基于等效原理求转动惯量的插值方法研究

2021-11-27 22:29苗正牛放花少震
科技资讯 2021年22期

苗正 牛放 花少震

DOI:10.16661/j.cnki.1672-3791.2105-5042-6439

摘  要:为了提高等效法求非均质或者不规则几何体转动惯量的精度,该文以非均质发动机摇臂为研究对象,研究了拉格朗日插值法、牛顿插值法、抛物线插值法在根据等效原理求非均质发动机摇臂转动惯量的精度与截断误差。通过对比分析发现抛物线插值法的精度最低,拉格朗日插值法与牛顿插值法的截断误差较小。综合精度和误差分析可以得出,牛顿插值法在等效法求非均质发动机摇臂转动惯量上具有较高精度,该研究可以为等效法求非均质或者不规则几何体的转动惯量提供参考。

关键词:转动惯量   等效原理   插值方法   截断误差

中图分类号:O302                           文献标识码:A文章编号:1672-3791(2021)08(a)-0164-04

Study on Interpolation Method of Moment of Inertia Based on Equivalent Principle

MIAO Zheng   NIU Fang   HUA Shaozhen*

(School of Mechanical Engineering, Henan Institute of Technology, Xinxiang, Henan Province, 453003 China)

Abstract: In order to improve the accuracy of calculating the moment of inertia of heterogeneous or irregular geometry based on the equivalent method, heterogeneous engine rocker arm has been taken as the research object, then the Lagrange interpolation method, Newton interpolation method and parabola interpolation method were studied based on the equivalent principle to calculate the accuracy and truncation error of the moment of inertia of. Through comparative analysis, it is found that the accuracy of parabola interpolation method is the lowest, and the truncation error of Lagrange interpolation method and Newton interpolation method is smaller. Comprehensive accuracy and error analysis can be concluded that Newton interpolation method has high accuracy in the equivalent method to calculate the moment of inertia of heterogeneous engine rocker arm. This study can provide a reference for the equivalent method to calculate the moment of inertia of heterogeneous or irregular geometry.

Key Words: Moment of inertia; Equivalent principle; Interpolation method; Truncation error

转动惯量是刚体绕定轴转动时惯性的度量[1],是航空航天、仪器仪表、汽车、电力等行业中重要的参量。由于转动惯量只和转轴的位置、刚体的质量分布以及港田的形状有关,所以对于一些非均质的几何体或者形状复杂的几何体,一般通过实验手段,基于等效原理,采用插值手段测定。吉丹霞等人[2]利用等效法研究了变速箱中不同轮系等效转动惯量的计算方法;仝哲旭等人[3]通过设计非接触平面涡卷弹簧,测量了正弦扭矩标准装置气浮轴系的转动惯量;赵亚燊等人[4]利用等效法计算了窄轮距拖拉机的转动惯量。周艳明等人[5]研究了三线摆实验中大摆角对转动惯量的影响,徐钱欣等人[6]、陈坤波等人[7]、陈庆东等人[8]利用改进的三线摆降低了实验误差。目前,已有研究主要側重于等效法的测量应用以及对三线摆实验装置的改进,对等效原理中用插值法的研究较少。该文以非均质发动机摇臂为研究对象,采用三线摆实验,根据等效原理,研究不同插值方法对等效原理的适用性,通过精度及误差分析,优化对插值方法的选择。

1  实验装置及实验原理

1.1 实验装置

该研究所采用的实验装置为ZME-Ⅰ型实验台,主要由柜体、风振模型支架、三线摆、不锈钢顶罩等部分组成,如图1(a)所示。图1(b)为实验中所采用均质圆柱体和非均质发动机摇臂。运用此设备的三线摆可以测得规则和不规则物体的转动周期,并可以调节三线摆的吊线长度,从而得到不同吊线长度下物体的转动周期。

三线摆吊线线长选用60 cm,等重圆柱体直径d=18 cm,高h=20.7 mm,圆柱体密度ρ=7.8 g/cm3。分别取两圆柱体中心距s为30、40、50、60 mm。

1.2 实验原理

该文通过使用三线摆测量圆盘的转动惯量方法,使用了等效法来测量非均质发动机摇臂的转动惯量。在实验中同时放置两个同样三线摆,使它们下降到相同的位置,一个三线摆放置非均质发动机摇臂,另一个三线摆放置两个相同的均质圆柱,两个均质圆柱的重量与非均质发动机摇臂的重量一致,通过不断调节两个等效均质圆柱体之间的中心距s,向放置有非均质发动机摇臂的摆动周期逼近。当两个三线摆系统的摆动周期相同时,则可以大致认为均质圆柱与发动机摇臂的转动惯量是一致的,而放置有均质圆柱体的三线摆系统,可以计算得出非均质发动机摇臂的等效转动惯量。

1.3 实验方法

在已知等重圆柱体的物理参数后,两圆柱对中心轴O的转动惯量的理论计算公式为:

