基于现场可靠性的产品区域差别保修期设计方法

揭丽琳， 陈 昊， 陈 琦， 张聪炫， 杜本莉

（1. 无损检测技术教育部重点实验室（南昌航空大学），南昌 330063；2. 北方联创通信有限公司，南昌 330096；3. 中国航发沈阳黎明航空发动机有限责任公司，沈阳 110043）

0 引言

可靠性已成为衡量产品质量属性的重要指标，也是影响保修期设计的关键因素[1-2]。在保修费用投入保持不变的情况下，产品可靠性越高，则可设计越长的保修期；而若保修期一定，产品可靠性越高，则投入的保修费用就越少。此外，分布于不同地理区域的产品，由于实际所处的工作条件和使用时间的不同，导致其现场可靠性呈现显著的差异[3]。因此，从现场可靠性的视角，来设计最优的产品区域差别保修期，既能有效提高产品的设计水平，又可降低企业保修成本与增加保修效益。

基于可靠性的保修期设计主要包括可靠性的估计和如何应用可靠性信息设计科学的保修期两个方面。目前主要通过数值模拟、可靠性试验和现场数据统计分析等方法对产品可靠性进行估计或预测[4-6]。其中，现场数据统计分析法凭借成本低、精度高的特性而被广泛应用[7-8]。但是，国内外涉及分析现场可靠性与不同地理区域以及固有可靠性之间关系的研究极其有限，仅文献[9]结合区域粒度划分和售后故障数据统计分析结果，构建了反映现场可靠性与区域之间定量关系的数学模型。然而，现有的产品保修期设计研究主要是基于产品出厂时的固有可靠性，而且大多以保修成本最小或期望利润最大为优化目标提出了一系列模型。文献[10]通过从买卖双方的角度最小化相应的保修成本函数，确定了根据保修协议出售的一般可维修产品的最佳保修期和更换年限。文献[11]综合分析保修服务质量对顾客满意度和重复购买的影响来构造产品需求函数，并进一步引入了修正的成本函数和保修决策模型，以设置最优的可靠性、价格、保修期限和保修服务质量。文献[12]提出了一种以平均故障间隔时间与保修成本加权的目标优化函数，结合遗传算法求解最佳保修期，从而提高产品可靠性并最大程度地降低保修成本。文献[13]针对按免费更换保修策略出售的一般可维修产品，综合考虑其可靠性、保修期和价格对销售量、生产成本和保修服务成本的影响，建立了以贴现利润最大为优化目标的优化问题，并利用极大值原理方法选择了稳态市场和动态市场下最佳的可靠性、保修期限和价格。在上述研究基础上，文献[14]针对带有维修服务协议且仅有制造商提供维修服务的新产品，构建了以产品可靠性、保修期和价格为决策变量的贴现利润最大化决策模型，并运用数值分析法分别讨论了2种市场类型和4种不同维修协议。文献[15-16]进一步挖掘产品固有可靠性增长的价值，构建了基于固有可靠性增长的保修期优化分析模型，实验数据显示，当可靠性水平增长达到一定阈值时，适当增加保修期长度有利于提高企业利润。

这些传统保修期设计方法均是以出厂时的固有可靠性为基础的，忽略了现场可靠性的区域差异规律对保修期的影响。分析产品现场可靠性区域差异性并应用于相关产品保修期设计的研究极少，文献[17]在分析空调现场可靠性影响因素的基础上，以其现场可靠性同类区域差异最小为目标，建立了基于现场可靠性影响因素的区域聚类模型，并应用智能聚类算法求解该模型，最终获得现场可靠性的最优区域划分。文献[18]在文献[17]的基础上，结合售后故障数据统计分析结果，构造出现场可靠性的预测模型并估计不同区域的产品现场可靠性，以此构建基于现场可靠性的保修期优化决策模型，并与其他传统做法比较，证明了该模型可以适度延长保修期以实现利润最大化。但上述研究更多的是关注同型产品的统一保修期优化决策，忽略了产品现场可靠性对保修期区域差异的影响，仍存在不同地理区域采用单一固定保修期的不足。

为此，本研究进一步系统分析产品现场可靠性与保修期区域差异的关联性，提出一种基于现场可靠性的区域差别保修期设计方法。首先分析提取保修期设计的影响因素，构建新的基于现场可靠性的区域差别保修期决策框图模型，然后评估预测不同区域的产品现场可靠性水平及其影响系数，再构造出新的各区域单位产品保修成本与销售量预测函数，并以此建立综合考虑产品现场可靠性、各类区域保修成本、销售量和价格的区域差别保修期高维优化模型，基于进化算法来求解模型，以设计最佳的区域差别保修期决策。最后，以某一具体型号空调产品的区域差别保修期设计为实例，验证所提模型的有效性和适用性。

