浅谈导数在实际生活中的应用

李明哲 肖明辉 阿孜古丽·哈依拜克

摘要：导数是高等数学范畴中重要的组成内容之一，也是近代以来数学界的重要基础。它在我们日常的生活、学习以及科学技术等方面都有着较为广泛的应用。微积分的创立为导数的发展提供了基础，以此来促进社会生产和发展。由此可见，导数在经济领域和日常实际生活中的重要作用日益凸显。

关键词：导数;生活;最优化;应用

1.导数的概念和意义

已知函数表达式y=f（x），假设函数在某一点处x0的邻域内有定义时，在自变量x0处出现变化，与此同时函数值也相应地发生变化，则=。因此当的极限值趋向于零时，比值极限也存在时，则（I代表常数值，我们就称之为函数在x0处可以求导，极限I称为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作）

几何定义：曲线在点L（x0，）处切线的斜率称为函数的导数，即=（为切线倾斜角）。

2.导数在实际生活中的应用

2.1导数在体积最大化问题上的应用

例1在梧州某健身房打算重新建造一个大型的圆柱形状的游泳池，假设这个游泳池底面的直径是R米，高度设置为h米，体积是V立方米，如果建筑的所有花销只和游泳池的表面积有关系，建造侧面的成本是200元/平方米，建造底面的成本是320元/平方米，建造此游泳池一共需要24000π元。那么：

（1）将把V表示成含有R变量的函数V（R）;

（2）对V（R）的单调性进行讨论，并判断R和h取值为多少时，这个游泳池的使用体积可以达到最大。

点评：在一些现实问题中，如果在定义域区间内函数同时存在两个驻点的话，要根据现实情况对该函数正确的极值点进行判断。

2.2导数在成本最低、利润最大化上的应用

例3[6]已知某企業的生产线每月可生产x吨的某种产品，同时此产品的市场需求关系表达式为x=100-q，产品的总成本（单位：万元）可以通过函数C（x）=来表示，其中q表示这种产品的每吨的市场销售价格（单位：万元）。

（1）这条生产线每月生产多少吨的此类型产品的产量，可以达到最低的平均成本？

（2）这条生产线每月生产多少吨此类型的产品时，可以达到最大的月利润？最大的利润是多少？

分析我们经常在工厂生产过程中遇到类似的问题，大多都是关于最低成本，最大利润的问题，解决这类问题主要是根据题意列出函数关系式，最后在运用导数来解决相关问题。

要想求解出在（0，∞）内的最大值，需要令，根据此方程可以解得出x=39，也就是说这条生产线每月此类型的产品要生产39吨时，当月的利润可达到最大值，这个最大利润值可以表示为L（x）=104×39-（万元）

点评在运用导数知识求解问题时，要严格按照其基本步骤进行：第①步：细读题，仔细认真地分析各个相关变量间的联系;第②步：构建数学模型，基于此模型构建出函数解析式;第③步：计算求解，分析在有意义的取值范围内的导数零点两边函数值的正负;第④步：获得结果，即所求函数的最值;第⑤步：结合回到实际问题中作答。

2.3导数在边际经济学中的应用

在经济学领域中，边际成本函数C=C（q）、边际收入函数R=R（q）和边际利润函数L=L（q）所被赋予的经济意义相似。通过对边际经济变量的分析，可以依此为基础，制定企业最佳产销计划。

例4假设某家白酒酿造厂有100t白酒，现在的售价是8元/千克，每多酿造一年的白酒能增值2元/千克，且每年需支付1万元的管理费，由于该厂家白酒贮存，引起了企业的成本逐年增加，其中p代表白酒的零售价格，i代表利息率为10%，而每年白酒的贮存量为105。请问，这些白酒贮存到第几年时能达到效益的最大化呢？

分析假设需要经过x年才能达到效益的最大化，根据题干的已知条件，可得到以下的函数关系式：

当时，取得最大值，即边际利润达到最大，此时的x=2.75，因此可知当这些白酒贮存到第2.75年时能达到效益的最大化。

总结：从上述所分析情况来看，值得我们倍加关注的是，在实际生活中很多企业在制定该企业产品销售计划的时候，认为若价格越高，所能获得的利润就能达到越大，据此，这些企业便极力地将产品价格逐步提高。但，不可否认的是，其所得利润确实有增加，但并非他们所认为的最佳利润。我们可以从上面的分析过程看出，导数在边际函数中的应用可以帮助企业准确的获得边际成本、边际收益、边际利润等多个方面的数据，并由此得出正确的结果并制定出合理的决策。

3.总结与展望

主要发现：导数的实际应用贯穿于生活中的众多领域，本文通过分析和总结导数在解决工程问题、体积最大问题、最佳选址问题以及边际经济利润和成本上的例子中，发现了利用导数解决实际问题的高效和简洁性，对于人们在分析比较复杂的实际问题时提供了一种简便思路和方法，对于实际生活和工农业生产颇有帮助。导数作为实际生活中最优化问题分析的常用工具，为企业制定生产活动方案做出合理的决策提供具有科学性的参考依据，根据该方案来实现企业利润对大化的目标。应用导数的思想解决生活和经济上的问题，虽然能给我们的日常生产实践提供一定帮助，但是我们也要关注到问题本身的性质，比如复杂性和多变性，要想解决从根本上找到复杂问题的方法，需要长时间地坚持学习和积累，方能有所提升。

参考文献

[1]黎琼.微积分发展史[J].科教导刊（上旬刊），2011（06）：255-256.

[2]张娟.浅谈导数在实际生活中的应用[J].科技信息，2010（19）：674.

[3]黄绍东.浅谈导数在实际生活中的应用[J].河北能源职业技术学院学报，2014，14（04）：87-88.