蜂房奥秘待全揭——《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》 读后感

连楚琪，胡福良

（1.浙江大学数学科学学院数学与应用数学1701 班，浙江 杭州 310058；2.浙江大学动物科学学院，浙江 杭州 310058）

1 从“蜂窝猜想” 谈起

蜜蜂通常被誉为“天才的建筑师”“天才的数学家”。早在公元4 世纪，古希腊数学家贝波司就提出 “蜂窝猜想”，即人们所见到的截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。“蜂窝猜想” 在不考虑生物与环境统一性的情况下，可以简单地用数学语言表述为：蜂巢结构是在容积相同的情况下，建筑用材面积最小的结构；或者说在建筑用材面积最小的情况下，容积最大的结构。

在追寻“蜂窝猜想” 的后续发展之前，我们需要先对蜂窝结构有具体的了解。在平时的学习和生活中，我们更多看到的是蜂窝的平面图，对蜂窝结构的认识也停留在紧密结合的等六边形，如图1 和图2 所示。的确，除去蜂窝与六棱柱相同的柱身，蜂窝的外端是广为人知的等六边形平面；而蜂窝的里端则是由3 个菱形拼接而成的立体图形，如图3 所示。

图1 蜂巢俯视图

图2 蜂巢侧视图

图3 蜂房立体结构

由蜂窝结构的里端和外端，衍生出 “蜂窝猜想” 后续发展的2 个方向。

对于外端等六边形的 “蜂窝猜想” 探索，历史悠久。亚历山大时期的Pappus 在他的第五本书中，简单地将铺陈平面的等六边形与三角形和正方形进行比较，得出如果用同样数量的材料建造这些图形，六边形将容纳更多的蜂蜜。1943 年，L. Fejes T’oth 扩展了Pappus 的结果，在细胞凸性假设下证明了 “蜂巢猜想”；并且预测在没有细胞凸性假设的前提下，“‘蜂窝猜想’的证明将涉及相当大的困难”。50 多年后，在1999 年美国数学家黑尔，结合实变函数、微分几何等方面的知识，给出 “蜂窝猜想” 不需要凸性假设的证明。至此，经过1 600 多年的努力，外端的“蜂窝猜想”，平面的任何等面积分割都至少有正六边形蜂窝的周长，得到完整证明。

相较于对蜂窝结构的外端，蜂窝结构内端的 “蜂窝猜想” 证明显得较为简单。18 世纪初，法国学者马拉尔奇测量蜂窝的尺寸，得到一个有趣的发现，那就是六角形窝洞的6 个角， 都满足钝角等于109° 28'， 锐角等于70°32'。1712 年瑞士数学家克尼格给出相关证明：证实在给定正六棱柱中，蜂窝的里端结构为表面积最小的结构，即最省材料的结构。而华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》 一书，正是将“蜂窝结构” 的这一部分证明，转化为中学生能够解决的数学问题，并给出了多样的解决方法。

2 从特殊到一般

如何证明在给定正六棱柱的条件下，3 个钝角为109°28'，锐角为70°32' 的全等菱形相拼接是最省材料的结构？一般人拿到这个问题，可能会无从入手：世界上的立体图形太多了，挨个去进行验证显然是不现实的。在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》 中，华罗庚用到的是从特殊到一般的方法。通俗来说，就是往原有的证明上加更多的限制，使问题口径更小，证明也更容易，再从特殊的结论一步步推广到更普遍的结论。

在原本的“蜂窝猜想” 中，只设定蜂窝的柱身必须为正六棱柱结构。在最开始的证明中，华罗庚将条件限定在柱身为正六棱柱，且由3 个菱形拼成，证明在这样的条件下，最小表面积应满足菱形钝角为109°28'，锐角为70°32'。在这样严苛的条件下，通过蜂窝的对称性，问题转化成一个很纯粹的最小值问题，如，求的最小值。在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》 中，华罗庚与南京师范学院附中的师生一起，提供了7种不通过微积分，单纯用中学知识解决的方法。7 种方法均有效证明，在钝角为109°28'，锐角为70°32' 的条件下，3 个菱形围成的表面积最小，最节省用材。

蜂窝里端结构除去3 个菱形相拼接，另外一个醒目特征就是锥形。于是，在《谈谈与蜂房架构的数学问题》 中，下一步证明自然从3个菱形的形状过渡到锥形形状，为什么是尖顶六棱柱而不是屋脊六棱柱？蜂窝结构里端，除了想象成3 个菱形相拼接，也可以想象成将一个正六棱柱的底面切3 刀。而其他的尖顶六棱柱和屋脊六棱柱结构也可以想象成对正六棱柱底面进行切割而形成的，由此可以很自然地衍生出2 种切法：切角和切边。在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》 的第七节切方中，华罗庚以四方柱出发，将尖顶四方柱与屋脊四方柱进行比较和扩展，肯定了蜂窝结构的尖顶六棱柱结构相较于屋脊六棱柱是更省表面积的做法。

3 数学问题与生物问题相统一

显而易见的，“蜂窝猜想” 并不是一个纯粹的数学问题，单纯将它理解为在容积相同的情况下，建筑用材面积最小的结构有些将问题大而化之。蜂窝结构的最终目的，是容纳更多的蜜蜂，而不是容纳更多的空气（仅仅考虑容积）。

在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》 的后续阐述中，华罗庚也将蜜蜂的体态纳入考虑范围之内。具体而言，是将蜜蜂的身材和腰围纳入考虑范围，再来考察尖顶六棱柱相较于尖顶四方柱与屋脊四方柱的用料[5]。这是一个很有趣的过程，在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》 一书中，先是将“蜂窝猜想” 转化为一个纯粹的数学问题，得出结论后再将生物学纳入考量范畴，最后实现了数学问题与生物问题的相统一。