1 保修期设计影响因素分析

产品保修期的设计与企业经营全局的工程技术与市场维度的各种决策密切相关，包括产品设计决策、生产过程控制、销售、售后服务以及环境条件等诸多影响因素。因此，在建立区域差别保修期设计模型之前，需要分析和提取保修期设计的关键影响因素。

制造商提供的保修期通常与产品可靠性相关[19]。一般而言，产品的固有可靠性越高，制造商则可设计越长的保修期。产品的固有可靠性主要受产品研发、生产阶段的原材料控制以及质量控制等多种因素的影响，而现场可靠性是产品在实际使用环境中所具有的可靠性。产品的固有可靠性会正向作用于产品的现场可靠性，即现场可靠性水平随固有可靠性水平的增加而增加。此外，分布于不同地理区域的产品，由于自然环境、用户经济条件、生活习惯等可靠性影响因素的不同，导致其现场可靠性呈现显著的区域差异。然而，产品现场可靠性水平的区域差异将直接影响到不同区域产品实际的保修成本，进而间接影响不同区域产品的保修期长短。因此，要以现场可靠性为基础进行产品区域差别保修期优化设计。

另外，产品保修能够确保产品的可靠性，是十分具有实用性的市场营销工具[20]。因此，设计科学合理的产品保修期能有效提高客户的感知价值并刺激市场需求，从而影响产品销售量、销售价格和保修成本。此外，销售价格是市场决策中唯一可以产生利润的因素，但它也受市场环境因素的影响。然而，销售价格会反过来影响销售量，且产品销售量对销售价格极其敏感[21-22]，同时它又受到不同区域的市场环境和消费者需求差异的约束。综合以上分析，可建立如图1所示的基于现场可靠性的产品区域差别保修期设计框图模型。

图1 基于现场可靠性的区域差别保修期设计框图模型Fig.1 Modeling framework for regional difference warranty period design based on field reliability

该模型综合考虑工程技术、市场维度以及现场可靠性区域差异3个方面的影响，通过分析各区域保修期、各区域保修成本、研发和生产成本、销售价格、各区域销售量、各区域销售收入、企业总成本以及利润之间的相互作用，优化选择各类区域的最优保修期与价格。

2 基于现场可靠性的区域差别保修期设计方法

2.1 现场可靠性的评估

准确评估各类区域的产品现场可靠性水平是建立区域差别保修期设计模型的重要前提。产品现场可靠性的区域粒度划分可以准确地反映出同类区域产品现场可靠性尽可能相似、不同类型区域的差异尽可能大，其实际上是由不同类型区域间的综合距离远近决定的，于是采用各类区域间的综合距离来表征产品实际现场可靠性的差异程度。首先将各类区域间的多维度距离归一化后映射成单维的综合距离，再将其与估计出的部分区域产品现场可靠性进行多项式拟合，利用确定拟合函数的待定系数，最终评估各类区域产品现场可靠性。

为了使得多维度距离与产品现场可靠性区域差异程度能形成对应关系，通过加权融合方法将其降成单维的综合距离，所得综合距离的计算式[9]为：

式中：Dij表示第i类和j类区域之间的综合距离；dij(AQED)、dij(ISED)、dij(VCED)分别表示第 i类和j类区域之间的绝对量距离、增速距离、波动距离；σ1、σ2、σ3分别表示 3种距离相应的权重系数，且满足σ1+σ2+σ3=1。文献[3]已给出详细计算方法。

另外，将现有的产品售后故障数据进行分区域规范化统计分析处理，并确定其单位工作时间，可估计出部分区域产品的实际使用失效率，其极大似然点估计计算式[9]为：

式中：λi为第i类区域产品的使用失效率估计值，Gi表示第i类区域的产品总故障次数，Ti为第i类区域故障产品的工作时间，Li为第i类区域无故障产品的正常工作时间，F为第i类区域的故障产品，H为第i类区域的无故障产品。

为了确定产品现场可靠性的区域差异程度与区域间综合距离的定量关系模型，利用最小二乘法进行多项式拟合形成映射关系，再根据误差值的大小及客观实际情况得出1阶拟合关系更吻合。所采用的拟合函数为：

式中：λi、λj分别表示第i类和j类区域同型产品的使用失效率，用于表征产品现场可靠性水平；|λi-λj|则表示第i类和j类区域的产品失效率差，即两类区域现场可靠性的差异程度；μ1、μ2为待定系数。在构造该拟合函数关系式之后，可计算可靠性影响系数来度量各类区域同型产品的现场可靠性差异程度，所得可靠性影响系数的计算式为：