式中,s为两均质圆柱体的中心距,具体情况见图2所示。

通过多次实验测得转动周期,并通过式(1)计算转动惯量的理论值,如表1所示。

为了使测量的非均质发动机摇臂的转动周期精度较高,多次实验后刨除明显有差异的,选取5组实验,测试5次摇臂转动10次的时间,得到摇臂扭动周期,并取平均值得到平均周期。实验测量数据如表2所示。

2  实验结果与分析

该文将运用牛顿插值法、拉格朗日插值法、抛物线插值法估算非均质发动机摇臂的转动惯量。

2.1 牛顿插值法

2.1.1 使用牛顿插值法对非均质发动机摇臂转动惯量进行插值

通过表1的得到的实验数据,将数据代入得到牛顿插值多项式:

其中:

将代入式(2),得到,此时的就是由牛顿插值法估计的非均质发动机摇臂的等效转动惯量。

即非均质发动机摇臂的转动惯量。

2.1.2 牛顿插值法的误差分析

使用牛顿插值法分析转动惯量,不在插值节点上的函数值会有截断误差,牛顿插值法的插值余项为:

其中,,得到:

即牛顿插值法计算转动惯量的截断误差为:

2.2 拉格朗日插值法

2.2.1 使用拉格朗日插值法对非均质发动机摇臂转动惯量进行插值

通过表1得到的实验数据,得到拉格朗日插值多项式:

式(3)中,,,,。

将代入式(3),得到,此时就是由拉格朗日插值法拟合的非均质发动机摇臂的等效转动惯量。

即非均质发动机摇臂的转动惯量。

2.2.2 拉格朗日插值法截断误差分析

因为使用拉格朗日多项式拟合离散数据,不在插值节点上的值会有误差,用截断误差表示,截断误差也称为拉格朗日插值余项,而拉格朗日插值函数的截断误差为:

则通过拉格朗日多项式计算的截断误差为:

其中,,得到:

即拉格朗日插值法计算转动惯量的截断误差。

2.3 抛物线插值法

2.3.1 使用抛物线插值法对非均质发动机摇臂转动惯量进行插值

利用表1的得到的实验数据,使用逐次线性插值法分析转动惯量。因为测得的非均质发动机摇臂的平均周期为1.052s,故取与1.052最近三点作为插值节点,即:,,三点。

将3个离散数据点代入得到拟合二次多项式:

(5)

式(5)中,

将代入式(5),得到,此时的L(1.052)就是通过抛物线插值法拟合的非均质发动机摇臂的转动惯量。

即非均质发动机摇臂的转动惯量。

2.3.2 物线插值法截断误差分析

抛物线插值法的插值余项为:

则抛物线插值法计算的插值余项为:

其中,,于是有:

即抛物线插值法计算转动惯量的截断误差≤。

通过牛顿插值法、拉格朗日插值法、抛物线插值法估算非均质发动机摇臂的转动惯量,并计算了使用3种方法的误差,得出的分析,见图3。

3  结论

基于等效法原理测量了与非均质发动机摇臂等重的均质圆柱的转动周期,为了找到一种基于等效法求转动惯量方面精度较高、计算方便的插值法,分别使用拉格朗日插值法、牛顿插值法、抛物线插值法对非均质发动机摇臂的转动惯量进行插值,通过文中分析,主要得出以下结论。

(1)牛顿插值法与拉格朗日插值法的插值余项相同,这两种插值方法的截断误差为≤。

(2)抛物线插值法得到的转动惯量值,由于抛物线为二次多项式,得到的截断误差≤,误差相对于前两个插值方法较大。

(3)而对于截断误差相同的拉格朗日插值法与牛顿插值法,牛顿插值法相对于拉格朗日插值法计算更加简便、快捷。拉格朗日插值法在新增数据点时只能再次计算拉格朗日插值多项式,而牛顿插值法则不需要。

(4)3种插值法转动惯量进行插值计算时,使用牛顿插值法更加方便。

参考文献

[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].8版.哈尔滨:高等教育出版社,2016:284.

[2] 吉丹霞,陈潇,严思敏.变速箱中不同轮系等效转动惯量的计算方法[J].汽车实用技术,2021,46(6):93-95.

[3] 仝哲旭,彭军.转动惯量在线测量用涡卷弹簧的设计[J].计测技术,2021,41(1):53-56.

[4] 趙亚燊,陈俊杰,刘江辉,等.窄轮距拖拉机转动惯量与质心高度试验台研究[J].拖拉机与农用运输车,2021,48(1):20-22.

[5] 周艳明,翦知渐,谢中.三线摆实验中用大摆角测量转动惯量[J].物理实验,2020,40(10):22-27,46.

[6] 徐钱欣,丁益民,范兵,等.利用智能手机测物体转动惯量的居家DIY实验[J].物理与工程,2020,30(6):95-99.

[7] 陈坤波,朱瑜,郑伟,等.测量三线摆上下悬盘间垂直距离的改进方案[J].大学物理实验,2019,32(3):25-29.

[8] 陈庆东,王俊平.三线摆测量刚体转动惯量实验的改进[J].物理通报,2016(10):79-81.