应时，由内能密度导出的本构方程为：

[1-(e0a)2∇2]σij=cijklεkl+dijkPk

(1)

[1-(e0a)2∇2]τijk=fijklPl

(2)

Ei=aijPj+djkiεjk+fjkliεjk,l

(3)

假设压电材料的极化方向与z轴平行，为了简化问题，只考虑电场的z向分量，则电场可表示为：

(4)

挠曲电纳米Timoshenko梁的位移场可表示为：

(5)

其中，u和w分别表示位移沿x轴和z轴的分量，φ为挠曲电纳米梁横截面相对于y轴的扭转角。

应变和应变梯度的非零分量可表示为：

(6)

非局部应力张量、非局部高阶应力张量和电场的非零分量可表示为：

[1-(e0a)2∇2]σxx=c11εxx+d31Pz

(7)

[1-(e0a)2∇2]σxz=kc44γxz

(8)

[1-(e0a)2∇2]τxxz=f3113Pz

(9)

[1-(e0a)2∇2]τxzx=f3131Pz

(10)

Ez=a33Pz+d31εxx+f3113εxx,z+f3131γxz,x

(11)

其中，k为Timoshenko梁的剪切修正系数，对于矩形截面梁，有k=5/6。

假设挠曲电纳米梁内部没有自由电势，由高斯定理可得：

ε0Ez,z+Pz,z=0

(12)

其中，ε0=8.85×10-12C/(V·m)为真空或空气的介电常数。

电势的边界条件可表示为：

(13)

其中，V是施加在挠曲电纳米梁的电压。

将式(4)和式(6)代入式(12)并综合考虑式(11)和式(13)，得到电势和极化强度沿z轴的分量Φz和Pz的表达式分别为：

(14)

(15)

非局部应力和非局部高阶应力关于扭转角φ和挠度w的表达式为：

(16)

(17)

(18)

(19)

外力对挠曲电纳米梁所做的虚功δW可表示为：

(20)

(21)

式中，kG、kw和ct分别为黏弹性基体的剪切弹性模量、Winkler弹性模量和阻尼系数。

挠曲电纳米梁的动能Πk可表示为：

(22)

其中，ρ为挠曲电纳米梁的质量密度。

挠曲电纳米梁的应变能U可表示为：

(23)

式(23)变分可得：

(24)

其中，挠曲电纳米梁单位长度的弯矩M、剪切力Q和扭矩Mγ的表达式分别为：

(25)

其中，A为挠曲电纳米梁的横截面积。

根据哈密顿原理得到：

(26)

将式(20)、式(22)和式(24)代入式(26)，并考虑到δw和δφ在x∈[0,L]的任意性，得到黏弹性基体中挠曲电Timoshenko纳米梁的控制方程表达式：

(27)

(28)

同时得到黏弹性基体中挠曲电Timoshenko纳米梁的边界条件表达式：

(29)

(30)

(31)

将弯矩M、剪切力Q和扭矩Mγ的表达式(25)代入挠曲电纳米梁的控制方程中，可得挠曲电纳米梁控制方程的具体表达式：

(32)

(33)

同样地，挠曲电纳米梁边界条件可具体表示为：

(34)

(35)

(36)

为了便于计算和分析，引入以下无量纲参数：

将以上无量纲参数代入式(32)和式(33)，可得挠曲电纳米梁控制方程的无量纲形式，其表达式为：

(37)

(38)

其中：

(39)

(40)

(41)

(42)

2 振动控制方程求解

本节给出简支边界条件下挠曲电纳米梁控制方程的求解方法。设挠曲电纳米梁的无量纲控制方程式(37)和(38)的解形式为：

(43)

(44)

将式(43)代入式(37)和式(38)，可将挠曲电纳米梁的无量纲控制方程表示为：

(45)

(46)

同样地，挠曲电纳米梁的无量纲边界条件式(40)～(42)可表示为：

(47)

(48)

(49)

(50)

将式(50)代入式(45)和式(46)，挠曲电纳米梁的控制方程可表示为：

(51)

(52)

a1Ω4+ia2Ω3+a3Ω2+ia4Ω+a5=0

(53)

其中：

(54)

(55)

a3=η(1+α2β2)(E4β2-E2)+

(56)

(57)

(58)

通过数值方法求解式(53)，即可得到挠曲电纳米梁的无量纲固有频率。需要说明的是，对于式(40)～(42)给出的其他类型边界条件下挠曲电纳米梁振动特性分析问题，可以采用文献[16-18]等常使用的分布参数系统的传递函数方法较方便地得到问题的解。

