浅谈初中生数学逆向思维能力的培养

◎陈杰锋 (扬州市江都区空港中学,江苏 扬州 225235)

逆向思维又称为求异思维，包括但不单指由结果到原因的反向思维，所有与人的常规习惯性思维不同的思维活动都可以视为是逆向思维.我们常说要培养学生的创新思维，而其实大多数的创新思维都是以逆向思维为途径来完成的.在初中数学教学中培养学生的逆向思维，无论是从学科属性上，还是从学生发展上，或是从教学质效的追求上，都具有积极且重要的意义，应得到教师的重视和积极落实.而同时我们也要意识到，培养学生的逆向思维比起培养其顺向思维要难得多，这需要教师尊重学生思维构建的规律，把握好逆向思维培养的原则，并设计实施有效的培养策略.

一、培养逆向思维能力的意义

第一，从数学学科的属性上看，数学被称为“思维体操”，可知数学是依靠思维来研究、理解、学习和应用的学科.没有对应的思维能力，显然是既学不好数学，也用不好数学的.而思维在路径上分就有顺向和逆向两类，顺向思维就是人的习惯性思维，培养难度不大，或者说基本不用专项培养.而逆向思维是反习惯的，形成难度较大，应成为培养的重点.

第二，从学生的素养发展上看，初中阶段是学生抽象思维、逻辑思维发展的黄金期.在这个阶段之前，学生主要是发展直观感性思维，抽象思维则主要是在初中阶段发展成型的.而逆向思维则是抽象思维中的重要分支.在这个阶段培养学生的逆向思维，对其长远的学习发展具有奠基意义.

第三，我们反复强调应培养学生的创造能力，正如开篇所言，人的大部分创新、创造，都是以逆向思维为途径来完成的.因而，培养学生的创新能力、创造意识，就离不开培养逆向思维这个着力点.

第四，教师都有这样的经验：我们教学生知识，他们都能够理解和接收，掌握得不扎实，不是随学随忘，就是不久即忘.而逆向思维具有新鲜感和较强的“刺激性”，当我们在引导学生从逆向推导或解析知识的时候，可以给学生留下深刻的印象，使之较牢固地掌握知识.而且，从顺、逆两个方向学习，也使之更深刻地理解知识.

第五，实践应用能力及解决问题能力也是当前数学教学的重点方向.而实践的多样性和问题的复杂性，往往不是使用习惯性思维能够解决的，逆向思维通常是解决问题和实践数学的常用思维方法.比如在解析几何问题中，最常用的画辅助线、点的方法，其实就是逆向思维——使本来复杂的图形更加复杂，反而使解决问题变得简明.

由上可知，培养学生逆向思维具有多元价值，事关数学的学与用，也影响学生的成长发展.

二、培养逆向思维能力的原则

1.生为主体

思维能力是一种内在品质，逆向思维当然也不例外.作为内在品质的一种素养，其形成和发展规律是与已有知识的习得不一样的.虽然说我们现在反对直接向学生灌输知识，但其实从传统的教学方式上看，知识确实是可以通过这种硬教的方式传递给学生的.但逆向思维则大多不是通过听教师讲就可以发展起来的，而是需要学生自己经过专项的思维训练自我构建起来的.所以培养学生的逆向思维，教师首先要把握好师生的角色定位，自己作为组织者、引导者和服务者，而将学生作为学习行为主体，给他们思考的机会和平台.

2.引思结合

逆向思维是可以因生活经历而无师自建的.比如司马光砸缸，司马光那么小的年龄显然没有接受过专项的逆向思维训练，但他能够打破常规思路去解决问题，这种逆向思维能力大概是出于生活经验的天然积累.但是，完全靠经历去天然形成逆向思维能力，显然“成才率”过低.真正“天生”具有逆向思维且能够运用于实践的，不说是“凤毛麟角”，也是十分难得.这当然不是我们教师所希望得到的结果.教师的愿望，是通过自己的教育活动，使所有的学生都具有逆向思维意识和能力.要达到这个目标，就不能完全依赖于学生的自主、非自觉发展，而是教师有意识、有计划地对学生施加引导，把他们带入逆向思维的环境中去进行训练，从而有效率、成系统地发展逆向思维.

三、培养逆向思维能力的策略

1.从意识入手

意识是行为的驱动，我们培养学生的逆向思维是为了让他们用这种能力去服务学习和实践，如果学生没有意识到逆向思维的存在、不知道逆向思维的效用，那么自然也就不会在遇到问题时有意想到用逆向思维去解决问题.所以，培养学生逆向思维的第一步是帮助他们建立意识.方法也很简单，就是以实际的、有趣的逆向思维案例来使学生知道逆向思维的存在并了解其“威力”.比如给学生讲：有位大妈去市场买苹果，称了三个苹果，小贩说“1斤半，7.5元”，大妈一听，就知道小贩肯定是虚报斤秤了，但自己又没法证明，于是她说，“太多了，去掉那个最大的苹果吧”.小贩去掉一个大苹果，再一称，说“1斤2俩，6元”.大妈一笑，拿起刚才拿出来的大苹果，“我要这个”，说完付给小贩1.5元.学生们听这样的故事，哈哈一乐.教师平时多给学生讲一些这样的案例，学生的逆向思维意识就会建立起来了.