式中：γi表示可靠性影响系数，λ0表示同型产品的固有失效率。

2.2 区域差别保修期设计模型

针对现有产品保修期设计未考虑保修期与区域差异的关联性问题，于是进一步从保修期区域差异视角构造出新的各区域单位产品保修成本预测函数、各区域销售量预测函数，进而以企业利润最大为优化目标，建立综合考虑产品现场可靠性、各类区域保修成本、销售量和价格的区域差别保修期高维优化模型，并结合进化算法优化求解，以设计最佳的产品区域差别保修期决策。

2.2.1 单位产品保修成本预测函数

依据模型构建分析，现做出以下假设：企业采用免费更换保修策略，承担产品保修期间发生维修或更换的所有费用；各类区域单位产品在保修期内发生故障的次数与保修期内第j次故障的保修成本是相互独立变量；各区域产品在保修期内的故障次数均呈指数分布。

对于分布于第i类区域的单位产品，其保修成本由保修期内各次故障的维修成本之和决定，表示为：

式中：Wi为第i类区域的产品保修期，且满足条件W1≠W2≠…≠Wi≠…≠WI；M(Wi)为第 i类区域的单位产品在保修期内发生故障的次数；Nij(t)为第i类区域的单位产品在保修期内第j次故障的保修成本。由于Nij(t)与M(Wi)是相互独立变量，则第i类区域单位产品的期望保修成本计算式为：

若单位产品在保修期内单次故障的平均保修成本为cm，则第i类区域单位产品的期望保修成本函数为：

2.2.2 各区域销售量预测函数

保修期与价格都会影响产品销售量，且通常将其假设为保修期长度和单位售价指数形式的对数线性函数。本研究将所有地理区域按产品现场可靠性水平的高低进行了粒度划分，且将同型产品的统一保修期转化为差别保修期，而区域差异化保修期必然导致产品销售量的区域差异性，因此构造出新的适用于不同区域的产品销售量预测函数为：

式中：Qi为第i类区域的产品销售量，且是关于产品保修期Wi和价格PA的函数，则产品总销售量预测函数为：

式中：I为产品现场可靠性区域粒度划分类数；ki(ki>0)为尺度参数，表征第i类区域的市场竞争、潜在消费者数量以及消费者购买力等市场因素的综合影响；Wi表示第i类区域的产品保修期；τ为时间位移常数，以保证当Wi=0时，产品销售量非零；PA为产品销售价格；α(α>1)为销售量关于价格的弹性系数；β(0<β<1)为销售量关于保修期的偏移弹性系数。

2.2.3 优化目标及实现流程

综上，考虑企业的经营战略目标是总利润最大化，其由不同类型区域的产品价格PA、销售量Q(PA,Wi)、单位研发成本cr、单位生产成本cp、期望的保修成本Q(PA,Wi)共同决定。由式(7)～式(9)可知，产品区域差别保修期设计问题可转化为如下非线性最优化问题，其数学模型可表示为：本预测函数w(Wi,λi)、各区域销售量预测函数Q(PA,Wi)；

式中：Π为企业采用差别保修期策略下的总利润水平；Hmax为当前产品的平均使用寿命；Cmin为单位产品的最小平均成本；Pmax为消费者可接受的最高价格；Swmax为企业在保修期内预计支出的总售后维修成本。其中，Pmax、Swmax可在新产品投放市场前通过市场调研与利润分析确定。

通过对上述模型构建的每一个步骤的详细描述，现将基于现场可靠性的区域差别保修期设计方法流程总结如下：

1）将产品现场可靠性的区域差异程度与区域间综合距离建立对应关系，并利用最小二乘法计算μ1、μ2的参数值，即可确定拟合函数F；

2）依据步骤一得到的拟合函数F，代入各类区域间的综合距离，从而估计分布于不同区域的同型产品使用失效率λi及其可靠性影响系数γi；

3）为了更精准地估计各类区域的产品保修成本，构造出新的各类区域的单位产品保修成

4）依据前面3个步骤，以企业利润最大化为优化目标，构建一个综合考虑产品现场可靠性区域差异、各类区域保修成本、销售量和价格的区域差别保修期优化设计模型；

5）针对上述模型的高维、非线性、多约束的复杂特性，结合进化算法优化求解，以设计更有效的产品区域差别保修期决策。

3 模型应用

将上述的区域差别保修期优化设计模型应用于中国某空调企业的保修决策问题。在此基础上，获得某一型号空调产品的最优区域差别保修期设计方案，并与传统的基于固有可靠性、固有可靠性增长以及基于现场可靠性的统一保修期设计方法进行比较和讨论。

3.1 应用背景与数据来源

根据空调现场可靠性的区域粒度划分结果[17]，设置划分数目为I=10，ki(i=1,2,…,I)由《中国区域经济统计年鉴》空调拥有量的统计数据分析得出[18]，实例中参数取值见表1。现依据某型空调可靠性数据得到固有失效率λ0为0.008 03次/年，设研发成本cr为500元，生产成本cp为1100元，单次故障的平均维修成本cm为400元，Hmax为10年，Cmin为1500元，Pmax为4500元，Swmax为1.2×105万元。根据文献[18]、文献[23]已给出的参数灵敏性分析结论，设置销售量参数α=2，β=0.02，τ=0.5。

表1 各类区域的 ki 参数取值Table 1 Values of ki for different regions.

