建立数学模型 促进学生的深入理解

张 勇

数学学习通常需要经历数学建模阶段，即让学生经历从复杂的现象中抽象出问题的过程，找到一类问题的共性，然后建构出基本的模型，并在不断探索和尝试的过程中丰富模型，从而达成对知识的深入理解和全面认识。在实际教学中，教师要寻找合适的材料，推动学生尝试数学建模，引领学生有效学习，具体可以从以下几个方面入手：

一、借力比较过程，抽象基础模型

构建数学模型不是简单的模仿和应用，而是要让学生经历学习的过程，通过观察、比较、分析、实践等去发现问题，抽象出一类现象的共性，从而建构出基本的问题模型来。所以在实际教学中，教师要选择合适的素材，促进学生的抽象能力，推动数学模型的建立。

例如在“假设的策略”教学中，我首先出示例题：同学们去公园划船，52名同学正好租了10条船，已知每条小船能坐4人，每条大船能坐6人，那么租的小船和大船各有多少条？在引导学生独立分析问题之后，我组织他们集体交流，学生展示出不同的思路：有学生通过画图来寻找答案，有学生用一一列举的方法来凑出答案，还有的学生先假设10条船全是小船，这样得到可坐40人，然后将其中一些小船改成大船，经过计算学生发现想要增加12人需要将其中6条船改成大船。交流过程中学生结合画图过程理解了假设的思路，并认定这样的思路在解决这个问题的时候相对比较简单。教学例题之后，我再出示一道古代的数学名题“鸡兔同笼”给学生尝试，大部分学生选择的是假设的方法，在交流这个问题的时候，学生经过观察发现这个问题与之前的例题有共同点，鸡和兔就相当于小船和大船，它们脚的数量相当于大船和小船能够坐的人数，有了这样的认识，学生对于这类问题就建构出一个模型来，再碰到类似的问题他们会自觉运用之前的方法经验来尝试解决问题。

在这个教学案例中，学生经历了比较和分析，发现了几个问题之间的共同之处，这样的经历促进学生建构出相应的数学模型，从而为他们掌握假设的策略提供了帮助。

二、借力直观形象，搭建数学模型

小学生尚处于具体形象思维为主的阶段，在小学数学模型的构建中，教师要尽量为学生提供一些表象作为支撑，帮助学生形象地认识问题，帮助学生构建相对清晰的数学模型。

例如在“24时记时法”的教学中，我利用学生已经具备了用普通记时法来记录一天24小时的基础，创设出一个普通记时法下的矛盾，从而引发了学生将一天的24小时全部记录出来的欲望。在此基础上，我利用课件动态呈现了一天24小时的变化过程。在课件中，结合背景的变化，钟面上的时针转动了两圈，在时针转动的同时，下面的时间轴一直向前走，并且在时间轴上的整点处课件会自动出示24时记时法下的即时时刻，当一圈转完开始第二圈的时候，时间轴长的时刻变成了13：00、14：00、15：00……学生自然将这些时刻与钟面上的时刻进行对比，并发现一天中时钟转动第二圈的时候，24时计时法下的时刻需要用钟面上所指的数加上12。

从教学效果来看，这个动态的课件起到了重要的作用，尤其是课件中背景的变化，让学生形象地认识到时钟转动的第一圈是从夜里12时开始到中午的12时，而第二圈是从中午12时开始到晚上的12时，这种形象化的材料推动了学生的模型建构，降低了学生理解的难度。

三、借助实际材料，丰富数学模型

数学与生活有着紧密的联系，很多数学知识可以在生活中找到原始的模型，很多生活问题可以从数学的角度去理解和解释，所以在构建数学模型的时候，教师可以找到一些生活中的模型来促进学生的理解与认识，让学生的模型进一步丰富起来。

例如在“角的认识”教学中，教师首先出示一些生活中的模型，比如扇子、剪刀等等，并从实物中将角抽象出来。在告诉学生这些就是角之后，教师引导学生观察这些角的共同点，并尝试用自己的语言来描述，学生在交流中发现数学学习中的角的共同点是有一个顶点和两条边，而且随着两条射线的转动，角的大小会发生变化。有了这样的发现，学生的数学角就立体的建构了出来，并且与生活中一些不具备数学角本质特征的角(比如动物的角)区分开来。在这个教学案例中，教师寻找的素材无疑是贴切的，借助于这些生活素材，学生很好地把握了角的本质特征，构建了几何学习的特征要素。

总之，引导学生在数学学习中构建出稳固而丰富的数学模型对于学生的数学学习是有帮助的，在实际教学中教师需要为学生的数学建模提供良好的条件，引导学生经历丰富而真实的学习过程，在探索和思考中建构数学模型，并达成必要的数学理解。