2.多互动交流

人的思维能力有差异，有的学生思维开阔，训练逆向思维比较容易，有的学生则思维比较僵化，在训练逆向思维的时候经常卡壳.特别是初期对学生进行逆向思维训练的时候，这种思维差异比较明显.这样有很多学生经常跟不上练习的节奏，每次都是最后“收割”别人的现成答案.其逆向思维训练的效果就比较差.为了保证大多数学生都有效参与训练，教师可以在教学中采用开放的形式，允许和鼓励学生进行自由交流互动.这样一些思维能力水平低的学生往往会得到其他同学的一些启示，从而打开思路.慢慢地，也能够摸索出一些逆向思维的规律，逐渐拓宽思维空间.

比如问学生，“哪些时刻钟面角为30°、60°、90°？”大多学生是从表针的组合形态上去顺向思考，很快就“得意洋洋”地答出“11点和1点、10点和2点、9点和3点”这组答案.而思维较宽的学生会从刻度上去思考，发现“时针每转一圈，都有两次满足问题中的几个角度(这涉及了行程追及问题，可建议有兴趣的学生去算)”.因为鼓励学生自由交流，这些学生就会起到对其他同学的思维激活作用，使本来要停止的探究继续下去.

3.分类型引导

逆向思维并不单纯是指反向思维，对于所有非习惯性思维，我们都将之归类于逆向思维.那么，逆向思维的类型或路径就有很多种，既然我们是想较系统地培养学生逆向思维，那么就不应采取那种比较随机的培养方法，任由学生的思维自由发挥，而是将几种与数学关联度较高的逆向思维类型有计划、有意识地对学生进行引导，使之接触并掌握这些不同类型的逆向思维方法，从而更有效地去主动控制和使用逆向思维解决问题.

与数学学习和运用相关度比较高的几种逆向思维类型有：方位对换(如里和外、上和下、左和右、前和后、头和尾等，与几何类知识的对应度比较高)、属性迁移、因果逆向、拓展互补.而心理逆向、性格品质逆向思维等，与数学的相关度不高.

4.结合新授课

前面分析逆向思维的意义时，说到培养学生逆向思维可以提升其掌握知识的深度和牢固度.这主要就是指在新授课的时候，教师带领学生采用逆向学习法.一般情况我们是带领学生(或教师直接讲授)顺向推导，由数学现象、案例等一步一步归纳、提炼出数学定理或公式等.而逆向学习，则是先直接把定理等知识结果摆出来，然后带领学生去反推或证伪.如果证伪失败，那么就证明定理或公式是正确的.这种教学方法，既可以训练学生的逆向思维，又可以起到深化学习的目的.

比如有理数的混合运算，教师直接告诉学生其运算次序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先进行括号内的运算.然后，给学生几道练习题，让他们进行验证，“如果不按这个次序去计算，答案是否一致？是否有更合理的运算次序？”学生经历了“乱序”计算体验之后，最终会认同并牢固记住这个运算次序，其逆向思维也同时得到了体验性训练.

5.重实践训练

逆向思维除了可提升学生的学习质效外，更重要的培养价值在于提升其解决实际问题的能力.而要使培养学生逆向思维的成果迁移为真正的“实战”力，其实最好的方法就是多给学生在实践中使用逆向思维解决问题的机会.比如在带领学生学习“正数和负数”的时候，我们习惯用温度计来让学生直观地感知0值和正数、负数.而笔者给学生设置了这样一个问题场景：一个食品冷库，用一个零下20 ℃到120 ℃范围的温度计监控温度.但工作人员不小心把水银管和刻度尺错位了，无法正确判断温度.此时，不能很快购来新的温度计.那么，有什么办法可以大概修复这个温度计，使之能够临时使用呢？这个实践问题，考验学生能否由懂得读取正负数，变为由定温(如人的体温、冰或开水)倒推0值.其实，很多生活实践问题都具有训练逆向思维的作用.比如“某单位的日销售统计表有一个数值被墨水污染了，你能帮助他们恢复吗？”让学生使用代数知识进行逆运算.把学生放在实践情境中去训练其逆向思维，可以高效实现能力的实用性迁移.

综上所述，从数学的属性上、学生的发展上及教学的质效上考虑，培养学生逆向思维能力具有多种积极意义.培养初中学生的数学逆向思维能力，应遵循以学生为主体、引导和思维训练相结合的原则.在策略上，可注重从意识培养入手，鼓励互动交流，分类系统导，结合新授课，并重视实践情境训练.