现根据某型空调可靠性数据得出其部分区域的使用失效率，并计算各类区域间的综合距离，再由式（3）得到最佳的拟合函数F，即确定产品使用失效率的区域差异程度与区域间综合距离的1阶拟合关系，文献[23]已作了详细描述，其形式可表示为F=0.001 8Dij−0.002 4，各类区域的空调实际使用失效率和可靠性影响系数见表2。

表2 各类区域的空调实际使用失效率和可靠性影响系数Table 2 Actual use failure rate and its influence coefficients for different regions

3.2 实验结果与分析

考虑到区域差别保修期设计问题的高维、非线性、多约束的复杂特性，故本研究利用遗传算法优化求解，以得到最优的区域差别保修期设计方案。从各区域空调使用失效率、单位产品保修成本和各区域保修期的差异性，以及产品价格、各区域销售量和各区域利润等几个方面，对上述10类区域进行考察和分析，具体结果见图2、表3。

表3 空调区域差别保修期设计方案Table 3 Differential warranty period design for air-onditioning

图2 空调现场可靠性与保修期区域的关系示意图Fig.2 Relationship between field reliability and regional difference of warranty period

从表3可以看出，从现场可靠性视角设计得到的各类区域的空调保修期Wi都要大于当前企业普遍采用的整机免费保修期W=6 a，而且各类区域保修期的适当延长，会使得各类区域的顾客售后服务满意度和品牌影响力得到相应地提升，从而影响各类区域的产品销售量和利润。表中数据还显示，不同区域的实际使用失效率差异会导致产品保修期和单位产品保修成本均存在区域差异性，而且随着所处区域使用失效率λi的逐渐增大，产品保修期Wi逐渐缩短如图2所示，同时单位产品保修成本wi也随之以相应的幅度呈现减少的趋势；而不同类型区域同型产品呈现的保修期Wi差异，揭示了所提方法具有显著的分区保修优势。此外，通过表中各区域销售量Q(PA,Wi)和各区域利润Π(PA,Qi)数据比较分析表明，企业的盈利主要集中在i=3,6,8,9,10这5类区域。因此，企业应根据上述区域的实际情况合理设计空调的保修期和价格，从而增加顾客售后服务满意度和企业利润。

为进一步证明模型的先进性，将其与传统的基于固有可靠性、固有可靠性增长[9]以及基于现场可靠性[10]的统一保修期优化模型进行比较，具体结果如表4 所示。

表4 4种模型计算结果比较Table 4 Comparison of results from four models

由表4可知，本研究提出的区域差别保修期设计方案能够精准评价不同类型区域空调保修期的差异程度，且具有显著的分区保修效应，造成其结果差异的主要原因在于本研究中不同区域的空调保修期Wi是动态变化的，而统一保修期设计研究中均假设不同区域的空调保修期W是单一固定的。由于文献[9]仅以保修期为决策变量建立单位产品的保修利益目标函数，故不能计算得到相应的价格和利润。此外，与统一保修期设计相比，本研究所提模型在预期总利润上获得了更好的结果，这是因为企业通过适度延长现场可靠性水平较高区域i=1,2,3,4,5,6,7的产品保修期，可以增加空调销售量；而相应缩短现场可靠性水平较低区域i=8,9,10的产品保修期，可以减少空调保修成本压力，更有利于实现空调现场可靠性、各区域保修期与价格三者的联合优化。

4 结论

1）提出一种基于现场可靠性的区域差别保修期设计方法。首先分析提取保修期设计的关键影响因素，然后评估预测不同类型区域的产品现场可靠性及其影响系数，再构造出新的各区域单位产品保修成本与销售量预测函数，最后以企业利润最大为优化目标，建立综合考虑现场可靠性、保修成本、销售量和价格的区域差别保修期高维优化模型，并结合进化算法优化求解，从而确定各区域最优保修期和价格组合策略。

2）运用所提模型对空调产品实例进行区域差别保修期优化设计，并与传统的基于固有可靠性、固有可靠性增长以及现场可靠性的统一保修期优化模型进行对比实验，验证该模型能精准评价不同类型区域空调保修期的差异程度，具有显著的分区保修效应，且采用区域差别保修期策略是增加企业利润的有效途径。

3）不同于一般的统一保修期设计方法，该模型创新性地增加了保修期区域差异视角，既为解决空调及其他类似家电产品的区域差别保修期优化设计问题提供了一种新思路，也为企业制设计科学合理的差异化保修服务提供理论指导和技术支撑。