数的发展概要

文 韩 松

“数”发源于远古时期人们对事物个数记录的需要。比如，人们捕获一个猎物，就在绳子上打个结，再捕获一个，再打一个结……这就是结绳计数。就这样，人们在“数数”的过程中，逐步发展出自然数的概念。

人类对数的认识是从1 开始。在1 的基础上加1，再加1，再加1，不断加1，只要有足够的时间和耐心，就可以达到任何一个自然数，要多大有多大。

但是，较大的数怎么表示呢？比如要表示“百”“万”这些大数，用我们祖先“打结”“画道道”的方法就太麻烦了。于是，人们就想出了用“百”“万”这些专用的字来表示，更大的数量单位还有亿、兆、京……但是，文字毕竟是有限的，遇到再大的数又该怎么办呢？于是就有了十进制的“位值记数法”。你可知道？人类从会记数到像今天这样记数，经历了5000 多年呢！

如果只是数数人、水果、动物的个数，自然数也就够用了。但是实际生活还需要测量物体的长度、土地的面积、液体的体积等，有时还需要对物体进行平均分配，此时，自然数就不够用了，就要用到分数、小数了。

从算术的运算来看，如果只有自然数，那么加法和乘法就够用了。有了分数，除法就可以畅通无阻了。但想要让减法通行无阻，就必须有负数，因为有时不够减。当然，负数并不是数学家为了做减法而在头脑中创造出来的。负数，最早是在贸易活动中被创造出来的，人们用它来记债务。在中国古代，正、负数分别用不同的颜色来记，用来表示相反意义的量。

有了正负整数、正负分数和0，加减乘除就可以畅通无阻了（只要0 不作为除数），这些数统称为有理数。一切似乎都很完美了。尽管有理数在实际生活中已经足够了，但是，从算术的范围转入几何、代数的研究，人们发现有理数远远不够用。

从代数的视角看，如果只承认有理数，许多方程就没有根，例如x2=2 就没有有理根。方程可以不要根，但正方形不能没有对角线吧？原来，边长为1的正方形的对角线长就是方程x2=2 的根。此时，有理数就不够用了，有必要对有理数系进一步扩充，于是，无理数应运而生，进而建立起实数系。在实数系里，不但能进行四则运算，而且能进行“取极限”的运算，这是和有理数系不同的地方。