3 算例分析

首先通过与文献计算结果进行对比，验证所建模型和控制方程求解方法的正确性。在此基础上，系统地研究非局部效应、挠曲电系数和黏弹性基体对挠曲电纳米梁振动特性的影响规律。如无特殊说明，挠曲电纳米梁的参数设置[25-27]如下：挠曲电纳米梁的长度L、高度h和宽度b分别为20 nm、2 nm和2 nm，挠曲电纳米梁材料的弹性模量c11和c14分别为131 GPa和42.9 GPa，横向挠曲电系数f3113和切向挠曲电系数f3131分别为5 V和4 V，质量密度ρ、介电常数倒数a33和压电系数d31分别为6 020 kg/m3、0.79×108(V·m)/C和1.87×108V/m，visco-Pasternak黏弹性基体的Winkler弹性模量kw、剪切模量kG和阻尼系数ct分别为0.1 GPa/nm、0.25 GPa/nm和0.1 MPa·ns/nm。

3.1 模型验证

文献[25]针对具有表面效应和挠曲电效应的Timoshenko梁开展研究，利用变分原理和Hamilton原理，得到压电纳米梁的控制方程和边界条件，分别求解简支均匀载荷下压电纳米梁的静态弯曲和自由振动问题，但是其忽略了压电纳米元件的尺度效应和在实际工程应用时的工作环境。本节先忽略黏弹性基体的影响，通过对比本文提出的控制方程求解方法下计算得到的一阶无量纲固有频率和参考文献[25]得到的一阶无量纲固有频率，以验证本文控制方程求解方法的正确性。

表1给出简支边界条件下一阶无量纲固有频率本文解和文献[25]的解的对比情况。由表1可知，本文提出的控制方程求解方法在简支边界条件下一阶无量纲固有频率的解与文献[25]得到的解的相对误差均在1%以内，这验证了本文解法的正确性。此外，挠曲电纳米梁的一阶无量纲固有频率随着长细比的增大而减小，显然这是由于结构整体刚度随着长细比的增大而减小引起的。

3.2 参数影响分析

以上节分析为基础，本节系统分析非局部参数、挠曲电系数和黏弹性基体对挠曲电纳米梁振动特性的影响规律。

3.2.1 非局部参数影响分析

本节分析简支边界条件下非局部参数对挠曲电纳米梁振动特性的影响规律。不同非局部参数α下挠曲电纳米梁的一阶至三阶无量纲固有频率见表2。由表2可以看出，当挠曲电纳米梁置于黏弹性基体中时，无量纲固有频率的虚部非零。随着非局部参数α的增大，各阶无量纲固有频率实部呈下降趋势，这是因为非局部效应会减弱结构刚度；同时非局部参数α对不同阶无量纲固有频率虚部有微弱的影响。

表1 简支边界条件下一阶无量纲固有频率解对比

表2 不同非局部参数下挠曲电纳米梁的无量纲固有频率

挠曲电纳米梁无量纲固有频率实部之比随非局部参数α的变化曲线如图2所示。由图2可知，无论挠曲电纳米梁是否置于黏弹性基体中，各阶无量纲固有频率之比均随着非局部参数α的增大而减小，且减小幅度随着频率阶次的增加而增大。由于黏弹性基体的支撑作用在一定程度上增加了结构的刚度，因此相对于无黏弹性基体支撑的挠曲电纳米梁，置于黏弹性基体中的挠曲电纳米梁的固有频率之比减小幅度相对较小。

图2 挠曲电纳米梁无量纲固有频率实部之比 随非局部参数α的变化曲线Fig.2 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with nonlocal parameters α

3.2.2 挠曲电系数影响分析

本节分析简支边界条件下挠曲电系数对挠曲电纳米梁振动特性的影响规律，其中非局部参数α设为0.2，在分析横向挠曲电系数f3113对挠曲电纳米梁振动特性的影响规律时，取切向挠曲电系数f3131=1 V；而在分析切向挠曲电系数f3131对挠曲电纳米梁振动特性的影响规律时，取横向挠曲电系数f3113=10 V。

图3和图4分别是挠曲电纳米梁一阶至三阶无量纲固有频率实部随横向挠曲电系数f3113和切向挠曲电系数f3131的变化曲线。由于挠曲电Euler-Bernoulli纳米梁也会受到横向挠曲电系数f3113的影响，图3中同时对比了横向挠曲电系数f3113对挠曲电Timoshenko纳米梁和挠曲电Euler-Bernoulli纳米梁一阶无量纲固有频率实部的影响。由图3可知，挠曲电纳米梁的各阶无量纲固有频率实部随着横向挠曲电系数f3113的增加近似呈线性增大趋势，且增大幅度随频率阶次的增加而增大，说明横向挠曲电系数f3113有增加挠曲电纳米梁结构刚度的效果。挠曲电Timoshenko纳米梁的一阶无量纲固有频率实部大于挠曲电Euler-Bernoulli纳米梁的一阶无量纲固有频率实部，且横向挠曲电系数f3113对挠曲电Timoshenko纳米梁一阶无量纲固有频率实部的影响幅度大于对挠曲电Euler-Bernoulli纳米梁一阶无量纲固有频率实部的影响幅度。

