谈待定系数法在中学数学中的若干应用

【摘 要】待定系数法在解决数列问题时有着重要的作用，特别是在解决复杂和多参问题时有独特作用。随着时代的发展和进步，待定系数法的内涵和外延更加广泛和丰富，成为了一种重要的数学思想和方法。

【关键词】待定系数法;中学;数学

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）28-0072-02

待定系数法是一种求未知数的方法，即要确定变量间的关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法。解题的关键是依据已知条件，正确列出等式或方程。使用待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数转化为方程组来解决。判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解[1]。

待定系数法是中学数学常用的解决问题的方法，它贯穿于整个中学数学教学中，所以必须引起高度重视，教师应当要认真研究并熟练掌握。使用待定系数法解题的基本步骤一般为：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式;第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程;第三步，解方程组或者消去待定系数[2]。下面谈谈待定系数法在数学中的若干应用。

1   在函数问题中的应用

在求函数解析式时，经常采用待定系数法。其理论依据是多项式恒等的条件，也就是利用了多项式f（x）=

g（x）的充要条件：对于任意一个x值，都有f（x）= g（x），则两个多项式同类项的系数对应相等。

例1：已知f（x）的导函数f'（x）是一次函数，且x2f'（x）?（2x?1）f（x）=1，求f（x）的解析式。

分析：首先根据题意，判断f（x）的形式，再引入待定系数，最后利用恒等关系列出方程组求解即可。

解：∵f（x）的导函数f'（x）是一次函数，

∴ 设f（x）=ax2+bx+c （a≠0），

则f'（x）=2ax+b，

又∵ x2f'（x）?（2x?1）f（x）=1，

∴  x2（2ax+b）?（2x?1）（x2+bx+c）=1，

整理得：（a?b）x2+（b?2c）x+c=1，

由等式两边对应项系数相等，得到，解得，所以f（x）=2x2+2x+1。

2   在向量问题中的应用

向量是数形结合的产物，它既有代数的抽象性，又有几何的直观性。向量的数形迁移思想在解决问题中很重要，向量相等的定义以及向量的几何意义为利用待定系数法解决一些问题带来了契机。

例2：如图1，在?ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若=+λ（λ∈R），求λ的值。

所以，解得，所以λ的值为。

3   在数列问题中的应用

在数列问题解决中，经常利用通项公式和求和公式。由于数列也是一种特殊的函数，通项公式an= f（n）和求和公式Sn=g（n）都可以看成n（n∈N*）的函数，所以，利用这一特性有些问题便能迎刃而解。

例3：已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2·a4=65，a1+a5=18。

（1）求数列{an}的通项公式an。

（2）是否存在常数k，使得数列{}为等差数列，若存在，求出常数k;若不存在，请说明理由。

分析：首先求出Sn的表达式，再利用数列的一般性质列出恒等关系，最后便可解决问题。

解：（1）{an}为等差数列，∵ a1+a5=a2+a4=18，又

∵ a2·a4=65，

∴ a2，a4是方程x2?18x+65=0的两个根，

又∵ 公差d >0，∴ a2

∴ ，∴ a1=1，d=4。

∴ an=4n?3。

（2）由（1）知，Sn=n·1+·4=2n2?n，假

设存在常数k，使数列{}为等差数列，由等差数列通项公式可知设=an+b，得2n2+（k?1）n=

an2+2abn+b恒成立，利用待定系数法可得，解得a=2，b=0，k=1。

所以数列{}为等差数列。

4   在立体几何问题中的应用

在求二面角的平面角时经常要求平面的法向量，而求平面的法向量就是根据恒等的思想方法，利用待定系数法，通过赋值来确定的。

例4：如图2，在三棱锥D-ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB=90°，且AC=AD=1，AB=2，E为BD的中点，求二面角A-CE-B的余弦值。

分析：首先建立空间直角坐标系（如图3所示），设法向量，再通过恒等的概念得到方程组，因为未知数的个数多于方程的个数，所以采用赋值法得到确定待定系数的方程组，最后求解。

解：设平面ACE的法向量为n1=（x，y，z），

∵ =（1，1，0），=（0，1，），

∴ n1·=0，n1·=0，即x=0且y+z=0，取 y=1，得x=0，z=?2，

∴ n1=（0，1，?2）是平面ACE的一个法向量。

设平面BCE的法向量为n2=（x，y，z），

∵ =（1，?2，0），=（0，?1，），

∴ n2·=0，n2·=0，

即x?2y=0且?y+z=0，取 y=1，得x=2，z=2，

∴ n2=（2，1，2）是平面BCE的一個法向量。

∴ cos===。

所以二面角A-CE-B的余弦值为。

总之，待定系数法在分解因式、求函数解析式、求复数、求向量、求曲线方程等方面都有着广泛运用。因此，教师要认真学习钻研，在教学中引领学生学习和利用它解决一些实际问题，帮助学生提高分析问题、解决问题的能力。待定系数法能够很好地体现学生的认知水平，凸显学生的数学素养，对学生终身学习和发展大有裨益。

【参考文献】

[1]叶立军.初等数学研究[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[2]张大任.待定系数法[J].数学方法，2006（9）.

【作者简介】

赵微（1980～），女，汉族，江苏苏州人，本科，中学一级教师。研究方向：数学教学。