Rayleigh-Geometric分布及其性质研究

姚惠 代勇 胡云学

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2108-5042-1377

摘  要：随着极值理论的深入研究，复合极值分布广泛应用于气象、交通、水文、金融、保险等领域。该文利用极值理论将Rayleigh分布和Geometric分布进行复合，提出了一种新的复合极值分布：两参数的Rayleigh-Geometric分布。讨论了该分布的分布函数、概率密度函数、参数特定取值时密度函数的图像特征，讨论了分布的分位数、众数等数字特征，讨论了分布的生存函数和危险率函数，最后用极大似然法研究了分布参数的点估计。

关键词：Rayleigh-Geometric分布   复合极值分布   性质   极大似然估计

中图分类号：O212.3                        文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）08（a）-0011-05

Study on Rayleigh-Geometric Distribution and Its Properties

YAO Hui  DAI Yong  HU Yunxue

（School of Mathematics and Statistics， Qiannan Normal University for Nationalities， Duyun， Guizhou Province， 558000 China）

Abstract： With the in-depth study of extreme value theory， the compound extreme value distribution is widely used in meteorology， transportation， hydrology， finance， insurance and other fields. In this paper， Rayleigh distribution and Geometric distribution are combined by using extreme value theory， and a new composite extreme value distribution is proposed， namely two-parameter Rayleigh-Geometric distribution， which is obtained by compounding a Rayleigh and a geometric distribution based on extreme value theory. This paper discusses the distribution properties， probability density function，the graph features of the density function with specific values of parameters， the digital characteristics of distribution， such as quantile， mode and so on， survival function and risk rate function of distribution. Finally utilizes the maximum likelihood estimation to discuss the point estimation of the parameters.

Key Words： Rayleigh-Geometric distribution; Compound extreme value distribution; Properties; Maximum likelihood estimation

随着寿命分布的深入研究和广泛应用，国外学者在经典寿命分布的基础上提出了一些新型的复合分布，Adamidis（1998年）首次提出Exponential-Geometric分布[1]，之后陆续提出了Exponential-Poisson分布、Weibull-Geometric分布、Weibull-Poisson分布、Poisson-Lomax分布、广义的Exponential-Geometric分布、广义的Exponential-Poisson分布、互补的Exponential-Geometric分布等，这些文献定义了新的混合寿命分布，研究其各种性质，得到其参数的极大似然估计，这些研究拓广了寿命分布的类型。近年来，在极值理论逐步发展的基础上，国内学者研究了各种复合极值分布及其性质：Poisson-Gumbel分布的参数估计[2]、二项-广义Pareto分布模型[3]、Pareto- Geometric分布及其性质[4]、二项-Gumbel分布的参数估计[5]、Poisson-Lomax分布的Bayes估计[6]、指数-威布尔分布的贝叶斯估计[7]、两参数指数商分布的统计分析[8]、三参数Student-t分布的参数估计[9]、四参数Birnbaum-Saunders分布密度函數的图像特征[10]、泊松-指数混合分布的性质和参数估计[11]等。现在复合极值分布已经广泛应用于气象、交通、水文、地震、保险、金融等领域。Rayleigh分布是一种重要的寿命分布，常用在电力和可再生能源这两个学科。该文通过复合Rayleigh分布和Geometric分布，得到两参数的新型复合极值分布：Rayleigh-Geometric分布，研究其分布函数、概率密度函数及图象特征、数字特征等相关性质，并研究分布参数的极大似然估计。

1  Rayleigh-Geometric分布（RG分布）XZ

1.1 分布的定义

带有尺度参数β（β>0）的Rayleigh分布 Rayleigh（β）的概率密度函数为：

其分布函数为：

Weibull-Geometric分布（WG分布）当形状参数α=2时的特例就称为两参数的Rayleigh-Geometric分布（RG分布）：

定义1  密度函数为：

或等价地，分布函数为：

此分布称为Rayleigh-Geometric分布（简称RG分布），记为RG（p，β），其中00为参数。

RG（p，β）有两个参数p和β.对所有参数p和β，当x→∞时，f（x;p，β）→0。当p趋近于0时，RG（p，β）趋近于参数为β的Rayleigh分布Rayleigh（β）。

以下给出RG（p，β）的概率密度函数f（x;p，β）在参数的一些特定取值时的图像，图1是p=0.5，β=0.5，1，2，3时的概率密度曲线，图2是β=1，p=0.01，0.2，0.5，0.9時的概率密度曲线。

1.2 分布的性质

定理1 （1）RG（p，β）的众数在p趋近于0时为β。

（2）对0

证明：由RG（p，β）的定义1.1及分位数、众数、中位数的定义可得，内容略。

记为欧拉多对数方程[12]。

定理2 （1）RG（p，β）的k阶矩：

特别地，RG（p，β）的数学期望：

（2）RG（p，β）的方差：

证明：（1）由于：

当n=2时，有：

由上式及定义1中的密度函数公式（2），当x>1时，

故当k≥1时，有：

（2）RG（p，β）的方差：

证毕。

下面研究RG分布的生存函数和危险率函数，先回顾相关定义。设非负随机变量X的分布函数为F（x），分布密度为f（x），则其生存函数为S（x）：=1-F（x;p，β），危险率函数为：

定理3RG（p，β）具有如下特性。

（1）生存函数为：

（2）危险率函数为：

并有：

证明：（1）由生存函数的定义及定义1中的分布函数（3），即得。

（2）由危险率函数的定义，定义1中的密度函数，公式（2）及定理3中生存函数的表达式，得：

2  参数的极大似然估计

从定理2中的RG（p，β）k阶矩可以看出，RG（p，β）分布的数学期望的公式结构比较复杂，因此参数的矩估计不易求出，以下用极大似然法来求参数的估计[13]。

从RG分布中抽取容量为n的简单随机样本，记，其似然函数为：

对数似然函数为：

似然方程为：

似然方程的解即是参数p，β的极大似然估计。

参考文献

[1] ADAMIDIS K，LOUKAS S.A Lifetime Distribution with Decreasing Failure Rate[J]. Statistics and Probability Letters，1998，39（1）：35-42.

[2] 刘晶，吴新荣，李素红.Poisson-Gumbel复合极值分布的参数估计[J].统计与策，2007（9）：17-19.

[3] 张香云，程维虎.二项-广义Pareto复合极值分布模型的统计推断[J].应用数学学报，2012（3）：560-572.

[4] 姚惠，戴勇，谢林.Pareto-Geometric分布[J].数学杂志，2012，32（2）：339-351.

[5] 何晓申，田茂再.二项-Gumbel复合极值分布的参数估计[J].统计与决策，2017，479（11）：17-19.

[6] 张春雨，刘禄勤.定数截尾情形下Poisson-Lomax分布的Bayes估计[J].统计与决策，2018，502（10）：70-73.

[7] 张月.指数Weibull分布的贝叶斯估计与模拟[D].武汉：华中科技大学，2012.