图3 挠曲电纳米梁无量纲固有频率实部随 横向挠曲电系数f3113的变化曲线Fig.3 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the transverse flexoelectric coefficient f3113

由图4可知，挠曲电纳米梁的一阶至三阶无量纲固有频率均随着切向挠曲电系数f3131的增大而减小，且减小幅度随着频率阶次的增加而增大，这说明切向挠曲电系数f3131对挠曲电纳米梁的结构刚度有一定的削弱作用。

图4 挠曲电纳米梁无量纲固有频率实部随 切向挠曲电系数f3131的变化曲线Fig.4 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the tangential flexoelectric coefficient f3131

3.2.3 黏弹性基体影响分析

本节分析简支边界条件下黏弹性基体对挠曲电纳米梁振动特性的影响规律，其中，非局部参数α设为0.2，黏弹性基体的阻尼系数ct的取值范围为[0 MPa·ns/nm,50 MPa·ns/nm]。

图5和图6分别是挠曲电纳米梁一阶至三阶无量纲固有频率实部和虚部随黏弹性基体的阻尼系数ct的变化曲线。由图5可知，当黏弹性基体的阻尼系数ct大于临界阻尼系数ct_crit时，各阶无量纲固有频率实部降为零，这表明此时挠曲电纳米梁不再发生往复振动。临界阻尼系数ct_crit随着频率阶次的增加而增大，且增大黏弹性基体的Winkler弹性模量kw能增大临界阻尼系数ct_crit。当黏弹性基体的阻尼系数ct小于各阶临界阻尼系数ct_crit时，挠曲电纳米梁的无量纲固有频率实部随着黏弹性基体的阻尼系数ct的增大而减小，且减小幅度逐渐增大。由图6可知，黏弹性基体的阻尼系数ct对各阶无量纲固有频率的虚部影响曲线在各阶临界阻尼系数ct_crit处发生突变。当黏弹性基体的阻尼系数ct小于各阶的临界阻尼系数ct_crit时，各阶无量纲固有频率虚部随着黏弹性基体的阻尼系数ct的增大呈线性增大趋势。当黏弹性基体的阻尼系数ct大于各阶的临界阻尼系数ct_crit时，各阶固有频率的虚部随着黏弹性基体的阻尼系数ct的增加而逐渐增大，但是增大幅度逐渐减小。

图5 挠曲电纳米梁无量纲固有频率实部随 黏弹性基体的阻尼系数ct的变化曲线Fig.5 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the damping coefficient ct of viscoelastic medium

图6 挠曲电纳米梁无量纲固有频率虚部随 黏弹性基体的阻尼系数ct的变化曲线Fig.6 Variation curves of the imaginary part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the damping coefficient ct of viscoelastic medium

4 结论

本文以黏弹性基体中的Timoshenko纳米梁为研究对象，综合考虑了非局部效应、压电效应和挠曲电效应等因素的影响，基于哈密顿原理建立了系统的控制方程和相应的边界条件，给出了简支边界条件下挠曲电纳米梁控制方程的求解方法，并通过算例验证了本文模型和控制方程求解方法的正确性，并较系统地研究了简支边界条件下非局部参数、挠曲电系数和黏弹性基体对挠曲电纳米梁振动特性的影响规律。主要结论如下：

1)非局部效应会削弱挠曲电纳米梁的结构刚度，无量纲固有频率实部之比随着非局部参数α的增大而减小，且减小幅度随着频率阶次的增加而增大。

2)横向挠曲电系数f3113能增加挠曲电纳米梁的结构刚度，且对Timoshenko梁的影响幅度大于对Euler-Bernoulli梁的影响幅度；切向挠曲电系数f3131对挠曲电纳米梁的结构刚度有一定的削弱作用。

3)挠曲电纳米梁不发生往复振动对应的临界阻尼系数ct_crit随着频率阶次和黏弹性基体的Winkler弹性模量kw的增加而增大。当黏弹性基体的阻尼系数ct小于各阶临界阻尼系数ct_crit时，挠曲电纳米梁的各阶无量纲固有频率的实部随着黏弹性基体阻尼系数ct的增大而减小，且减小幅度逐渐增大；而虚部随黏弹性基体阻尼系数ct的增大呈线性增加。当黏弹性基体的阻尼系数ct大于各阶临界阻尼系数ct_crit时，挠曲电纳米梁的无量纲固有频率实部均为零；挠曲电纳米梁的无量纲固有频率的虚部随着黏弹性基体的阻尼系数ct的增加而逐渐增大，但增大幅度逐渐减小。